大学物理：第3章 刚体力学

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1、力学 刚体力学3.1 力矩的瞬时效应力矩的瞬时效应刚体转动定理刚体转动定理3.1.1 描述刚体力学的物理参量描述刚体力学的物理参量角参量角参量(角位移、角速度、角加速度角位移、角速度、角加速度)；线参量与角参量的关系；线参量与角参量的关系(参第参第 1 章章)(1)描述刚体转动的角参量描述刚体转动的角参量(2)改变刚体转动状态的参量改变刚体转动状态的参量力矩力矩力臂力臂：力与转轴的：力与转轴的距离距离力矩力矩：力与力臂的：力与力臂的矢积矢积FrM 或或 zyxzyxFFFzyxeeeM(3)保持刚体转动状态的参量保持刚体转动状态的参量转动惯量转动惯量参参下节下节内容内容3.1.2 绕固定转轴转

2、动的刚体转动定理绕固定转轴转动的刚体转动定理(1)物理模型物理模型对固定转轴刚体，只有分解到对固定转轴刚体，只有分解到 xoy 平面的平面的切向的分力切向的分力，才影响转动状态，才影响转动状态绕定轴转动刚体受力分析绕定轴转动刚体受力分析 x Fi y z o ri fji rj 切向分力影响刚体转动状态切向分力影响刚体转动状态(2)绕定轴转动的刚体转动定理绕定轴转动的刚体转动定理 x Fi y z o ri fji rj 设位矢设位矢 ri 的质点受到质点的质点受到质点 j 内力内力 fji，受到合外力为，受到合外力为 Fi，由牛顿第二定律，由牛顿第二定律iijijiiiamfF dsinsi

3、n 刚体绕固定刚体绕固定z 轴转动轴转动 iira iiijijiiirmfF dsinsin 将上式两边同时乘以将上式两边同时乘以 ri 并利用矢量矢积的定义有并利用矢量矢积的定义有 2diijijiiirmfrFr 考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力 jijijifrfr 上式成为上式成为 iiiiirmM 2d当微元趋于无限小时当微元趋于无限小时 VmrMd2 定义定义转动惯量转动惯量 VmrId2绕定轴转动的转动定理绕定轴转动的转动定理 IM A 转动惯量的转动惯量的物理意义物理意义：保持刚体原有转动状态：保持刚体原有转动状态惯性惯性的量度的量

4、度B 绕定轴转动的转动定律适用条件：惯性系绕定轴转动的转动定律适用条件：惯性系3.1.3 刚体转动惯量的计算刚体转动惯量的计算例例3.1.1 质量相等的三小球等间距分布在质量相等的三小球等间距分布在x-y平面角平分线上并绕平面角平分线上并绕 y 轴转动轴转动求求：系统的转动惯量：系统的转动惯量 x y m a o 解解：由：由 iiirmI22222732222222maaaamI 例例3.1.2 线密度为线密度为 、质量为、质量为 m 的均匀细杆与转轴的夹角为的均匀细杆与转轴的夹角为 求求 其转动惯量其转动惯量 解解：由：由 VmrId2在杆上在杆上 l 处任取微元处任取微元 dmlmdd

5、x y m o dm r 22302022sin31)(sin31d)sin(d0mllllmrIlV 而杆的总长度而杆的总长度 ml 0例例3.1.3 杆上等间距地套上三个质量都等于杆的质量的小球，系统定轴转动杆上等间距地套上三个质量都等于杆的质量的小球，系统定轴转动求求：系统的转动惯量：系统的转动惯量 解解：杆的转动惯量杆的转动惯量 2221sin31dmlmrIV 三个小球的转动惯量三个小球的转动惯量 2227marmIii 系统的转动惯量系统的转动惯量 22221sin317mlmaIII 例例3.1.4 转动惯量的转动惯量的平行轴定理平行轴定理 Ic 过质心转轴的转动惯量，过质心转轴

6、的转动惯量，l 是与过质心转轴平行、相距为是与过质心转轴平行、相距为 l 另一转轴另一转轴 2mlIIc l Ic I l rc r 证明证明 VVmrrmrId)(d2 VccVccmlrlrmlrlrd)2(d)()(22 VccmrlmlId22质心坐标求解方法质心坐标求解方法 mrrVcd Ic是过质心转轴的转动惯量是过质心转轴的转动惯量2mlIIc 例例3.1.5 垂直轴定理垂直轴定理：平面薄板刚体对垂直于平面任一转轴的转动惯量，等：平面薄板刚体对垂直于平面任一转轴的转动惯量，等 于刚体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交轴转动惯量之和于刚体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交轴转动

7、惯量之和 yxIII 证明证明 VVmrrmrId)(d2 Vyxyxmeyexeyexd)()(yxVIImyx d)(22 z x y o 例例3.1.6 求均匀分布、质量为求均匀分布、质量为 m 的球体绕其直径作定轴转动的的球体绕其直径作定轴转动的 I解解：球体的质量密度：球体的质量密度 343RmVm 采用球坐标系采用球坐标系rrVmdddsindd2 ddsin2dddsin)sin(d34222rrrrrmrIVV52158cosd)cos1(5225025mRRR 课后作业课后作业：一些常见物体的转动惯量计算：一些常见物体的转动惯量计算(参教材参教材 p99-p100)3.1.4

8、 绕定轴转动的转动定理的应用绕定轴转动的转动定理的应用 例例3.1.6 电风扇开启电源经电风扇开启电源经 t1 达到额定转速达到额定转速 0，关闭电源时经，关闭电源时经 t2 停止；设电停止；设电 风扇的转动惯量为风扇的转动惯量为 I，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量求求：电机的电磁力矩：电机的电磁力矩 解解：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为 M、Mf 电风扇电风扇开启时开启时受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即 1 IMMf 当电风扇达到额定转速时当电风扇达到额定转速时 110t 电风扇电风扇关闭

9、过程关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，即中，只受到摩擦力矩的作用，即 2 IMf 达到停止时达到停止时 0220 t 解此联立方程组，得解此联立方程组，得)11(210ttIM 例例3.1.7 质量为质量为 M、半径为、半径为 R 的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平定的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平定 轴转动；柱边缘绕有一根不能伸长的细绳下端挂一质量为轴转动；柱边缘绕有一根不能伸长的细绳下端挂一质量为 m 的物体的物体求求：柱体的角加速度及绳中的张力：柱体的角加速度及绳中的张力解解：用隔离体法：用隔离体法maTmg 对对m对柱对柱 RaITR ，解得解得)2/(2RMmmg )2/(

10、MmMmgT 例例3.1.8 可绕水平光滑轴转动的匀质圆盘质量分别为可绕水平光滑轴转动的匀质圆盘质量分别为 m1=24 kg，m2=5 kg，一轻绳一端缠绕于一轻绳一端缠绕于m1上，另一端经上，另一端经 m2 链接链接 m=10 kg 的物体的物体求求：物体：物体 m 由静止开始下落由静止开始下落 h=0.5 m 时，物体的速度及时，物体的速度及 绳的张力绳的张力 解解：各物体受力情况如图所示：各物体受力情况如图所示1211121 RmRTm：22212221 rmrTrTm ：maTmgm 2：ahrRa2221 v，求解联立方程，代入数据，可得求解联立方程，代入数据，可得NTNTsm584

11、8/221 ，v例例3.1.9 质量为质量为 m、长为、长为 l 的均匀细棒的均匀细棒 AB，可绕水平光滑轴，可绕水平光滑轴 o 在竖直平面内在竖直平面内 转动，转动，o 轴离轴离 A 端的距离为端的距离为 l/3，棒从静，棒从静 止开始由水平位置绕止开始由水平位置绕 o 轴转动轴转动求求：棒转过角：棒转过角 时的角加速度和角速度。时的角加速度和角速度。解解：各物体受力情况如图所示：各物体受力情况如图所示 cos6lmgMo 22291)6(121mllmmlIo cos23lgIMoo cos23ddddddddlgtt 又因又因所以所以 dcos23d00 lg积分得积分得lg sin3

12、例例3.1.10 质量为质量为 m、半径为、半径为 R 的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴 以以 o 转动。现将盘置于摩擦系数为的转动。现将盘置于摩擦系数为的 粗糙水平桌面上粗糙水平桌面上求求：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？解解：摩擦力分布在整个盘面上，取半径为：摩擦力分布在整个盘面上，取半径为 r、宽为、宽为dr 的微元，摩擦力矩为的微元，摩擦力矩为mgRrrRmgrMR 32d202 221mRI 转动惯量转动惯量RgIM34 于是得于是得00 t gRt 4300 gRNoo 1632222 又由又由，所以

13、停下来前转过的，所以停下来前转过的圈数圈数为为 22023.2 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应角动量定理角动量定理3.2.1 描述力矩时间累积效应的物理参量描述力矩时间累积效应的物理参量(1)冲量矩冲量矩tMJdd 21dtttMJ或或 记记讨论讨论：冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，：冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，(略，自己补充略，自己补充)力矩在时间上的累积矢量，称为力矩在时间上的累积矢量，称为冲量矩冲量矩(2)角动量定理与角动量角动量定理与角动量)(dddItMJ 112221dIItMJtt 其中，其中，I1、1 和和 I2、2 分别表示始末状态的转动惯量与角速度分别表示始末

14、状态的转动惯量与角速度 定义刚体绕定轴转动的定义刚体绕定轴转动的角动量角动量IL LJdd 于是于是12LLJ 讨论讨论：关于角动量与角动量定理：关于角动量与角动量定理(1)角动量的其它角动量的其它表述形式表述形式 因因 2rrv LrmJd)d(d v于是于是即角动量可以定义为即角动量可以定义为 v rmL角动量的普遍定义式角动量的普遍定义式(2)冲量矩、角动量与角动量定理的冲量矩、角动量与角动量定理的矢量性矢量性与与独立性独立性 zttzyttyxttxzzyyxxe tMe tMe tMeJeJeJJ 212121ddd222zyxJJJJ (3)适用条件。其适用条件仍然是惯性系适用条件

15、。其适用条件仍然是惯性系(4)角动量定理中的力矩只有外力矩角动量定理中的力矩只有外力矩(5)角动量守恒定律角动量守恒定律：当外力冲量矩的矢量和为零时，角动量保持不变：当外力冲量矩的矢量和为零时，角动量保持不变1122II 例例3.2.1 当当 I1=I2 时，时，0 ，刚体做匀角速度转动，刚体做匀角速度转动 当当 I 变化时，变化时，现象解释现象解释2112 II3.2.2 角动量定理的应用角动量定理的应用例例3.2.2 匀质园盘匀质园盘(m、R)与一人与一人(m/10，视为质点，视为质点)一起以角速度一起以角速度 0 绕通过其绕通过其 盘心的竖直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘以速率盘心的竖

16、直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘以速率 v、沿半径为、沿半径为 R/2 的园周运动的园周运动(方向与盘转动方向相反方向与盘转动方向相反)求求(1)圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？解解：系统：圆盘：系统：圆盘+人人 0 R/2)2()2(1021)21(102122022RRmmRRmmRv 解出解出R2120v 得得0221 R v负号表示人的运动方向与负号表示人的运动方向与 0 方向相同方向相同(2)欲使盘静止，令欲使盘静止，令02120 Rv 解解：绳的拉力的作用线通过：绳的拉力的作用线通过

17、 o 点，对点，对 o 点的角动量守恒点的角动量守恒例例3.2.3 细绳一端系有置于水平桌面、质量细绳一端系有置于水平桌面、质量 m 的小球，另一端穿过桌面小孔的小球，另一端穿过桌面小孔 o 并用力往下拉住。设开始时小球以并用力往下拉住。设开始时小球以 0 绕孔绕孔o 作半径作半径 r 的匀速圆周运动的匀速圆周运动,现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为 r/2 止止求求：这一过程中拉力的功：这一过程中拉力的功02024)2/(rmmr202202222321)2(21 mrmrrmA 由动能定理，由动能定理，拉力的功为拉力的功为例例3.2.4

18、 质量、半径分别为质量、半径分别为 M1、M2 和和 R1、R2 的两均匀圆柱各自绕相互平行的两均匀圆柱各自绕相互平行 中心轴转动，开始时角速度分别为中心轴转动，开始时角速度分别为 1、2，现将它们缓慢移近并接触，现将它们缓慢移近并接触 求求：两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度：两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度 解解：在两圆柱体之间的摩擦力作用下，最终：在两圆柱体之间的摩擦力作用下，最终线速度线速度相等相等 R1 M1 M2 R2 2 1 2211RR 由角动量定理由角动量定理 )(d11101 ItfRt)(d22202 ItfRt R1 M1 M2 R2 2

19、1 圆柱的转动惯量圆柱的转动惯量 211121RMI 222221RMI 联立求解方程联立求解方程)(2112221111MMRRMRM )(2121112222MMRRMRM 讨论讨论：(1)关于关于连接条件连接条件 (2)连接体的角动量守恒问题，角动量应守恒吗？连接体的角动量守恒问题，角动量应守恒吗？系统系统初始状态初始状态的角动量的角动量 L1 为为)(222212111 RMRML 系统系统末状态末状态的角动量的角动量 L2 为为 222212112 RMRML联立求解方程联立求解方程 摩擦力冲量矩的代数和并不为零摩擦力冲量矩的代数和并不为零 不是绕同一固定轴转动不是绕同一固定轴转动

20、R1 M1 M2 R2 2 1 2122222122122212121122)(MMRMRRRRMMLL (不一定等于零不一定等于零)例例3.2.5 人们把物体所受的指向同一固定点的作用力称为有心力或人们把物体所受的指向同一固定点的作用力称为有心力或中心力中心力证明证明：(1)在有心力作用下运动的物体，在有心力作用下运动的物体，角动量守恒角动量守恒；(2)有心力是保守力，在有心力场中运动的质点有心力是保守力，在有心力场中运动的质点机械能守恒机械能守恒；(3)隆格楞茨矢量隆格楞茨矢量 守恒；守恒；(4)中心力场中质点的运动一定满足中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动开普勒运动 rrkLB v证

21、明证明：(1)有心力场中有心力场中有有心力对质点产生的力矩为零，故心力对质点产生的力矩为零，故角动量守恒角动量守恒(2)有心力可表示为有心力可表示为 0rFF 质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所做的功质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所做的功)()()dd()(120021rUrUnrrrrrFArrnr 其中，势能其中，势能 rrrrFrU0d)(受力物体与有心力场场源构成的系统只受到保守力作用，受力物体与有心力场场源构成的系统只受到保守力作用，机械能守恒机械能守恒(3)对平方反比有心力对平方反比有心力02rrkF 其中，其中，k为常数。考察为常数。考察 LttLL

22、tLt dddddd)(ddvvvv)()()(dd02vvvv rrrkrFrtm trrtrrrkrrrrkrdd1dd223vv )()()(33rrrrrkrrrk vvv )(dddd1)1(ddrrtktrrrtrk 即即 0)(dddd rrkLttBv或或 rrkLB v=常数常数(4)为证明平方反比中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动为证明平方反比中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动krmLkrrLkrLrBr 2)()(vv另一方面另一方面 cosrBBr cos1 pr其中其中 kmLp2 kB =常数常数=常数常数 上式是极坐标下的圆锥曲线方程上式是极坐标下的圆锥曲

23、线方程(当当 1 时，为时，为椭圆方程椭圆方程)计算单位时间扫过的面积计算单位时间扫过的面积(开普勒第二定律开普勒第二定律)mLrtrrts221d2ddd v=常数常数 B v ds o 例例3.2.6 1970年我国发射的第一枚地球卫星的数据如下：质量年我国发射的第一枚地球卫星的数据如下：质量 m=173 kg，周，周 期期 T=114 min，近日点距地心，近日点距地心 r1=6817 km，远地点距地心，远地点距地心 r2=8762 km，椭圆轨道半长轴：椭圆轨道半长轴：a=7790 km，椭圆轨道半短轴：，椭圆轨道半短轴：b=7720 km 求求：卫星的近地速度和远地速度：卫星的近地

24、速度和远地速度 v2 ds o v1 r1 r2 r r+dr 解解：卫星作椭圆轨道运动，且角动量守恒，设卫星近地速度为：卫星作椭圆轨道运动，且角动量守恒，设卫星近地速度为 v1，方向与，方向与 r1垂直；远地速度为垂直；远地速度为 v2，方向与，方向与 r2垂直垂直 于是于是 TrTrs21112121vv 21112121ddvvrrts =常数常数 1.822111 TrabTrsvkm/s 3.622222 TrabTrsvkm/s 在上面式子中，利用了椭圆面积功式在上面式子中，利用了椭圆面积功式 s=ab(2)回转仪刚体进动回转仪刚体进动 回转仪构造回转仪构造回转仪工作原理回转仪工作

25、原理dLOmgLdrcdLd3.3 力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律 3.3.1 描述刚体空间累积效应的物理参量描述刚体空间累积效应的物理参量 设设 eFeFFrr errdd 质点在合外力作用下所作的功质点在合外力作用下所作的功 21d MA积分形式积分形式 ddsindd MrFrFA微分形式微分形式(1)力矩的功力矩的功 x F y z o dm 讨论讨论：A 内力所作功之和为零内力所作功之和为零 B 力矩作功的正负符号规定力矩作功的正负符号规定 C 力矩作功的功率力矩作功的功率 MtMtApdddd(2)刚体的势能与势能定理刚体的势能与势能定

26、理 结论结论：刚体的势能等于刚体质心的质点的势能：刚体的势能等于刚体质心的质点的势能势能定理势能定理：保守力对刚体所作的功，等于刚体势能增量的负值：保守力对刚体所作的功，等于刚体势能增量的负值)(papbabEEA 案例案例：重力势能：重力势能 cVpmghmmhmgmmmghVghE ddd(3)刚体的动能与动能定理刚体的动能与动能定理 ttIIAMAddddddd 21222121d21 IIIA 积分形式积分形式)21(ddd2 IIA 微分形式微分形式 定义绕固定转轴转动的刚体定义绕固定转轴转动的刚体动能动能 221 IEk 绕固定转轴转动的刚体的绕固定转轴转动的刚体的动能定理动能定理

27、 kEAdd 0kkEEA 3.3.2 刚体的功能原理与机械能守恒定律刚体的功能原理与机械能守恒定律 定义刚体动能与势能之和为刚体的定义刚体动能与势能之和为刚体的机械能机械能 pkEEE 考虑到刚体内力不做功考虑到刚体内力不做功0EEA 外外功能原理功能原理：外力矩对刚体所做的功，等于刚体机械能的增量：外力矩对刚体所做的功，等于刚体机械能的增量3.3.3 刚体功能原理的应用刚体功能原理的应用(1)刚体功能原理的应用刚体功能原理的应用 例例3.3.1 质量、半径相同的圆柱质量、半径相同的圆柱、薄球壳薄球壳、球体从相同光滑斜面、相同高球体从相同光滑斜面、相同高 度由静止无相对滑动下滑度由静止无相对

28、滑动下滑求求：质心所获得的速度：质心所获得的速度 解解：将地球、斜面、：将地球、斜面、m看作为系统，由机械能守恒看作为系统，由机械能守恒 无滑动的条件无滑动的条件 Rc v222121 ccImmgh v对圆柱对圆柱 221mRIc 对球壳对球壳232mRIc 对球体对球体252mRIc 质心获得的速度分别为质心获得的速度分别为 ghc34 vghc56 vghc710 v例例3.3.2 质量为质量为 m 的火箭以与地轴的火箭以与地轴 oo 平行、速度平行、速度 v0 发射，运动轨道与地轴发射，运动轨道与地轴 oo 相交于距相交于距 o 为为 3R 的的C点。不考虑地球的自转和空气阻力点。不考

29、虑地球的自转和空气阻力求求：火箭在：火箭在C点的速度点的速度 v 与与 v0 之间的夹角之间的夹角。(设地球的质量为设地球的质量为M、半径为、半径为R)o O v A 解解火箭运动过程中机械能守恒火箭运动过程中机械能守恒 RMmGmRMmGm32121220 vv对对 o 点的角动量守恒点的角动量守恒)43(3sin2020GMRR vv 解得解得 sin30RmRm vv例例3.3.3 质量质量 m、长、长 l 的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定 轴轴 o 转动；开始时，棒静止在竖直位置转动；开始时，棒静止在竖直位置求求：棒转到与水平

30、面成：棒转到与水平面成 角时的角速度和角加速度角时的角速度和角加速度 C hc o 解解：取水平面为零势面，转动过程中机械能守恒：取水平面为零势面，转动过程中机械能守恒221sin22 Ilmglmg 22231)2(121mllmmlI lg/)sin1(3 cos23ddddddddlgtt 讨论讨论：本题也可先由：本题也可先由 求出求出，再用，再用 积分求积分求 IM td/d 例例3.3.4 由弹簧、匀质滑轮和重物由弹簧、匀质滑轮和重物 M 组成的系统，该系统在弹簧为原长时被组成的系统，该系统在弹簧为原长时被 静止释放；绳与滑轮无滑动静止释放；绳与滑轮无滑动求求：(1)重物重物 M 下

31、落下落 h 时的速度；时的速度；(2)弹簧的最大伸长量弹簧的最大伸长量解解：(1)系统在运动过程中只有重力和弹性力系统在运动过程中只有重力和弹性力 作功，所以机械能守恒作功，所以机械能守恒 222212121khIMMgh vrmrI v，221mMkhMgh2122 v(2)令令 M 的速度的速度v=0，弹簧的最大伸长量为，弹簧的最大伸长量为kMgh/2max 例例3.3.5 空心园环可绕光滑的竖直固定轴空心园环可绕光滑的竖直固定轴 AC 自由转动，转动惯量为自由转动，转动惯量为 I0，半，半 径为径为 R，初始角速度为，初始角速度为 0。质量为。质量为 m 的小球静止在环的最高处的小球静止

32、在环的最高处 A 点，点，由于某种扰动，小球沿环向下滑动由于某种扰动，小球沿环向下滑动求求：小球滑到与环心：小球滑到与环心 o 在同一高度的在同一高度的B点时，环的角速度及小球相对于环的点时，环的角速度及小球相对于环的 速度各为多少速度各为多少?(设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小)解解：系统运动过程中角动量守恒；机械能也守恒：系统运动过程中角动量守恒；机械能也守恒上式中的上式中的 v 是小球相对于地的速度，它应为是小球相对于地的速度，它应为222)(BRvv )(2000mRII (1)220200212121vmImgRI (2)vB 表小球在表小

33、球在B点时相对地面的竖直分速度点时相对地面的竖直分速度由由(2)得得0222002ImRRIgRB v2000mRII 由由(1)得环的角速度为得环的角速度为例例3.3.6 长长 l、质量质量 M 的匀质杆可绕过其一端的光滑轴的匀质杆可绕过其一端的光滑轴 o 转动，杆初始时竖转动，杆初始时竖 直下垂；质量为直下垂；质量为 m 的子弹以水平速度射入杆的的子弹以水平速度射入杆的A点并嵌其中，点并嵌其中，oA=2l/3求求：(1)子弹射入后瞬间杆的角速度；子弹射入后瞬间杆的角速度；(2)杆能转过的最大角度杆能转过的最大角度 解解：(1)杆杆+子弹：竖直位置，外力均不产生力矩，碰撞过程中子弹：竖直位置

34、，外力均不产生力矩，碰撞过程中角动量守恒角动量守恒)32(3132220lmMllm v)43(60mMlm v 2l/3 mv0 o A (2)杆在转动过程中显然机械能守恒杆在转动过程中显然机械能守恒)cos1(32)cos1(2)32(3121222 lmglMglmMl)3/22/()3/2(3/2)3/2(1cos2220mglMgllmMllm v 由此得由此得2l/3 mv0 o A (2)刚体的平面平行运动问题刚体的平面平行运动问题 平面平行运动平面平行运动：刚体内所有质点都平行于某一平面的运动：刚体内所有质点都平行于某一平面的运动结论结论：惯性参考系中，平面平行运动的刚体，其总

35、动能应等于：惯性参考系中，平面平行运动的刚体，其总动能应等于质心平动质心平动的的 动能与刚体动能与刚体绕质心转动动能绕质心转动动能之和之和 例例3.3.7 光滑的桌面上有一质量光滑的桌面上有一质量 M、长、长 2l 的细杆，质量的细杆，质量 m、速度、速度 v0 的小球沿的小球沿 桌面垂直撞在杆上，设碰撞是完全弹性桌面垂直撞在杆上，设碰撞是完全弹性求求：球和杆的运动状况，以及什么条件下，细杆运行半圈后又与小球相撞？：球和杆的运动状况，以及什么条件下，细杆运行半圈后又与小球相撞？解解：系统：小球：系统：小球+杆；碰后小球、杆的质心速度：杆；碰后小球、杆的质心速度：v1、v2，杆绕质心角速度，杆绕

36、质心角速度 动量守恒动量守恒 210vvvMmm 角动量守恒角动量守恒(杆的质心为参考点杆的质心为参考点)cIml )(10vv动能守恒动能守恒 2212021212121 cIMmm 22vvv细杆绕质心转动的转动惯量细杆绕质心转动的转动惯量231MlIc 2l m v0 M)4(60Mmlm v 0144vvMmMm 0242vvMmm 欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，须使欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，须使 ，条件为：，条件为：M=2m 21vv 例例3.3.8 半径为半径为 R 的乒乓球与水平桌面的摩擦系数的乒乓球与水平桌面的摩擦系数 ，开始时，用手按球的上，开始时，用手按球的上

37、左侧，使球的质心以左侧，使球的质心以 vc0 的初速度向的初速度向 x 正向运动，并具有逆时针方向的初正向运动，并具有逆时针方向的初 始角速度始角速度 0，设，设分析分析：乒乓球以后的运动情况：乒乓球以后的运动情况 0032 Rc v解解：起始乒乓球与桌面接触点：起始乒乓球与桌面接触点 P 具有初速度具有初速度0000 RcPvv乒乓球向右平动，一边倒着转动乒乓球向右平动，一边倒着转动，按质心运动定理，有，按质心运动定理，有 tmmamgccddv gtcc 0vv摩擦力产生的力矩对质心的转动方程为摩擦力产生的力矩对质心的转动方程为 tdd32dd2 mRtImgRc Rgt 230 讨论讨论

38、：小球运动情况分析：小球运动情况分析(1)当当 ，因，因001 ccgttvv Rc0023 v 0032 Rc v可知，此时平动速度为零，转动角速度大于零，小球可知，此时平动速度为零，转动角速度大于零，小球原地转动原地转动01 cttv0 0 RcPvv当当 ，质心开始倒退直到，质心开始倒退直到 vp=0(2)减小到减小到 0 的时刻的时刻 t2 满足满足 gRtgttRgRcc 0022020520)(23vv t=t2 后，球作后，球作无滑动滚动无滑动滚动，若不计滚动摩擦，其质心速度和角速度恒为，若不计滚动摩擦，其质心速度和角速度恒为 RRRgtccccc00002023522352vvvvv