应用统计学：第五章时间数列

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1、第一节第一节 时间数列概述时间数列概述第三节第三节 长期趋势的测定方法长期趋势的测定方法第二节第二节 发展水平与速度指标发展水平与速度指标第四节第四节 季节变动的测定方法季节变动的测定方法第五章第五章 时间数列时间数列第一节第一节 时间数列概述时间数列概述年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931

2、994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7ta绝对数数列绝对数数列相对数数列相对数数列平均数数列平均数数列时点数列时点数列时期数列时期数列指标指标1952-1952-195719571958-1958-196219621963-1963-196519651966-1966-197619761977-1977-19861986社会总产值社会总产值 （亿元）（亿元）工业总产值工业总产值（亿元）（亿元）工业总产值工业总产值比重（比重（%）8283.48283.434

3、04.53404.541.141.111448.211448.26903.36903.360.360.3669866983878.13878.157.957.947210.747210.729553.929553.962.662.6103902.5103902.583849.383849.380.780.76年年5年年3年年11年年10年年 数值大小受时数值大小受时间长短的影响间长短的影响甲厂甲厂乙厂乙厂甲厂带料委托乙厂加工产甲厂带料委托乙厂加工产品品,材料总价值材料总价值10000元元.乙厂来料加工乙厂来料加工,总加工费总加工费5000元元,产品总价值产品总价值20000元元工业总产值的计算

4、工业总产值的计算原规定原规定:甲厂计甲厂计20000元元乙厂计乙厂计20000元元现规定现规定:甲厂计甲厂计20000元元乙厂计乙厂计5000元元10吨标准煤吨标准煤10吨煤吨煤 时点数列时点数列时期数列时期数列由反映一段时期内社会经济现象发由反映一段时期内社会经济现象发展的总量或总和的绝对数所组成的展的总量或总和的绝对数所组成的时间数列。时间数列。由反映一时点上社会经济现象所处由反映一时点上社会经济现象所处的水平的绝对数所组成的时间数列的水平的绝对数所组成的时间数列二二者者的的区区别别2 2、各指标数值大小是否与其时间、各指标数值大小是否与其时间长短直接相关。长短直接相关。1 1、各指标数值

5、是否具有可加性、各指标数值是否具有可加性3 3、各指标的数值的取得方式。是、各指标的数值的取得方式。是连续登记还是一次性登记。连续登记还是一次性登记。第二节第二节 发展水平与速度指标发展水平与速度指标 指时间数列中每指时间数列中每一项指标数值一项指标数值NNaaaa,121最初水平最初水平中间水平中间水平最末水平最末水平（N 项数据）项数据）（n+1 项数据）项数据）nnaaaa,110它是计算其他时间数列分析指标的基础。它是计算其他时间数列分析指标的基础。又称又称增长量增长量，它是报告期水平与，它是报告期水平与基期水平之差，反映报告期比基基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。说明社会经济

6、现期增长的水平。说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数象在一定时期内所增长的绝对数量量。增长水平增长水平=报告期水平报告期水平-基期水平基期水平其计算公式为：其计算公式为：所要研究的那个所要研究的那个时期的水平时期的水平用作比较基准的那用作比较基准的那个时期的水平个时期的水平nnaaaa,11011201,nnaaaaaa00201,aaaaaan逐期增长量逐期增长量累计增长量累计增长量 011201aaaaaaaannn niaaaaaaiiii,2,11010naanaanniii011)(平均增长量niLaaiLi,2,1124；或增长量年距又叫又叫是把时是把时间数列中各期指标数值加

7、间数列中各期指标数值加以平均而求得的平均数以平均而求得的平均数由由时期数列时期数列计算，采用计算，采用简单算术平均法简单算术平均法NaNaaaaNiiN1211a2a1NaNaa万吨标准煤8.1273575124000132410132616129034118729Naa【例例】由由时点数列时点数列计算计算NaNaaaaNiiN121由连续时点数列计算由连续时点数列计算a1a2a1NaNa 间隔相等间隔相等时，采用时，采用简单算术平均法简单算术平均法)(28.1758.172.185.177.162.16元Naa【例例】由由时点数列时点数列计算计算miimiiimmmffaffffafafaa

8、11212211 间隔不相等间隔不相等时，采用时，采用加权算术平均法加权算术平均法)(78397699783778667849780人fafa【例例】由间断时点数列计算由间断时点数列计算每隔一段时间登每隔一段时间登记一次，表现为记一次，表现为期初或期末值期初或期末值 间隔间隔时，采用时，采用简单序时平均法简单序时平均法222254433221aaaaaaaa4222254433221aaaaaaaa152254321aaaaa1a2a3a4a5a一季一季度初度初二季二季度初度初三季三季度初度初四季四季度初度初次年一次年一季度初季度初122121NaaaaaNN一般有：时间时间3月末月末 4月末

9、月末 5月末月末6月末月末库存量库存量(百件百件)66726468百件67.67142686472266a【例例】间隔间隔时，采用时，采用加权序时平均法加权序时平均法222433221aaaaaa211221212433221aaaaaa90天天90天天180天天1a2a3a4a一季一季度初度初二季二季度初度初三季三季度初度初次年一次年一季度初季度初12111232121222NNNNffffaafaafaa一般有：时间时间1月月1日日5月月31日日8月月31日日12月月31日日社会劳动者社会劳动者人数人数362390416420万人75.396435424204163241639052390

10、362a单位：万人单位：万人【例例】bacbaciii:则若时间数列acabcbbaNbNabac1月月 份份一一二二三三计划利润（万元）计划利润（万元）200300400利润计划完成程度（利润计划完成程度（）125120150 bac计划利润实际利润完成程度利润计划4.1344003002004005.13002.120025.1bcbbac122122121121NbbbbNaaaabacNNNN）（122121121NbbbbNaaaabacNNNN平均发展水平计算总结平均发展水平计算总结序序时时平平均均方方法法总量指标总量指标时期时期数列数列简单算术平均简单算术平均时点时点数列数列连续

11、连续时点时点间隔相等间隔相等 简单算术平均简单算术平均间隔不等间隔不等 加权算术平均加权算术平均间断间断时点时点间隔相等间隔相等 两次简单平均两次简单平均间隔不等间隔不等 先简单后加权先简单后加权相对指标、相对指标、平均指标平均指标视情况选用：先平均再相除、先加总再视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等相除、加权算术平均、加权调和平均等nnaaaa,11011201,nnaaaaaa环比发展速度环比发展速度定基发展速度定基发展速度00201,aaaaaan1211201nnnnaaaaaaaa100010iiiiaaaaaaaa0aan),2,1(1niaaii速

12、度发展基期水平基期水平报告期水平速度增长100niLaaiLi,2,1124；或展速度年距发100111iiiiiaaaaa100000aaaaaii100iLiiiLiaaaaa10010010000000aaaaaaann10010010011111nnnnnnnaaaaaaa发展速度平均增长速度平均100即有即有nGnXaa0nnGGnnGGGaXaXaaXaXaaXaa 01201201,从最初水平从最初水平a0出发，每期按一定出发，每期按一定的平均发展速度的平均发展速度 发展，经过发展，经过n个时期后，达到最末水平个时期后，达到最末水平an，有，有GX基本要求基本要求计算公式计算公式

13、nnnnnnGXXXXRaaX210总速度总速度环比速度环比速度04.1116885.15550937155GX04.1110004.1111GXnGnGXaanXa00,则最末水平和、已知预测达到一定水平所需要的时间预测达到一定水平所需要的时间n：GnnGXaanaXalglglg,00所需要的时间为：则达到最末水平和、已知发展水平发展水平增长量增长量平均发展水平平均发展水平平均增长量平均增长量增长速度增长速度发展速度发展速度平均增长速度平均增长速度平均发展速度平均发展速度动态平均指标动态平均指标动态比较指标动态比较指标 动态趋势分析动态趋势分析 （1 1）长期趋势（）长期趋势（T T）（2

14、 2）季节变动（）季节变动（S S）（3 3）循环变动（）循环变动（C C）（4 4）不规则变动（）不规则变动（I I）可解释的变动可解释的变动不可解释的变动不可解释的变动时间序列的分类平稳序列平稳序列有趋势序列有趋势序列复合型序列复合型序列非平稳序列非平稳序列时间序列时间序列时间序列的分类时间序列的分类1.平稳序列平稳序列(stationary series)基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动在某个固定的水平上波动或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的动可以看成是随机的 2

15、.非平稳序列非平稳序列(non-stationary series)有趋势的序列有趋势的序列线性的，非线性的线性的，非线性的 有趋势、季节性和周期性的复合型序列有趋势、季节性和周期性的复合型序列 线线 性性 趋趋 势势非非 线线 性性 趋趋 势势趋趋 势势季季 节节 性性周周 期期 性性随随 机机 性性时时 间间 序序 列列 的的 构构 成成 要要 素素现象在较长时期内受某种根本性现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势因素作用而形成的总的变动趋势现象在一年内随着季节的变化而现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动发生的有规律的周期性变动 例如，由于人口增长、资源开

16、发、科技进步等例如，由于人口增长、资源开发、科技进步等因素的影响，社会生产的总量呈增长变动的趋势。因素的影响，社会生产的总量呈增长变动的趋势。分为三类：增长趋势、减小趋势、水平趋势分为三类：增长趋势、减小趋势、水平趋势 例如，铁路客运量一般在节假日呈现高峰。例如，铁路客运量一般在节假日呈现高峰。现象以若干年为周期所呈现出的现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动波浪起伏形态的有规律的变动是一种无规律可循的变动，也叫是一种无规律可循的变动，也叫一般分为：一般分为：大循环波动：周期长达大循环波动：周期长达50年以上，例如重大技术革命年以上，例如重大技术革命 的变化的变化 中循环波动：

17、周期为中循环波动：周期为8-10年。年。小循环波动：周期为小循环波动：周期为3-5年年长期趋势the trendSalesTimeTrend循环变动cyclical fluctuationSalesTimepeaktroughrecessionrecovery长期趋势/循环变动SalesTimeTrendTrend/cyclical季节变动seasonal fluctuationsSalesTime不规则变动irregular variationsSalesTime循环变动循环变动C（Cyclical）不规则变动不规则变动I（Irregular）长期趋势长期趋势T（Trend）经济周期经济周期

18、:循环性变动循环性变动繁荣繁荣拐点拐点繁荣繁荣拐点拐点衰退衰退拐点拐点萧条萧条拐点拐点复苏复苏拐点拐点（1）加法模型：）加法模型：Y=T+S+C+I（各种因素相互独立）（各种因素相互独立）（2）乘法模型：）乘法模型：Y=TSCIThe Actual Value TCSISalesTimeq 把握现象随时间演变的趋势和规律；把握现象随时间演变的趋势和规律；q 对事物的未来发展趋势作出预测；对事物的未来发展趋势作出预测；q 便于更好地分解研究其他因素。便于更好地分解研究其他因素。年份年份199119921993199419951996产量产量414948646554年份年份199719981999

19、200020012002产量产量677068747275例例1：某地区某地区1991-2002年各年粮食产量如表，试年各年粮食产量如表，试采用采用时距扩大法时距扩大法（以（以3年作时距）测定长期趋势年作时距）测定长期趋势解：所得新数列如下：解：所得新数列如下：例例2：对上例采用对上例采用时距平均法时距平均法测定长期趋势测定长期趋势解：所得新数列如下：解：所得新数列如下：两种方法都显示，该区域粮食产量呈现增长趋势两种方法都显示，该区域粮食产量呈现增长趋势年份年份1991-19931994-19961997-19992000-2002产量产量138183205221年份年份1991-1993199

20、4-19961997-19992000-2002产量产量466168.373.7注意：注意：（1）时距扩大法仅适用于时期数据，不能用于时）时距扩大法仅适用于时期数据，不能用于时点数据；时距平均法既适用于时期数据也适用于时点数据；时距平均法既适用于时期数据也适用于时点数据。点数据。（2）对于周期性现象，以周期或周期的倍数作为）对于周期性现象，以周期或周期的倍数作为时距。时距。（3）对同一时间的数列，每次扩大或平均的时距）对同一时间的数列，每次扩大或平均的时距应该相等，以保证新数列各项间的可比性。应该相等，以保证新数列各项间的可比性。（4）当数列中的项数不便于划分为整数组时（上）当数列中的项数不便

21、于划分为整数组时（上例中若有例中若有13项或项或14项），则可去掉最初的若干项，项），则可去掉最初的若干项，以便于编成整数组。以便于编成整数组。1t2t3t4t5t6t7t3321ttt3432ttt3543ttt3654ttt3765ttt2t3t4t5t6t1t2t3t4t5t6t7t441tt452tt463tt474tt3t4t5t某种商品零售量某种商品零售量0 05 510101515202025253030第一年第一年第二年第二年第三年第三年第四年第四年某种商品零售量某种商品零售量0 05 510101515202025253030第一年第一年第二年第二年第三年第三年第四年第四年q

22、移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强；数越多，平滑修匀作用越强；q由移动平均数组成的趋势值数列，较原数由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少，新数列的项数可计算如下：列的项数少，新数列的项数可计算如下：新数列项数原数列项数移动平均时距新数列项数原数列项数移动平均时距1 1 不便于直接根据修匀后的数列进行预不便于直接根据修匀后的数列进行预测。测。btaytaby 2ctbtay判断判断趋势趋势类型类型绘制散绘制散点图点图分析数分析数据特征据特征tyi一阶差分一阶差分yi -yi-11234 na+ba+2ba+3ba+4b

23、a+nbbbb bbtaytyi一阶差分一阶差分 二阶差分二阶差分1234 na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16c a+nb+n2cb+3cb+5cb+7c b+(2n-1)c2c2c 2c2ctbtaytyiyi /yi-11234 nabab2ab3ab4 abnbbb btaby 半数平均法依据的是几何学中两点确定一半数平均法依据的是几何学中两点确定一条直线的原理。它是先将数列分为相等的条直线的原理。它是先将数列分为相等的两部分两部分(如数列为奇数项，可丢掉中间一项如数列为奇数项，可丢掉中间一项)，然后由各部分各确定一个点，据此两点确然后由各部分各确定一个点，据此两点确

24、定一条趋势直线，最后根据趋势直线说明定一条趋势直线，最后根据趋势直线说明现象的长期趋势。现象的长期趋势。半数平均法适用于现象近似呈线性变化趋半数平均法适用于现象近似呈线性变化趋势的时间数列。势的时间数列。将两点将两点 的值代入两点式直线方程：的值代入两点式直线方程：121211ttyyttyy作代数变形后，将趋势直线方程记为：作代数变形后，将趋势直线方程记为：yc=a+bt 据此趋势直线方程可以说明现象的长期趋势据此趋势直线方程可以说明现象的长期趋势。11,yt22,yttbay)()(22),(btayyybaQ 2tbtatytbnayt byattnyttynb22)(0),()(2aa

25、baQbtay0),()(2bbbaQbtaybtayytaya0 12345670123-1-2-30t2tbtynayynyattyb2tbyattnyttynb22)(2tbtatytbnay2242222242242,0tttntyytncttybttnytttyacbactbtay的一般公式为：，时当仍然采用最小二乘法：对于二次曲线曲线拟合程度的判定：曲线拟合程度的判定：当曲线方程求出后，需要对该方程的拟合程度当曲线方程求出后，需要对该方程的拟合程度进行判定，判定的指标是标准差：进行判定，判定的指标是标准差：一般，标准差越小，方程的拟合程度越高一般，标准差越小，方程的拟合程度越高（该

26、判断标准用于可以拟合成多种类型的（该判断标准用于可以拟合成多种类型的曲线的情况）曲线的情况）nyy)(2S 季节变动（季节变动（Seasonal）：一年之内）：一年之内因纯季节原因造成的数列的波动，以及因纯季节原因造成的数列的波动，以及与季节无关的类似的变动。与季节无关的类似的变动。饮料的生产量及销售量在一年内的变化饮料的生产量及销售量在一年内的变化用电量在一年之内的增减用电量在一年之内的增减蔬菜价格在一年内的波动蔬菜价格在一年内的波动鲜花销售每年的几个旺季鲜花销售每年的几个旺季每年旅客运输的高峰期每年旅客运输的高峰期第四节第四节 季节变动的测定方法季节变动的测定方法测量季节变动的意义测量季节

27、变动的意义btayttyyyy按月按月(季季)平均法的计算过程：平均法的计算过程：第一步，求各年同季第一步，求各年同季（同月）平均数：（同月）平均数：设有设有 n 年年 m 季的数据，季的数据，y ij 为第为第 i 年第年第 j 季的数据季的数据nyyniijj1第二步，求各季或第二步，求各季或各月的总平均数：各月的总平均数：myymjjij1第三步，求出季节第三步，求出季节比率：比率：ijjijyyS%100)()(.总平均数季全期各月平均数季各月IS即即:年年份份五年合计五年合计同季平均数同季平均数季节指数季节指数季度季度第一年第一年第二年第二年第三年第三年合计合计52926.45400.00一一二二四四三三第四年第四年14241234841825153694192614389728402647第五年第五年20342039113141991498719419.829.817.438.874.86112.6765.78146.69 季节比率（季节指数）：某个季节数季节比率（季节指数）：某个季节数据据平均平均水平与各季节数据平均水平的比值。水平与各季节数据平均水平的比值。季节比率之和季节比率之和=4季节比率的概念（简单平均法）季节比率的概念（简单平均法）