微积分课件：3-3复合函数求导法则

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1、3.3 复合函数求导法则(对数求导法,隐函数求导法)链式法则链式法则（Chain Rules)：).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数证明证明,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu 所以所以)0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx0lim故故)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 注注1：链式求导法则，即：链式求导法则，即

2、因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自乘以中间变量对自变量求导变量求导.注注2),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例4 4.tanln的的导导数数求求函函数数xy 解解.tan,lnxuuy dxdududydxdy xu2sec1 xxcossin1 例例5 5.)cos(ln的导数的导数求函数求函数xey 解解xevvuuy ,cos,lndxdvdvdududydxdy )tan()sin(1xxxeeevu 注：熟练以后，可以不写出中

3、间变量，此例可以注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：这样写：)cos()cos(1)cos(ln xxxeeedxdy)tan()()cos()sin(xxxxxeeeee 例例6 6.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy练习：练习：.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例7 求求 的导数。的导数。)42tan(lnxy解：解：设设 42,tan,lnxvvuuy由由 得得)()()(xvufy)42()(tan)(ln xvuy21)42(cos1)42tan

4、(12xx.sec)2sin(1)42cos()42sin(21xxxx21cos112vu 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。由外及里、逐层求导。例例8 求求 的导数的导数5)23(xy解：解：y=(3x+2)5=5(3x+2)4(3x+2)=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4 例例9 求求 的导数的导数xy2cos解：解：y=(cosx)2=2cosx(cosx)=2cosx(-sinx)x2sin 例例10 求求 的导数的导数 32sin xy y=sin(x3)2=2sin(x3)sin(x3)=

5、2sin(x3)cos(x3)(x3)=2sin(x3)cos(x3)3x2=6x2sin(x3)cos(x3)例例11 求求 的导数的导数xy4sinlny=lnsin(4x)=sin(4x)x4sin1=cos(4x)(4x)x4sin1x4sin4=cos(4x)x4cot4 例例12 求求 的导数的导数2cotxy 解：解：)2(cot)2(cot21)2cot(21xxxy)2(2sin12cot1212xxx2cot12sin1412xx2sin42tan2xx练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数 1.xey3解：解：xxxexeey3333)3()(2.)cos(3xy 解

6、：解：)(sin)(cos333xxxy32sin3xxxey1sin)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxexxxex1cos)1(21sinxexx1cos11sin2 3.解：解：4.32ln1xy)ln1()ln1(3121312xxy解：)(ln1)ln1(312322xx)(lnln20)ln1(31322xxxxxxln12)ln1(31322xxxln)ln1(32322 例例13 求下列函数的导数求下列函数的导数综合运用求导法则求导综合运用求导法则求导xexy22sin).1()2(sin2xexy解：)()2(sin2xex)2()2(2cos2xexxxx

7、ex222cos233)(lnln).2(xxy)(ln)(ln33xxy解：)(ln)(ln3)(1233xxxxxxxx1)(ln331223)(ln1 3)(ln3322xxxxx 例例14 求下列函数的导数求下列函数的导数321)45(xxy解：解：y312)1()45(xx)1)(45(312xx)1()1(31)45()1(1032231xxxx.)1(1)45(311103223xxxx（1）42)sin(xxy解：)sin()sin(4232xxxxy)(sin)sin(4232xxxx)(sinsin21)sin(432xxxx)cossin21()sin(432xxxx)2

8、sin1()sin(432xxx（2）l 先化简再运用导数法则求导先化简再运用导数法则求导 例例15 求下列函数的导数求下列函数的导数 112xxy解解：先将已知函数分母有理化，先将已知函数分母有理化，得得)1)(1(1222xxxxxxy12xxy)1(121122xx112xx（1）xxycos1sin2解：因为xxycos1sin2xxxcos1cos1cos12 所以xysin11lnxxy解：因为11lnxxy)1ln()1ln(21xx所以 y211)1111(21xxx（2）（3）练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数xeyx3sin.1221.2xxeey)3(sin3si

9、n)(22xexeyxx解：)3(3cos3sin)2(22xxexxexxxexexx3cos33sin222）（）（解：21xxeey)(1212xexexx）（22121xxxexe22112xxxeexxxy2cos12sin.4xxxxxxycotsincossin211cossin22解：)(cotxyx2csc1)1(.32xxy)1)(1(1)1(22xxxxy解：12 x)1()1(21)1(2212xxx12 xxxx2)1)(1(212121)1(122xxxx11222xxx)1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx222212)1ln()1(xxxxx解解 方

10、法1y)1ln(22)1(xxxexy函数 可以写成)1ln(2xxey)1ln(2)1ln(2xxexx所以例例1xxy)1(2y求对数求导法对数求导法:将函数 两边取自然对数，即 两边对 求导，注意左端的 是 的函数，由链导法，有xxy)1(2)1ln(ln2xxyxyx2222212)1ln(21)1ln(1xxxxxxxyy因此 222212)1ln()1(xxxxyx方法2方法2称为对数求导法对数求导法，一般地对于函数)0)()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxv

11、xuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf （称为幂指函数）对数求导法除适用于幂指函数外，还适用于多个因式连乘的函数解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111 xxxyy例例2 2.,)4(1)1(23yexxxyx求设定义定义:.称为隐函数由方程所确定的函数)(xyy 形式称为显函数.)(xfy 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化 问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何隐函数不易显化或不能显化如何求导求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导

12、法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导.隐函数的导数例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解解,求导方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy ,0,0yx由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 例例2 2.线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程,点上求过,的方程为设曲线C),(CxyyxC23233 33解解,求导方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切线方程为)23(23 xy.03 yx即2323xy法线方程为,xy 即显然通过原点.

13、由参数方程所确定的函数的导由参数方程所确定的函数的导数数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx xy2 a.消参数法消参数法 b.(b.(消参困难或无法消参的求导可用消参困难或无法消参的求导可用)复合函复合函数求导方法数求导方法:1 由参数方程确定的函数的定义由参数方程确定的函数的定义2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法由参数方程所确定的函数的求导数的方法2xy 例如例如 t ttyt tx2114),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,

14、)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt ,)()(中中在方程在方程 tytxdtdxdtdydxdy 故故,)()(二阶可导二阶可导同样得到函数同样得到函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 故故例例1 1解解:先求运动的方向先求运动的方向。的运动方向和速度大小的运动方向和速度大小抛射体在时刻抛射体在时刻求求设抛射体的运动方程为设抛射体的运动方

15、程为tgttvytvx ,21,221xyovxvyv0v.,可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映轨道的切线方向轨道的切线方向时刻的运动方向，即时刻的运动方向，即在在t)()21(tan122 tvgttvdxdy 12vgtv 水水平平分分速速度度为为1vdtdxvx gtvdtdyvy 2时刻抛射体的速度为时刻抛射体的速度为故在故在t22yxvvv 2221)(gtvv ，则则设设切切线线的的倾倾角角为为 再求速度的大小再求速度的大小铅铅直直分分速速度度为为例例2 2解解dtdxdtdydxdy tatbcossin abdxdyt 4.方方程程处的切线处的切线在在求椭圆求椭圆4sin

16、cos ttbytax.22,22,4byaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)22(22axabby abbxay2 即即例例3 3 解解.arctan)1ln(2表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 ttytxdtdxdtdydxdy tttt211211122 )(22dxdydxddxyd tttt41122122 小结小结 1.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函

17、数求导问题可完全解决决.(1)、复合函数求导的关键，在于首先把、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成复合函数分解成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。(2)、熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，直接直接由外及里、逐层处理复合关系由外及里、逐层处理复合关系进行求导。进行求导。(3)、有些函数可先化简再求导。、有些函数可先化简再求导。2.2.隐函数求导方法隐函数求导方法:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;3.3.对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的按隐函数的求导法则求导求导法则求导(幂指函数与连乘积形式幂指函数与连乘积形式)4.参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则.