高等数学：11-7 傅里叶(Fourier)级数

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1、1三角函数系的正交性三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数问题的提出问题的提出第七节第七节 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数2一、问题的提出一、问题的提出在自然界和人类的生产实践中在自然界和人类的生产实践中,周而复始周而复始的现象的现象,周期运动是常见的周期运动是常见的.如行星的飞转如行星的飞转,飞轮的旋转飞轮的旋转,蒸气机活塞的蒸气机活塞的往复运动往复运动,物体的振动物体的振动,声、光、电的波动等声、光、电的波动等.数学上数学上,用用周期函数周期函数来描述它们来描述它们.最简单最基本最简单最基本的周期函数是的周期函数是)sin(tA谐函数谐函数周周期期 2振幅振幅时

2、间时间角频率角频率初相初相 简谐波简谐波 简谐振动简谐振动正弦型函数正弦型函数3如矩形波如矩形波 tttu0,10,1)(当当当当不同频率正弦波不同频率正弦波,sin4t,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t 除了正弦函数外除了正弦函数外,常遇到的是常遇到的是非正弦周期函数非正弦周期函数,较复杂的较复杂的周期现象周期现象逐个叠加逐个叠加分解分解,9sin914t Otu11 4tusin4 11 Otu 2 22 2 23 23 5)3sin31(sin4ttu Otu11 2 22 2 23 23 6)5sin513sin31(sin4tttu Otu11 2 22 2

3、23 23 7)7sin715sin513sin31(sin4ttttu Otu11 2 22 2 23 23 8)9sin917sin715sin513sin31(sin4)(ttttttu)0,(tt )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu Otu11 2 22 2 23 23 9设想设想一个较复杂的周期运动一个较复杂的周期运动(如矩形波如矩形波)分解分解为简谐振动的迭加为简谐振动的迭加.会给分析问题带来方便会给分析问题带来方便.是把一个复杂的是把一个复杂的周期函数周期函数 f(t)sin(nntnA 反映在数学上反映在数学上,的迭加的迭加,表示为各类表示

4、为各类正弦函数正弦函数 10)sin(nnntnAA 谐波分析谐波分析或再利用三角恒等式或再利用三角恒等式,10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 变形为变形为即即10,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb .xt 三角级数三角级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa函数函数 f(t)满足什么条件满足什么条件,系数系数nnbaa,0才能展为才能展为如何确定如何确定?为简便计为简便计,先来讨论以先来讨论以 为周期的函数为周期的函数 f(x),2解决上述问题起着关键作用的是解决上述问题起着关键作用的是:三角函数系的正交性三角函数系的正交性(orthogo

5、nality).10)sincos(2nnnnxbnxaa1 三角级数三角级数?10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 11,1三角函数系三角函数系二、三角函数系的正交性的的正交性正交性是指是指:其中任何两个其中任何两个不同的函数的乘积不同的函数的乘积上上的的积积分分为为零零，,在一个周期长的区间在一个周期长的区间 而任而任一个函数的自乘一个函数的自乘(平方平方)在在,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx或或上上的的积积分分为为 ,.2 为为 1nxcosxd 1nxsinxd0 即有即有xd12 2 12 xnxmxdsinsin xn

6、xmxdcossin),2,1,(nm其中其中xnxdcos2 xnxdsin2 nm ,0nm ,0 xnxmxdcoscosnm ,0nm ,131.1.傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有.)1(0a求求 220 a xxfad)(10 xad20利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性两边积分两边积分 1dsindcoskkkxkxbxkxa 0 0 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xd xd xd三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数,2)(为周期的函数为周期的函数是以是以设设 xf.,可积可积且在且在 1

7、4.)2(na求求 xnxxfdcos)(dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk xnxandcos2 na xnxxfandcos)(1),3,2,1(n,cosnx两边同乘两边同乘逐逐项项积积分分到到再再从从 xnxadcos20利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性nk 0 0 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf15.)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1),3,2,1(n xnxxfdsin)(dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk nb 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf,sinnx两边同乘两

8、边同乘逐逐项项积积分分到到再再从从 xnxadsin200 nk 0 利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性16 ),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2020),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2nnnnxbnxaa由由这些这些系数系数作成的三角级数作成的三角级数,2)(为周期的函数为周期的函数是以是以设设 xf或或且在且在,2,0 则则,上可积上可积17称为函数称为函数 f(x)(诱导出诱导出)的的傅里叶级数傅里叶级数,f(x)10

9、)sincos(2nnnnxbnxaa注注f(x)的傅里叶级数不见得收敛；的傅里叶级数不见得收敛；即使收敛，即使收敛，级数的和也不一定是级数的和也不一定是 f(x).不能无条件的不能无条件的下面的下面的傅里叶级数收敛定理傅里叶级数收敛定理回答了我们回答了我们.所以所以,把符号把符号“”它的傅里叶级数收敛，它的傅里叶级数收敛，记为记为当当 f(x)满足什么条件时，满足什么条件时，并收敛于并收敛于f(x)本身本身?换为换为“=”.10)sincos(2nnnnxbnxaa182.狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分条件充分条件狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859它它在在的的周周期期函函

10、数数是是周周期期为为设设函函数数,2)(xf:,上上满满足足条条件件区区间间 ;,)1(处处处处连连续续外外除除有有限限个个第第一一类类间间断断点点.)2(只只有有有有限限个个极极值值点点(收敛定理收敛定理),)(都收敛都收敛一点一点产生的傅里叶级数在任产生的傅里叶级数在任则由则由xxf上它的和函数为上它的和函数为且在且在,2)()()(xfxfxs19 当当x是是f(x)的连续点时的连续点时,2)0()0(xfxf当当x是是f(x)的间断点时的间断点时当当 时时 x)(xS),(xf由定理可知由定理可知:在在 f(x)的连续点处的连续点处,都收敛到都收敛到 f(x)自身自身即使有间断点即使有

11、间断点,函数也有傅氏级数函数也有傅氏级数,间断点上级数不收敛到函数值间断点上级数不收敛到函数值,只不过在只不过在而是收敛到而是收敛到间断点处左右极限的算术平均值间断点处左右极限的算术平均值收收敛敛到到左左端端点点的的右右极极限限处处在在端端点点,x术术平平均均值值和和右右端端点点的的左左极极限限的的算算,2)()(ff 0 0 即即:20(1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成(2)周期函数的三角级数展开是唯一的周期函数的三角级数展开是唯一的,就是就是常说把常说把 f(x)在在 上展开成傅氏级数上展开成傅氏级数.,(3)要注明要注明傅氏级数的和函数与函数傅氏级

12、数的和函数与函数f(x)相等相等注注幂级数的条件低幂级数的条件低得得多多;其其傅里叶级数傅里叶级数,20a它它的的常常数数项项 xxfad)(10的区域的区域.就是函数就是函数在一个周期内的平均值在一个周期内的平均值;21周期函数的周期函数的傅里叶级数解题程序傅里叶级数解题程序:并验证是否满足狄氏条件并验证是否满足狄氏条件(画图目的画图目的:验证狄氏条件验证狄氏条件;由图形写出收敛域由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2)求出傅氏系数求出傅氏系数;(3)写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于f(x).(1)画出画出

13、 f(x)的图形的图形,22且且为为周周期期以以函函数数,2)(xf ,0,0,0,)(xxxxf解解 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 xxfad)(10 0d1 xx2 例例1 1 2 3 2 3Oxy将将 f(x)展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数.f(x)的图象的图象23 xnxxfandcos)(1 0dcos1 xnxx)cos1(12 nn 02cossin1 nnxnnxx ,22 n,0,5,3,1 n;,6,4,2 n)1(1 12nn xnxxfbndsin)(1 0dsin1 xnxx02sincos1 nnxnnxxnn cos .)1(1nn 24 112sin)1(co

14、s)1(1 14nnnnxnnxn xxx5cos513cos31cos2422 .3sin312sin21sin xxx)(xf故故 f(x)的傅里叶级数的傅里叶级数25由于由于f(x)满足狄利克雷充分条件满足狄利克雷充分条件,),2,1,0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx 2)0()0(ff收敛于收敛于).()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 220 由由收敛定理收敛定理得得 2 3 2 3Oxy的图象的图象)(xf和和函函数数的的图图象象2 2 3 2 3Oxy 26)(xf xx3sin313cos322 x2sin21 x4sin41 xx5sin515co

15、s522).,3,;(xx xxsincos24 27上有定义上有定义;,(3)F(x)可展为傅氏级数可展为傅氏级数;注注,)(2,)2(xFT的的函函数数外外补补充充定定义义成成为为在在 );()(,),()4(xfxF 内内 ,)5(x作作 法法对于非周期函数对于非周期函数,如果如果 f(x)只在区间只在区间上有定义上有定义,并且满足狄氏充要条件并且满足狄氏充要条件,也可展开成也可展开成傅氏级数傅氏级数.(1)f(x)在在 (周期延拓周期延拓);).0()0(21 ff级数收敛于级数收敛于28解解,例例2 将函数将函数 xxxxxf0,0,)(展开为傅氏级数展开为傅氏级数.拓广的周期函数拓

16、广的周期函数的傅氏级数展开式在的傅氏级数展开式在 xxfad)(10 0d2xx 计算傅里叶系数计算傅里叶系数Oxy 2 2 所给函数在区间所给函数在区间满足狄氏充要条件满足狄氏充要条件,收敛于收敛于 f(x).上上,29 xnxxfandcos)(1)1(cos22 nxn 1)1(22 nn xxxf,)(0dcos2xnxx偶函数偶函数 ,6,4,2,0,5,3,1,42nnn xnxxfbndsin)(10 奇函数奇函数30 12)12cos()12(142)(nxnnxf )(x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 xxx5cos513cos31cos4222 xxxf,)(

17、31基本概念基本概念(三角级数、三角函数系的正交性三角级数、三角函数系的正交性)函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数(傅里叶系数、傅里叶系数、傅里叶傅里叶级数级数、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数的和的和)傅里叶级数的意义傅里叶级数的意义 整体逼近整体逼近小结小结特点：特点：问题明确，问题明确，解法固定解法固定32思考题思考题是非题是非题 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf上有上有若在若在,ba则必有则必有.0limlim nnnnba是是 因为因为,)sincos(2)(10 nnnnxbnxaaxf即意味着所论的级数收敛于即意味着所论的级数收敛于 f(x).由级数收敛的由级数收敛的必要条件知必要条件知.0sincoslim nxbnxannn由于由于nxnxsincos与与是是线性无关线性无关的的,从而有从而有.0limlim nnnnba