高等数学：10-3 格林公式及其应用

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1、1第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用 小结小结 思考题思考题 作业作业格林格林(Green)公式公式平面上曲线积分与路径无关的平面上曲线积分与路径无关的条件条件二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积格林格林 Green.G.(17931841)英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分2DD1.区域连通性的分类区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域一、格林公式一、格林公式否则称为否则称为则称则称D为平面为平面复连通区域复连通区域.成的部分都属于成的部分都属于D,如果如果D内任一闭曲线所

2、围内任一闭曲线所围单连通区域单连通区域,格林公式及其应用格林公式及其应用3格林定理格林定理(定理定理1)1)设设闭区域闭区域D由分段光滑的由分段光滑的曲线曲线L围成围成,LDyQxPyxyPxQdddd)()1(),(),(yxQyxP及及函函数数在在D上具有上具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则有则有2.格林公式格林公式公式公式(1)称称其中其中L是是 D的取的取正向正向的边界曲线的边界曲线.格林公式格林公式.格林公式及其应用格林公式及其应用4DLl当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域在闭区域D上一阶偏导数的连续性上一阶偏导数的连续性;(2)曲线曲线L是封闭的是封闭

3、的,并且取正向并且取正向.注注规定规定 边界曲线边界曲线L的的正向正向区域区域D总在他的总在他的左边左边.格林公式及其应用格林公式及其应用xyODL5),()(),(21bxaxyxyxD ),()(),(21dycyxyyxD (1)先对简单区域证明先对简单区域证明:证明证明 LDyQxPyxyPxQdddd)(若区域若区域D既是既是型型 X又是又是型型 Y即平行于坐标轴的直线即平行于坐标轴的直线和和L至多交于两点至多交于两点.格林公式及其应用格林公式及其应用xyOabdcD)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 6D)(2yx )(1yx DyxxQdd dcyyyQd),

4、(2 CBEyyxQd),(同理可证同理可证 LDxyxPyxyPd),(dd dcyd dcyyyQd),(1 LDyQxPyxyPxQdddd)(yyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyyxQd),()()(21 xxQyyd)()(21 CBECAE yyxQd),(LDyQxPyxyPxQdddd)(LyyxQd),(格林公式及其应用格林公式及其应用xyOdcABCE7DL(2)再对一般区域证明再对一般区域证明:1L1D2D3D DyxyPxQdd)(积分区域的可加性积分区域的可加性 若区域若区域D由按段光由按段光(如图如图)将将D分成三个既是分成三个既是型型 X又是又是型型

5、Y的区域的区域,1D yxyPxQdd)(2L3L321DDD ,2D.3D格林公式及其应用格林公式及其应用滑的闭曲线围成滑的闭曲线围成.8 LyQxPdd),(32,1来说为正方向来说为正方向对对DLLL DyxyPxQdd)(321dd)(DDDyxyPxQ yxyPxQdd)(yxyPxQdd)(yQxPdd yQxPdd LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式及其应用格林公式及其应用 yxyPxQdd)(1D2D3D yQxPdd1L2L3LDL1L2L3L1D2D3D91L2L3L(3)对复连通区域证明对复连通区域证明:由由(2)知知 DyxyPxQdd)(3L)0,0(CEE

6、CABBA 若区域不止由一条闭曲线若区域不止由一条闭曲线添加直线段添加直线段,AB.CE则则D的边界曲线由的边界曲线由,AB,2L,BA,AFC,CE,3LECCGA及及构成构成.格林公式及其应用格林公式及其应用 LyQxPdd),(32,1来说为正方向来说为正方向对对DLLL所围成所围成.AB 2L BA AFC CE)dd(yQxP EC CGA)dd(yQxP 2L(3L 1L)对复连通区域对复连通区域D,格林公式格林公式且边界的方向对区且边界的方向对区的曲线积分的曲线积分,右端应包括沿区域右端应包括沿区域D的的全部边界全部边界域域D来说都是正向来说都是正向.GFDCEAB10 便于记忆

7、形式便于记忆形式:LDyQxPyxQPyxdddd格林公式的实质格林公式的实质之间的联系之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与沟通了沿闭曲线的积分与二重积分二重积分 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式及其应用格林公式及其应用11 Lxyyxdd(1)计算平面面积计算平面面积3.简单应用简单应用 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 LxyyxAdd21y x得得 Dyxdd2闭区域闭区域D的的面积面积格林公式及其应用格林公式及其应用12Oxy 例例 求椭圆求椭圆解解由公式由公式得得tttabAd)sin(cos212202 ab D 20,sin,cos ttbytax所

8、围成的面积所围成的面积.格林公式及其应用格林公式及其应用 LxyyxAdd21132.1(2)简化曲线积分简化曲线积分例例 LyyyyxexyxeI,d)2(d3计算计算其中其中L为圆周为圆周xyx222 解解,yeP yxexyQy23 ,yeyP yeyxQ 33yyPxQ 由由格林公式格林公式有有 LDyQxPyxyPxQdddd)(I对称性对称性的的正向正向.Oxy格林公式及其应用格林公式及其应用 yxyDdd3014对对平面闭曲线平面闭曲线上的对坐标曲线积分上的对坐标曲线积分,yPxQ 当当比较简单时比较简单时,常常考虑通过常常考虑通过格林格林公式公式化为化为二重积分二重积分来计算来

9、计算.格林公式及其应用格林公式及其应用15例例 计算计算,d)cos(d)sin(ymyexmyyexAOx .22axyx 分析分析但由但由myeQx cos xQ yP可知可知 yPxQ非常简单非常简单.)0,(aA)0,0(Om,cos yexmyex cos,sinmyyePx 其中其中AO是从点是从点的上半圆周的上半圆周到点到点此积分路径此积分路径AO不是闭曲线不是闭曲线!格林公式及其应用格林公式及其应用Oxy(,0)A a16Oxy为应用为应用格林公式格林公式再补充一段曲线再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单补充的曲线要简单

10、,使之构成使之构成闭曲线闭曲线.所以所以因而这里补加直线段因而这里补加直线段直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的通常是补充与坐标轴平行的 L不闭合不闭合+边边L,使使L+L闭合闭合,再用再用格林公式格林公式.格林公式及其应用格林公式及其应用由由格林公式格林公式 Dyxmdd ymyexmyyexOAAOxd)cos(d)sin(281am 解解.OAaxy 0,0OA的方程为的方程为 ax0d0故故0所以所以,I.812am 0812am AO OA OA000myPxQ (sin)d(cos)dxxOAeymyxeymy(,0)A a170(3)简化二重积分简化二重积分则则 yPxQ解解

11、令令,0 P2yxeQ 例例为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域.Dyyxe,dd2计算计算是是其中其中D)1,0(),1,1(),0,0(BAO以以 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 Dyyxedd2 BOABOAyyxed2 OAyyxed2 AByyxed2 BOyyxed22ye 格林公式及其应用格林公式及其应用)1(211 e 10d2xxex0 0 0Oxy11ABD181987年研究生考题年研究生考题,填空填空(3分分)则曲线积分则曲线积分为取正向的圆周为取正向的圆周设设,922 yxL Lyxxxyxy).(d)4(d)22(2 18 解解,22yxyP

12、 设设xxQ42 由格林公式由格林公式42 xxQ,22 xyP Lyxxxyxyd)4(d)22(2 Dyxxxdd)2242(Dyxdd2 18 格林公式及其应用格林公式及其应用19解解记记L所围成的闭区域为所围成的闭区域为D,其中其中L为一条无重点为一条无重点,分段光滑且分段光滑且不经过原点不经过原点的连续闭曲线的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向.例例 Lyxxyyx,dd22计算计算令令,22yxyP 22yxxQ 时，时，则当则当022 yx有有 xQyP 22222)(yxxy 格林公式及其应用格林公式及其应用20L Lyxxyyx22dd即即L为为不包围原点不包

13、围原点的任一闭曲线的任一闭曲线.即即L为为包围原点包围原点在内的任一在内的任一闭曲线闭曲线.由格林公式由格林公式时，时，当当D)0,0()1(时，时，当当D)0,0()2(应用由应用由格林公式格林公式,得得 LDyQxPyxyPxQdddd)(0yPxQ 作位于作位于D内圆周内圆周222:ryxl ,1所围成所围成和和由由记记lLD格林公式及其应用格林公式及其应用DLxyOD1DrlxyO21 Lyxxyyx22dd 2022222dsincosrrr Lyxxyyx22dd 2 注意格林公式的条件注意格林公式的条件yxyPxQdd 00 lyxxyyx22dd sincosryrx1DyPx

14、Q lyxxyyx22dd222:ryxl 格林公式及其应用格林公式及其应用其中其中l 的方向取的方向取逆时针方向逆时针方向L1DrlxyO22练习练习计算计算.d)(d)3(LxyxyyxL L是圆周是圆周:如把如把圆周写成参数方程圆周写成参数方程:,cos31 x再将线积分化为定积分计算再将线积分化为定积分计算,用用格林公式格林公式易求易求.答案答案:18分析分析 sin34 y)20(则过程较麻烦则过程较麻烦.格林公式及其应用格林公式及其应用22(1)(4)9xy23Oxy 0sindyeyD 格林公式及其应用格林公式及其应用2003年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)(10分分)已

15、知平面区域已知平面区域,0,0),(yxyxDL为为D的正向边界的正向边界.试证试证:;dddd)1(sinsinsinsin LxyLxyxyeyxexyeyxe.2dd)2(2sinsin Lxyxyeyxe证证左边左边=L 0sindyey,)d(0sinsin xeexx右边右边=0sind xex,)d(0sinsin xeexx法一法一 0sind xexxxxx(1)2sinsin xxee LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin24.2dd)2(2sinsin Lxyxyeyxe 0sinsin)d(xeexx格林公式及其应用格林公式及其应用200

16、3年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)(10分分)已知平面区域已知平面区域,0,0),(yxyxDL为为D的正向边界的正向边界.试证试证:;dddd)1(sinsinsinsin LxyLxyxyeyxexyeyxe证证(2)由于由于,2sinsin xxee故由故由(1)得得 Lxyxyeyxeddsinsin.22 25格林公式及其应用格林公式及其应用2003年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)(10分分)已知平面区域已知平面区域,0,0),(yxyxDL为为D的正向边界的正向边界.试证试证:;dddd)1(sinsinsinsin LxyLxyxyeyxexyeyxe.2dd)2

17、(2sinsin Lxyxyeyxe证证 法二法二(1)根据根据格林公式格林公式,得得左边左边=右边右边=,d)(sinsin xDyee ,d)(sinsin xDyee 因为因为D关于关于xy 对称对称,所以所以 d)(sinsinxDyee d)(sinsinxDyee LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsinOxyD L LDyQxPyxyPxQdddd)(,)d(,)dDDf x yf y x26.2dd)2(2sinsin Lxyxyeyxe格林公式及其应用格林公式及其应用2003年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)(10分分)已知平面区域已知平面区

18、域,0,0),(yxyxDL为为D的正向边界的正向边界.试证试证:;dddd)1(sinsinsinsin LxyLxyxyeyxexyeyxe证证 法二法二由由(1)知知 Lxyxyeyxeddsinsin d)(sinsinxDyee d)(sinsinxDxee d2 D.22 Lxyxyeyxeddsinsin d)(sinsinxDyee d)(sinsinxDyee Lxyxyeyxeddsinsin+(,)d(,)dDDf x yf y x27G 1ddLyQxP 2ddLyQxPB如果在区域如果在区域G内有内有二、平面上曲线积分与路径无关二、平面上曲线积分与路径无关的条件的条件

19、AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关否则与路径有关.格林公式及其应用格林公式及其应用则称曲线积分则称曲线积分 LyQxPdd在在G内内与路径无关与路径无关,xyO28定理定理2 2设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域,xQyP 在在G内恒成立内恒成立.函数函数P(x,y),Q(x,y)在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则则曲线积分曲线积分 LyQxPdd在在G内与路径无关内与路径无关(或沿或沿G内任意闭内任意闭曲线的曲线积分为零曲线的曲线积分为零)的的充要条件充要条件是是2.平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分

20、与路径无关的条件格林公式及其应用格林公式及其应用两条件缺一不可两条件缺一不可29三、二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积考虑表达式考虑表达式如果存在一个函数如果存在一个函数yyxQxyxPd),(d),(),(yxu使得使得),(dyxu则称则称yyxQxyxPd),(d),(并将并将的一个的一个称为称为yyxQxyxPyxuud),(d),(),(yyxQxyxPd),(d),(全微分式全微分式,为一为一原函数原函数.格林公式及其应用格林公式及其应用30 由由例例,ddd2xxyyxxy .ddd2yyxxyyx 可知可知:,dd2xxyyx 2ddyyxxy 都是都是分别是上面的分别是

21、上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d ,ddyxxy 原函数原函数.全微分式全微分式.格林公式及其应用格林公式及其应用31定理定理3 3设开区域设开区域G是一个是一个单连通域单连通域,函数函数P(x,y),Q(x,y)在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则则xQyP 下面说明一般怎样下面说明一般怎样yyxQxyxPd),(d),(),(yxu在在G内恒成立内恒成立.格林公式及其应用格林公式及其应用在在G内为某一函数内为某一函数的全微分的的全微分的充要条件充要条件是等式是等式求原函数求原函数 判断全微分式判断全微分式32必要性必要性.xu yxu2 xyu2由设由设P、Q的偏

22、导数连续的偏导数连续,因而因而 yxu2.2xyu 即即.xQyP 设存在某一函数设存在某一函数 yu证证于是于是连续连续.,2yxu xyu 2所以所以yyxQxyxPyxud),(d),(),(d ),(yxu使得使得,yP xQ ),(yxP),(yxQxQyP 格林公式及其应用格林公式及其应用33充分性充分性.设已知条件设已知条件 xQyP 由由定理定理2可知可知:.d),(d),(yyxQxyxP当起点当起点M0(x0,y0)固定时固定时,.d),(d),(),(),(),(00 yxyxyyxQxyxPyxu格林公式及其应用格林公式及其应用在在G内恒成立内恒成立.则则于是把曲线积分

23、写作于是把曲线积分写作:上述积分上述积分x,y的函数的函数,记为记为即即),(yxu),(yxu),(yx),(00yx曲线积分在区域曲线积分在区域G内与路径无关内与路径无关.M(x,y).起点为起点为M0(x0,y0),终点为终点为M(x,y)的的此积分的值取决于终点此积分的值取决于终点34 下面证明函数下面证明函数u(x,y)的全微分就是的全微分就是:因为因为P(x,y),Q(x,y)都是都是因此只要证明因此只要证明).,(),(yxQyuyxPxu (1)偏导数定义偏导数定义,(3)积分中值定理积分中值定理.(2)曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关,其中用到下面的知识点其中用到下面的知

24、识点:格林公式及其应用格林公式及其应用.d),(d),(yyxQxyxP 连续的连续的.35xQyP 若若 ),(),(1100d),(d),(yxByxAyyxQxyxPxyxPxxd),(100 ),(01yxC),(11yxB yyxQyyd),(100 D(x0,y1)yyxQyyd),(101 xyxPxxd),(101 或或 ),(),(1100d),(d),(yxByxAyyxQxyxP则则格林公式及其应用格林公式及其应用Oxy),(00yxA 36例例问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,

25、解解在全平面成立在全平面成立.xQeyPy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式.222yxexy 因而一个原函数是：因而一个原函数是：全平面为单连通域，全平面为单连通域，yyxexxeyxuyyxyd)2(d)(),(),()0,0(yyxeyyd)2(0 xxexd)(00 xyO格林公式及其应用格林公式及其应用法一法一)0,(x(x,y)37这个原函数也可用下法这个原函数也可用下法“分组分组”凑出凑出:222dyxxey222),(yxexyxuy yyxexxeyyd)2(d)()dd(yxexeyy )(dyxe)d2d(yyxx 222dyx),(yxu格林公式及其应用格林公式及其

26、应用法二法二38因为函数因为函数u满足满足Pxexuy 故故yy2)(从而从而所以所以,Cyxxeyxuy 222),(问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,xxeuyd)(22xxey)(y 由此得由此得yxey2 y的待定函数的待定函数格林公式及其应用格林公式及其应用法三法三()yue xyy2()2 dyy yyC 39xyO 解解1523 原式原式=yyxxxyxd)(d)2(422 102dxxyy d)1(104 xyxxxQ2)(42 xxyxyyP2)2(2 原积分与路径无关原积分与路径无

27、关.例例 Lyyxxxyx.d)(d)2(422计算计算为为其中其中L.2sin)1,1()0,0(xyBO 的曲线弧的曲线弧到点到点由点由点xQyP )0,0()1,1()1,1(B )0,1(格林公式及其应用格林公式及其应用40解解,2)(2xyxyyyP )()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP)(),(xyyxQ xQyP 积分与路径无关积分与路径无关 1989年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连续的导数具有连续的导数,其中其中,0)0(且且 )1,1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算例例即

28、即格林公式及其应用格林公式及其应用()2yxxy41xyO 10d0 x21(1,0)10dyyxyxy2)(由由Cxx 2)(0 C知知2)(xx )1,1(法一法一设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连续的导数具有连续的导数,其中其中,0)0(且且 )1,1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1,1()0,0(2d)(dyxyxxy,0)0(由由格林公式及其应用格林公式及其应用 )1,1()0,0(22ddyyxxxy42xyO法二法二)1,1()1,1()0,0(2d)(dyxyxxy)1,0(10d0 yy 102d1xx0 1022x

29、 21 格林公式及其应用格林公式及其应用设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连续的导数具有连续的导数,其中其中,0)0(且且 )1,1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1,1()0,0(22ddyyxxxy43格林公式及其应用格林公式及其应用 2002研究生考题研究生考题(数学一数学一)8分分),()(在在设函数设函数xf内具有一阶连续导数内具有一阶连续导数,L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,其起点为其起点为(a,b),终点为终点为(c,d).,d1)(d)(11222yxyfyyxxxyfyyIL 记

30、记(1)证明证明曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关;(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.证证 )(112xyfyyyyP 因为因为 1)(22 xyfyyxxxQ)(1)(2xyfxyyxyf 所以在上半平面内所以在上半平面内曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关.(1)44badc 格林公式及其应用格林公式及其应用解解(2)由于由于曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关,yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).),(dc 所以所以xbxf

31、bbIcad)(112 ycyfyycdbd1)(22 xbxbfbaccad)(bcdcycyfcdb d)(ttfttfbadccdbcbcabd)(d)(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.0tt法一法一xyO(,)a b(,)c b45格林公式及其应用格林公式及其应用解解(2)yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.法二法二 I,d)(d)(yxyxfxxyyfL 2ddyyxyxLbadc 2ddyyx

32、yxL 设设F(x)为为f(x)的一个原函数的一个原函数,则则)d()(d)(d)(xyxyfyxyxfxxyyfLL )()(abFcdF.badcI 由此得由此得 Lyxd),(),(dcbayx,046格林公式格林公式 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式及其应用格林公式及其应用四、小结四、小结单单(复复)连通区域的概念连通区域的概念 格林公式的三个应用格林公式的三个应用格林公式的实质格林公式的实质的联系的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间注意使用条件注意使用条件47 LyQxPD与与路路径径无无关关内内在在dd)1(CDCyQxP闭闭曲曲

33、线线,0dd)2(yQxPuyxUDddd),()3(使使内内存存在在在在.,)4(xQyPD 内内在在 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 条件条件格林公式及其应用格林公式及其应用在单连通开区域在单连通开区域D上上),(),(yxQyxP具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数,则以下则以下四个命题四个命题成立成立.48xyO思考题思考题.)(dd)0,1()1,0(2 yxxyyxI计算曲线积分计算曲线积分为为其中其中L.)0,1()1,0(的直线段的直线段至至自积分路径自积分路径BA 是非题是非题解解 因为因为xQyxxyyP 422)(故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径

34、无关.)1,0(A)0,1(B AOyxxyyxI2)(dd OByxxyyx2)(dd 012)0(d0yy 102)0(d0 xx0 格林公式及其应用格林公式及其应用49非非因为在曲线积分与路径无关的定理中因为在曲线积分与路径无关的定理中,要求要求所考虑区域所考虑区域G是单连通的是单连通的,且函数且函数P(x,y),及其偏导数在及其偏导数在G上连续上连续,Q(x,y)对本题来说对本题来说,当且仅当当且仅当,时时xy QP、及其偏导数连续及其偏导数连续,上述解法中点上述解法中点)0,0(在直线在直线,上上xy 从而不满足曲线积分与从而不满足曲线积分与路径无关的条件路径无关的条件.)(dd)0,1()1,0(2 yxxyyxI计算曲线积分计算曲线积分为为其中其中L.)0,1()1,0(的直线段的直线段至至自积分路径自积分路径BA xQyxxyyP 422)(格林公式及其应用格林公式及其应用50作作 业业习题习题10-3(15310-3(153页页)1.(1)(2)2.(1)(3)3.4.(1)(3)5.(1)(3)(4)6.(2)(4)7.格林公式及其应用格林公式及其应用