大学数学：ch3-6几类简单的微分方程（1）

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1、2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第3章章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质第第2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理第第3节节 两种基本积分法两种基本积分法第第4节节 定积分的应用定积分的应用第第5节节 反常积分反常积分第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系2(),yf xy 已知求已知求 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广推广(,),yf x yy 已知求已知求()(1)(,)nnyf x y

2、 yyy 已知，求已知，求第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分方程及其应用方程及其应用.ch7.ch7章对微分方程的理论及其求解将进章对微分方程的理论及其求解将进行较为系统的介绍行较为系统的介绍2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系3第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程6.1 几个基本概念几个基本概念6.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程6.4 变量代换法变量代换法6.5 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程6.6 应

3、用举例应用举例2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系4例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy21,2xy时时,2Cxy 即即,1 C求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为6.16.1、几个基本概念、几个基本概念2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系5例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/秒秒的的速速度度行行驶驶,当当制制动动时时

4、列列车车获获得得加加速速度度4.0 米米/秒秒2 2,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4.022 dtsd,20,0,0 dtdsvst时时14.0Ctdtdsv 2122.0CtCts 2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系6代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,202.02tts ,204.0 tdtdsv故故),(504.020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502.

5、02米米 s开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系7微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.例例,xyy ,0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系8,0),(yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶

6、(n)微分方程微分方程,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy分类分类2 2:微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的阶.,xyy ,32xeyyy 2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系9分类分类3 3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy ;02)(2 xyyyx分类分类4 4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系10微分方程的

7、解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy .0)(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同.2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系11(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.,yy 例例;xcey 通解通解,0 yy;cossin21xcxcy 通解通解解的图象解

8、的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系12过定点的积分曲线过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶:0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系13解解,cossin21ktkCktkC

9、dtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系14.0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx ,0,00 ttdtdxAx.0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)2009年12月28日南京

10、航空航天大学 理学院 数学系156.2 6.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程Cxxdxyxxdxdyxdxdy 2222 1积分积分两端对两端对即，即，解：解：例例上节上节回顾回顾积积分分含含有有未未知知函函数数，不不好好求求若若两两端端积积分分：求求解解问问题题 dxxyyxydxdy2222:2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系16.2)()()1(0),(),()1(),(量量的的微微分分方方程程则则原原方方程程称称为为可可分分离离变变）（能能化化成成或或若若dxxfdyygdyyxNdxyxMyxfy ，使使方方程程变变形形为为：解解决决)0(21:2 y

11、xdxdyy.1122解解验验证证的的确确是是原原方方程程的的通通两两端端积积分分CxyCxy 定义定义分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系17dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的,dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系18?)

12、()()()()()(2121是是不不是是可可分分变变量量方方程程ygxfydxyNxNdyyMxM 思考：思考：dxdyxydxdyxydxdyxdyyydxxyyxyyx2222100tansectansec0ln 2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系19例例4 4 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xcey 2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系200)()(22 dyyxydxxyx解解微微分分方方程程0)1()1(22

13、dyxydxyx原原微微分分方方程程为为：dxxxdyyy11:22 分离变量后分离变量后Cxyln)1ln()1ln(22 )0()1(122 CxCy例例5解解2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系21)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.6.3 6.3 一阶线形微分方程一阶线形微分方程2009年12月28日南京航

14、空航天大学 理学院 数学系22.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系232.线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设,)()(ln dxxPxvy.)()(dxxPxveey即即非齐方程通解形式

15、非齐方程通解形式与齐方程通解相比与齐方程通解相比:)(xuC 2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系24常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系25对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解()dP xxCe 解非齐次方

16、程解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用用常数变易法常数变易法:()d()(),P xxy xu x e 则则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即即即作变换作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得两端积分得2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系26.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxln

17、lnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 12009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系27 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令令txu0()sin()dxf xxf uu 则有则有()()cosfxf xx(0)0f 利用公式可求出利用公式可求出1()(cossin)2xf xxxe 例例22009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系286.4 6.4 变量代换法变量代换法2 2 伯努利方程伯努利方程1 齐次方程齐次方程3 其他的变量替换法举例其他的变量替换法举例20

18、09年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系296.4 6.4 变量代换法变量代换法)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.(2)解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程(1)(1)定义定义1 齐次方程齐次方程2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系30例例 1 1 求解微分方程求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy ,0)(cos)cos(xduudxu

19、xdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的解为解解2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系31John Bernoulli(1667-1748)2 伯努利方程伯努利方程2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系32(雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家瑞士数学家,位数学家位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式标和极坐标下的曲率半径公式,1695年年 版了他的巨著版了他的巨著猜度术猜度术,上的一件大事上的

20、一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐年他首次给出了直角坐 1713年出年出 这是组合数学与概率论史这是组合数学与概率论史此外此外,他对他对双纽线双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究悬链线和对数螺线都有深入的研究.2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系33伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分

21、方程非线性微分方程.2 伯努利方程伯努利方程时时，当当1,0 n时时，当当1,0 n解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系34,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式.)1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系35.42的通解的

22、通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以ny例例 22009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系362(3).dyxydx例例求的通解求的通解解解,xyu令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdu ,arctanCxu 解得解得得得代回代回,yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 3 其他的变量替换法举例其他的变量替换法举例2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系37()()0.f

23、 xy ydxg xy xdy例4求方程通解例4求方程通解,xyu 令令,ydxxdydu 则则,0)()(xydxduxugydxuf,0)()()(duugdxxuuguf,0)()()(duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系38EXcos()yxy求求方方程程 的 的通通解解.3.-tan cosxyyy 求求方方程程 的 的通通解解.212.;sin()dyydxxxyx12009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系39cos()yxy求求方方程程 的 的通通解解.1解解,uy

24、x 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程1cosduudx tan,2uxC 解解得得得得代代回回,yxu tan,2xyxC 原方程的通解原方程的通解2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系40212.;sin()dyydxxxyx解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系413.-tan cosxyyy 求求方方程程 的 的通通解解.si

25、ncoscosxyyyycossiny yxy解解sinsindyyxdxsin:yu duuxdxxxxeeduuexdx()xxeddxuxe xxxxuxe dxexeeC sin1xyxCe 2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系42(h,k 为待为待 例例5 5 求解求解可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程111d()dyaxbycfxa xb yc 221(0)cc111.,abab 当时当时作变换作变换,xXhyYkdd,dd,xXyY则则原方程化为原方程化为)(dd11YbXaYbXafXYckbha111ckbha令令 0ahbkc10a hbkc,解出解

26、出 h,k d()dYaXbYfXaXbY (齐次方程齐次方程)定常数定常数),2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系43,Xxh Yyk将代入将代入求出其通解后求出其通解后,即得即得原方程的通解原方程的通解.112.,abab 当时当时原方程可化为原方程可化为 1d()d()yaxbycfxaxbc 令,vaxbyddddvyabxx 则则1d()dvvcabfxvc (可分离变量方程可分离变量方程)(0)b 2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系44解解 ,0301khkh解方程组解方程组,2,1 kh.2,1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代

27、入原方程得，令令XYu 例例,11uudXduXu 方程变为方程变为1.3dyxydxxy 求的通解求的通解2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系45分离变量分离变量,得得,)12(22CuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2,1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解.)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或,21)12XdXuuduu （XCuuln2ln)12ln(2 两边积分得两边积分得2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系466.5 6.5 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程1、型型()()nyf x 降阶降

28、阶n阶降到阶降到n-1阶阶2、型型),()1()()(nknyyxfy3、型型()(1)(,)nnyf y yy ()yf x,y()yf y,y2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系47 型型代入原方程代入原方程,得得解法：解法：特点：特点：.,)1(kyyy及及不显含未知函数不显含未知函数)()(xPyk 令令.,)()()1(knnkPyPy 则则).(,),(,()1()(xPxPxfPknkn P(x)的的(n-k)阶方程阶方程),(xP求得求得,)()(次次连续积分连续积分将将kxPyk 可得通解可得通解.),()1()()(nknyyxfy2009年12月28日南

29、京航空航天大学 理学院 数学系48.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设代入原方程代入原方程,0 PPxxCP1 解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 12009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系49 型型)(ypy 设设,dydPpdxdydydpy 则则阶方程，阶方程，的的代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)1()(nyP求得其解为求得其解为原方程通解为原方程通解为,),(11nnCxCCydy 特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：222(),d PdPyPdydy ,),()(11 nCCyyPdxdy()(1)(,)nnyf y yy 2009年12月28日南京航空航天大学 理学院 数学系50.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得,02 PdydPPy,0)(PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xceCy 原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy 例例 2