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1、1第十二章第十二章 微分方程微分方程differential equation2利用函数关系可以对客观事物作定量分析利用函数关系可以对客观事物作定量分析.但在许多实际问题中但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观而根据问题所服从的客观含有未知函数的导数或微分的关系式含有未知函数的导数或微分的关系式,关系式称为关系式称为对它进行研究确定出未知对它进行研究确定出未知实际上就解决了最实际上就解决了最不能直接找出所需要的函数关系不能直接找出所需要的函数关系,只能列出只能列出把这样的把这样的牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨)(xfy 求解问题求解问题.微分方程微分方程.规律规律,函数的过程就是函数的过程就
2、是确定的微积分运算的互逆性确定的微积分运算的互逆性,简单的简单的微分方程微分方程解微分方程解微分方程.第十二章第十二章 微分方程微分方程3 本章主要介绍本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法种常用的微分方程的解法,1.微分方程的基本概念微分方程的基本概念;2.一阶一阶微分方程微分方程;3.几种可积的高阶几种可积的高阶微分方程微分方程;4.线性线性微分方程及其通解的结构微分方程及其通解的结构;5.常系数齐次线性常系数齐次线性方程方程;6.常系数非齐次线性常系数非齐次线性方程方程.讨论如下几个问题讨论如下几个问题:第十二章第十二章 微分方程微分方程4
3、问题的提出问题的提出基本概念基本概念小结小结 思考题思考题 作业作业(differential equation)第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念第十二章第十二章 微分方程微分方程5解解xxy2dd xxyd2,2Cxy 即即求得求得可直接积分的方程可直接积分的方程.12 xy,1 C)(xyy 例例 一曲线通过点一曲线通过点),2,1(且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为处的切线的斜率为,2x求这曲线的方程求这曲线的方程.一、问题的提出一、问题的提出微分方程的基本概念微分方程的基本概念设所求曲线为设所求曲线为所求曲线方程为所求曲线方程为6解解4.
4、0dd22 ts,0时时 ttsvdd 2122.0CtCts ,0 s14.0Ct ,201 C02 C20dd tsv).(tss 可直接积分的方程可直接积分的方程例例 列车在平直的线路上以列车在平直的线路上以秒秒米米20的速度行驶的速度行驶,当制动时列车获得加速度当制动时列车获得加速度,4.02秒秒米米 问开始制动问开始制动后多少时间列车才能停住后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间以及列车在这段时间内行驶了多少路程内行驶了多少路程?微分方程的基本概念微分方程的基本概念设制动后设制动后 t 秒钟行驶秒钟行驶 s 米米,7,202.02tts ,204.0dd ttsv故故 4.020
5、t).(5005020502.02米米 s得到开始制动到列车完全停住共需时间得到开始制动到列车完全停住共需时间),(50 秒秒,0 v令令,50 t得到列车在这段时间内行驶的路程得到列车在这段时间内行驶的路程微分方程的基本概念微分方程的基本概念8 我们所学习的不定积分我们所学习的不定积分,实际上就是求解实际上就是求解有些微分方程虽不象有些微分方程虽不象但经过化简但经过化简,可以变成以上的形式可以变成以上的形式.这些方程也可看作可直接积分的方程这些方程也可看作可直接积分的方程.这样简单这样简单,最简单的一类微分方程最简单的一类微分方程.微分方程的基本概念微分方程的基本概念9如如xyy 0dd)(
6、2 xxtxtxeyyy 32yxxz 二、基本概念二、基本概念凡含有未知函数的导数凡含有未知函数的导数(或微分或微分)的方程称的方程称未知函数是一元函数的方程为未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数的最高阶数称方程中所出现的导数的最高阶数称微分方程微分方程.常微分方程常微分方程;未知函数是多元函数的方程为未知函数是多元函数的方程为偏微分方程偏微分方程.微分方程的阶微分方程的阶.一阶一阶一阶一阶二阶二阶一阶一阶微分方程的基本概念微分方程的基本概念10代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解微分方程的解.微分方程的解的分类微分方程的解的分
7、类(1)通解通解微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解特解 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.如方程如方程Cxy 2.12 xy,2ddxxy 通解通解,4.0dd22 ts2122.0CtCts 通解通解特解特解特解特解.202.02tts 微分方程的基本概念微分方程的基本概念11初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.注注通解和特解是一般和特殊的关系通解和特解是一般和特殊的关系.曲线通过曲线通过点点(1,2).如前例如前例,初值问题初值问题(柯西
8、问题柯西问题)求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.解的图象解的图象通解的图象通解的图象微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.积分曲线族积分曲线族.微分方程的基本概念微分方程的基本概念12是过定点的积分曲线是过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶二阶二阶 0000,),(yyyyyyxfyxxxx是过定点且在定点的切线的斜率为定值是过定点且在定点的切线的斜率为定值几何意义几何意义几何意义几何意义定值的积分曲线定值的积分曲线.一般的一般的n阶微分方程为阶微分方程为,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy已解出最高阶导数的微分方程已解出
9、最高阶导数的微分方程 今后讨论今后讨论微分方程的基本概念微分方程的基本概念13解解 txdd 22ddtxxtx和和将将22dd是微分方程是微分方程验证：函数验证：函数ktCktCxsincos21 .0dd,00的特解的特解 tttxAxktkCktkCcossin21 ktCkktCksincos2212 例例的表达式代入原方程的表达式代入原方程,0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk微分方程的基本概念微分方程的基本概念.0dd222的解的解 xktx并求满足初等条件并求满足初等条件14ktCktCxsincos21 故故Axt 0.02 C所求特解为
10、所求特解为.cosktAx ,0dd222 xktx且为且为通解通解.0dd0 ttx又又1CA 而而是原方程的解是原方程的解,0dd,00 tttxAx微分方程的基本概念微分方程的基本概念12dsincosdxkCktkCktt 15试求下列微分方程在指定形式下的解试求下列微分方程在指定形式下的解:.,023的解的解形如形如rxeyyyy 例例解解,yeyrx 求求将将得得,rxrey ,yeyrx 求求将将得得,2rxery yyy ,将将代入微分方程中代入微分方程中,得得0232 rr0)1)(2(rr1,221 rr得两个解得两个解.,221xxeyey 微分方程的基本概念微分方程的基
11、本概念16例例 求含有两个任意常数求含有两个任意常数C1,C2的曲线族的曲线族满足的微分方程满足的微分方程.解解xxeCeCy221 将将 求导得求导得xxeCeCy221 ,2221xxeCeCy .4221xxeCeCy 所求的微分方程所求的微分方程12,yyyCC将、的式子联立 消去、.02 yyy便得到便得到 求曲线族满足的微分方程求曲线族满足的微分方程,具体方法是具体方法是求导数求导数,并消去任意常数并消去任意常数.所以所以,若曲线族中含若曲线族中含有两个任意常数有两个任意常数,则需求到二阶导数则需求到二阶导数.最后最后,看一个相反的问题看一个相反的问题微分方程的基本概念微分方程的基
12、本概念17微分方程微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程的解微分方程的解通解通解初始条件初始条件特解特解初值问题初值问题积分曲线积分曲线 四、小结四、小结微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念:18思考题思考题(是非题是非题)微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的通解是否包含它所有的解微分方程的通解是否包含它所有的解?非非解答解答微分方程的通解不一定否包含它所有的解微分方程的通解不一定否包含它所有的解.例如例如,微分方程微分方程0d)3(d)4(234 yyxxyx的通解为的通解为.112132Cyyxx 其中其中C为任意常数为任意常数.的通解为的通解为但它不能包含方程的解但它不能包含方程的解:.00 yx或或这种解称为奇解这种解称为奇解19作作 业业习题习题12-1(26312-1(263页）页）2.(3)(4)3.(1)4.(2)5.(1)(2)微分方程的基本概念微分方程的基本概念
高等数学：12-1 微分方程的基本概念
