大学数学：ch7-2 线性微分方程组

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1、2013年6月8日一阶线性微分方程组线性线性微分方程组基本知识微分方程组基本知识齐次齐次线性线性微分方程组解的结构微分方程组解的结构非齐次非齐次线性线性微分方程组解的结构微分方程组解的结构高阶高阶线性线性微分方程微分方程预备知识预备知识预备知识预备知识1 向量值函数和矩阵函数的有关定义向量值函数和矩阵函数的有关定义(1)(1)n维一元向量值维一元向量值函数函数定义为定义为12()()()()nx tx tx tx t()(1,2,)ix tinI 每每一一在在区区间间 上上有有定定义义.()n nA t 矩阵函数定义为1112122122212()()()()()()()()()()nnnnn

2、atatatatatatA tatatat()ija t每一在I上有定义.(2)向量值函数和矩阵函数的连续向量值函数和矩阵函数的连续,微分和积分的概念微分和积分的概念()()x tA t如如果果向向量量值值函函数数或或矩矩阵阵函函数数的的每每一一元元素素都都是是区区间间,atb 连续函数上的()(),x tA tatb 连续则称或在上可微函数可微函数可微可积函数可积函数可积此时此时,它们的导数与积分分别定义为它们的导数与积分分别定义为12()()(),()nxtxtx txt111212122212()()()()()()().()()()nnnnnnatatatatatatA tatatat

3、000012()()()()tttttttntx s dsx s dsx s dsx s ds0000000000111212122212()()()()()()()()()()tttntttttttntttttttnnnntttas dsas dsas dsas dsas dsas dsA s dsas dsas dsas ds注:关于向量函数与矩阵函数的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似(seeP.289).2 2 函数向量值函数组线性相关与无关函数向量值函数组线性相关与无关概念概念与与判定判定1 122()()()0mmc x tc x tc xt证明证明:121,1,cc 取则1

4、122()()c x tc x t(,)t 12(),()x tx t故在任何区间线性相关故在任何区间线性相关例例1证明证明:函数向量组函数向量组21cos()1,tx tt在任何区间都是线性相关的在任何区间都是线性相关的.221 sin()1,tx tt22cos(1 sin)1 1tttt00,0 证明证明:要使1 12233()()()c x tc x tc x t2331230010ttttteeccecee0例例2 证明:函数向量组1()0,ttex te320(),1tx te在(-,+)上线性无关.233(),0ttex te2133230000,100ttttteeceecte

5、c 则需则需因为因为2330010ttttteeeee42te 0,所以所以1230,ccc123(),(),()x tx tx t故故线性无关线性无关.t（2 2）向量值函数组线性相关与无关的判别准则）向量值函数组线性相关与无关的判别准则natb 设有 个定义在上的向量值函数11211122221212()()()()()()(),(),()()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtx tx tx txtxtxt由这由这n个向量值函数所构成的行列式个向量值函数所构成的行列式11211122221212()()()()()()(),(),()(),()()()nnnnnnnxtxtxt

6、xtxtxtW x tx tx tW txtxtxt称为这称为这n个向量值函数所构成的个向量值函数所构成的Wronski行列式行列式线性代数中的一个熟知的事实：线性代数中的一个熟知的事实：nRn空间中 个向量11211122221212,nnnnnnnaaaaaaaaaaaa线性相关线性相关1121112222120nnnnnnaaaaaaaaa由此立即得到由此立即得到(ii)定理定理112(),(),(),()0,.nx tx tx tatbW tatb 如果向量值函数在上线性相关 则它们的Wronski行列式但是此结论反之未必也成立但是此结论反之未必也成立反之未必也成立反之未必也成立212

7、(),()00ttx tx t 线性无关，12(),(),(),()0,.nx tx tx tatbW tatb 如果向量函数在上线性相关 则它们的Wronski行列式(ii)定理定理112(),()0W x t x t一阶一阶线性线性微分方程组的有关概念微分方程组的有关概念一阶微分方程组的一般形式一阶微分方程组的一般形式：向量形式向量形式 ,dxf t xdt 回顾：回顾：1112221212,nnnnndxft x xxdtdxft x xxdtdxft x xxdt （1.6）(,)nnf a bDRRR：（1.7）1 线性微分方程组的定义线性微分方程组的定义定义定义形如形如111112

8、211()()()()nnxat xat xat xf t221122222()()()()nnxat xat xat xf t1122()()()()nnnnnnnxat xat xat xf t的微分方程组的微分方程组,称为称为一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组.()(,1,2,),()(1,2,)ijia t i jnf t inatb 其中在上连续.特点：特点：关于未知函数关于未知函数xi均是一次的！均是一次的！1()()(1,2,)niijjijxa t xf tin111112211()()()()nnxat xat xat xf t221122222()()()()nnxat

9、xat xat xf t1122()()()()nnnnnnnxat xat xat xf t(1)2 一阶线性微分方程组的向量表示一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组对一阶线性微分方程组:()(),ijn nA ta t若记12(,),Tnxx xx12()(),(),()Tnf tf tf tf t则则(1)可写成可写成()()(1)dxA t xf tdt See286()()(1)dxA t xf tdt 12(,)()(),inijjf t xxxatC Gx 例例1验证向量()ttex te是初值问题011,(0)101xxx.t 在区间上的解一阶线性微分方程组的一般理

10、论一阶线性微分方程组的一般理论一、齐次线性微分方程组一、齐次线性微分方程组二、非齐次线性微分方程组二、非齐次线性微分方程组三、高阶线性微分方程三、高阶线性微分方程()(),(1)dxA t xf tdt()(),A tf tatb 这里和在上连续这里和在上连续一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组:()0,(1)f t 若则变为若则变为(),(2)dxA t xdt称称(1)为一阶为一阶齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组.()0,(1)f t 若若则则称称为为非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组.(),(2)dxA t xdt1 1 解的性质解的性质See286（4 4）叠加原理）叠加原理

11、定理定理2证明证明:()(1,2,)(2)ix timm 由由于于是是方方程程组组的的个个解解则有则有()()(),1,2,iidx tA t x timdt 所以所以1()miiic x tddt1()miiidx tcdt()()iA t x t1()()miiic x tA t1miic(),(2)dxA t xdt12112212(),(),()(2),()()()(2),.mmmmx tx txtmc x tc x tc xtc cc如如果果是是方方程程组组的的 个个解解则则它它们们的的线线性性组组合合 也也是是方方程程组组的的解解 这这里里是是任任常常数数12(),(),()nxt

12、xtxt 2 2 解解线线性性相相关关性性判判定定12(),(),()nx tx txt微微分分方方程程组组(2)(2)的的n n个个解解线线性性相相关关00,()0.ta bW t使使得得定理定理3由此立即得，由此立即得，()0,.W tatb00,()0ta bW t若若使使得得12(),(),()nnx tx txt即即(2)(2)的的 个个解解所所构构成成的的WronskyWronsky行行列列式式,或或者者,或或者者恒恒等等于于零零恒恒不不等等于于零零.注注1:12(),(),()nx tx txt(2)(2)的的n n个个解解线线性性相相关关()0,.W tatb注注2:12(),

13、(),()nx tx txt(2)(2)的的n n个个解解线线性性无无关关()0,.W tatb只需证充分性！只需证充分性！证明证明:00,()0,ta bW t若使得则10200(),(),()nx tx tx t数值向量组线性相关,12,nc cc 从而存在不全为零的常数,使得1 102200()()()0,(3)nnc x tc x tc x t现在考虑向量值函数1 122()()()()nnx tc x tc x tc x t由由定理定理2知知,()(2),x t是的解0()0 x t由（由（3）有）有()x t即解满足初始条件0()0 x t因此因此,由解的存在唯一性定理知由解的存在

14、唯一性定理知,()0 x t 即有即有1 122()()()0,nnc x tc x tc x tatb 12(),(),()nx tx tx tatb 故解组在上线性相关。微分方程组微分方程组(2)的全体解构成的全体解构成n维线性空间维线性空间.(),(2)dxA t xdt 定理4（书上定理2.2）微分方程组微分方程组(2)一定存在一定存在n个线性无关的解，个线性无关的解，且微分方程组且微分方程组(2)的任意解可表示为该的任意解可表示为该n个线性无关解个线性无关解的线性组合的线性组合.3 通解结构及基本解组通解结构及基本解组证明证明:0,ta b 任任取取由解的存在唯一性定理知由解的存在唯

15、一性定理知,微分方程组微分方程组(2)一定存在满足初始条件一定存在满足初始条件10200100010(),(),()001nx tx tx t 12(),(),();,nx tx txtta b 的的解解且且010200()(),(),()10nW tW x tx txt12(),(),()nx tx txtatb故故在在上上线线性性无无关关.(),(2)dxA t xdt()(2)x t 设设是是的的任任一一解解,00(),x tx 且且12(),(),()nx tx txtn因因是是（2）2）的的 个个线线性性无无关关的的解解,从而可知从而可知10200(),(),()nx tx txt数

16、数值值向向量量组组线线性性无无关关,(),(2)dxA t xdt以下证明定理以下证明定理4的第二部分的第二部分即它们构成即它们构成n维线性空间维线性空间Rn的基的基,00(),x tx 故故对对向向量量12,nc cc一一定定存存在在唯唯一一确确定定常常数数满满足足01 102200()()()(),nnx tc x tc x tc x t现在考虑函数向量现在考虑函数向量1 122()()()()nnx tc x tc x tc x t由定理由定理2知知,()(2),x t是的解由上式知由上式知,()x t该解满足初始条件000()()x tx tx因此因此,由解的存在由解的存在唯一性唯一性

17、定理定理,应有应有()()x tx t即1 122()()()()nnx tc x tc x tc x t推论推论1 方程组方程组(2)的线性无关解的最大个数等于的线性无关解的最大个数等于n.定义（基本解组）定义（基本解组）:12(),(),()nx tx txt方方程程组组(2)(2)的的n n个个线线性性无无关关的的特特解解称为方程组称为方程组(2)的一个的一个基本解组基本解组.(),(2)dxA t xdt注注1:微分方程组微分方程组(2)的基本解组不唯一的基本解组不唯一.注注2:微分方程组微分方程组(2)的所有解所成的集合构成一个的所有解所成的集合构成一个n维线性空间维线性空间.4 基

18、解矩阵及性质基解矩阵及性质定义定义基解矩阵基解矩阵-以基本解组为列构成的矩阵以基本解组为列构成的矩阵.12(),(),()()nx tx txtX t以以(2)(2)的的基基本本解解组组为为列列构构成成的的矩矩阵阵,用用表表示示,即即112111222212()()()()()()()()()nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt(),(2)dxA t xdt(2),nn 如如果果一一个个矩矩阵阵的的每每一一列列都都是是微微分分方方程程组组的的解解则称这个矩阵为微分方程组则称这个矩阵为微分方程组(2)的的解矩阵解矩阵.12()()()()nX tx t x txt 定理1(2)(),

19、()(2),X tx t 一一定定存存在在一一个个基基解解矩矩阵阵如如果果是是的的任任一一解解 那那么么()()x tX t C 1212(,),TnnCc ccc cc 这这里里，其其中中的的任任意意常常数数。1122()()()(,)(,)nTnX tx t x txxttCc cc 1122()()()nnc x tc x tc xt定理2()X t(2)(2)的的解解矩矩阵阵是是基基解解矩矩阵阵充充要要条条件件是是:00det()0(),det()0,det()0,.X tatbta bX tX tatb而且 如果对某一而且 如果对某一则则(),(2)dxA t xdt-通解通解注注:

20、nnX 矩矩阵阵(t)(t)是是(2)(2)的的基基解解矩矩阵阵充充要要条条件件是是:()()(),;dX tA t X t atbdt00,det()0.ta bX t且使且使seeP290,10 推论1推论1()(2),().X tatbBnnX t Batb 如如果果是是方方程程组组在在上上的的基基解解矩矩阵阵是是非非奇奇异异常常数数矩矩阵阵 那那么么也也是是在在区区间间上上的的基基解解矩矩阵阵seeP290,20 推论2推论2*(),()(2),()().X tXtatbnnBatbXtX t B 如如果果是是在在上上两两个个基基解解矩矩阵阵 那那么么 存存在在一一个个非非奇奇异异常常

21、数数矩矩阵阵使使得得在在区区间间上上 有有seeP290,30例例3验证验证()0ttteteX te是方程组是方程组1101dxxdt 的基解矩阵，的基解矩阵，解解:由于由于(1)()0tttee tdX tdte 1101 0tttetee1101()X tX故(t)是解矩阵,故(t)是解矩阵,又由于又由于det()0ttteteX te 20te()X t所以是基解矩阵.所以是基解矩阵.12()()x txx t 其其中中例例4验证验证33()tttteeX tee是方程组是方程组2112dxxdt的基解矩阵的基解矩阵,并求其通解并求其通解.解解:(),()(),x tx tX t121

22、2分别用表示矩阵的第一 二列,即分别用表示矩阵的第一 二列,即33(),(),tttteex tx tee121()ttex te2112ttee2112()x t13233()3ttex te211233ttee2112()x t2(),(),x tx t12因此是方程组的解(),X t即为解矩阵又由于33det()tttteeX tee42te0X故(t)是基解矩阵,其通解为()xX t C3132ttttceecee312312ttttc ec ec ec e 推论1推论1()(2),().X tatbBnnX t Batb 如如果果是是方方程程组组在在基基解解矩矩阵阵是是非非奇奇异异常

23、常数数矩矩阵阵 那那么么也也是是在在区区间间上上的的基基解解矩矩阵阵X由由于于(2)(2)的的基基解解矩矩阵阵(t)(t)满满足足证明证明:()()(),;dX tA t X tatbdt*()(),;XtX t Batb令则令则*)(dXtBdXdttdt()()A t X t B*()()A t Xt*X故故(t)(t)为为(2)(2)的的解解矩矩阵阵,又由B的非奇异性又由B的非奇异性*detdet()det0,XX tBatb (t t)(),(2)dxA t xdt*,()()(2).XtX t B因此因此即是的即是的基基解解矩矩阵阵seeP290,20 推论2推论2*(),()(2)

24、,()().X tXtatbnnBatbXtX t B 如如果果是是在在上上两两个个基基解解矩矩阵阵 那那么么 存存在在一一个个非非奇奇异异常常数数矩矩阵阵使使得得在在区区间间上上 有有证明证明:()X t由于是基解矩阵,由于是基解矩阵,12()()()()nX tx t x txt()2ix t 均均是是（）的的解解*()Xt又也是基解矩阵,又也是基解矩阵,*,()()niiibRx tXt b 必必(1,2,.,)in*12()()(,)()nX tXt b bbXt B 12(,)nBb bb *det()det()detdet()0X tXtBX t det0B 故故*det()det

25、0XtBseeP290,30另证另证:()X t由于是基解矩阵,由于是基解矩阵,1()Xt 故其逆矩阵存在,故其逆矩阵存在,1*()()(),Xt Xtt 令令*()()(,)XtX tt即即(),tnn则是可微矩阵 且则是可微矩阵 且 det()0,;tatb于是有于是有*()()()dXA t Xtttd()()()()dX tdttX tdtdt()()()()().dtA t X ttX tdt*()()()(),;dtA t XtX tatbdt 由此可得由此可得()()0,dtX tdt()0,;dtatbdt 即(),tnnB故为常数矩阵且非奇异 记作故为常数矩阵且非奇异 记作即

26、有即有*()(),XtX t B 复习复习:一阶线性方程一阶线性方程()()yP x yQ x 通解通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)()dPxxyC e 非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Yy常数变易法常数变易法常数变易法常数变易法:()()yp x yQ x 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解:()YCyx()d()p xxyxe 设非齐次方程的解为设非齐次方程的解为*()yyx 代入原方程确定代入原方程确定().C x()C x解的结构解的结构111112211()()()()nnxat xat xat xf t221122222()()()()nnxat

27、xat xat xf t1122()()()()nnnnnnnxat xat xat xf t(1)()(),ijn nA ta t若记12()(),(),()Tnf tf tf tf t则(1)可写成()()(1)dxA t xf tdt (),()A tatbnnf tatbn 这里是上已知的连续矩阵这里是上已知的连续矩阵是上已知 维连续列向量.是上已知 维连续列向量.1 非齐线性微分方程组解的性质非齐线性微分方程组解的性质性质性质1*()(1),()(1)(2),()()(1).x tx tx tx t 如如果果是是的的解解 而而是是对对应应的的齐齐线线性性方方程程组组的的解解 则则是是

28、的的解解性质性质2*1212(),()(1),()()(2).xtxtxtxt 如如果果是是的的两两个个解解 则则是是的的解解(),(2)dxA t xdt()()(1)dxA t xf tdt 性质性质3121()()()();()()()()mjjjf tf tftftx tdxA t xftxx tdt m mj j设且是方程组设且是方程组=的解,则=是方程组(1)的解.的解,则=是方程组(1)的解.2 通解结构定理通解结构定理定理定理2.4*()(1),(1)()Xx tx t 设设(t)(t)是是(2)(2)的的基基解解矩矩阵阵,而而是是的的任任意意的的特特解解 则则的的通通解解可可

29、表表为为*()()()x tX t Cx t 证明证明:由性质由性质2知知,*()()(2)x tx t是的解:再由定理1 得再由定理1 得*()()(),x tx tX t C即即*()()(),x tX t Cx t这里这里C是任意常数的列向量是任意常数的列向量.()(1)x t 设是的任一个解设是的任一个解这里这里C是确定的常数的列向量是确定的常数的列向量.(6)所以所以(6)即为即为方程组方程组(1)的通解的通解3 常数变易公式常数变易公式()(2)X t设是的基解矩阵,则(2)的通解为x tX t C()=(),下面寻求下面寻求(1)形如形如*()()X t C tx =(t)(t)

30、的解的解,把它代入把它代入(1),得得()()()()()()()(X t C tX t C tXftttCAt()()(),X tA t X t()(2)X t由于是的基解矩阵,故一阶线性微分方程组的常数变易公式一阶线性微分方程组的常数变易公式其中其中C是任意常数的列向量是任意常数的列向量.()()(1)dxA t xf tdt (),(2)dxA t xdt从而从而1()()()C tXt f t00,()0ttC t对上面方程从 到 积分 并取得010()()(),ttC tXfdt ta b可验证可验证(7)是方程组是方程组(1)满足初始条件满足初始条件*0()0 x t 的特解的特解

31、.XCf(t)(t)=(t)()C t因此满足下面方程因此可得因此可得0*10()()()(),(7)ttx tX tXfdt ta b定理定理2.5()(2)X t如果是的基解矩阵,则 向量函数向量函数0*1()()()(),ttx tX tXfd是线性方程组是线性方程组(1)的解的解,且满足初始条件且满足初始条件*0()0 x t 方程组方程组(1)的通解为的通解为01()()()()().ttx tX t CX tXs f s ds注注1:0(1)()x t满足初始条件的解为,0-110()()()()()(),(8)ttx tX t XtX tXfd100()()()(2)()x tX

32、 t Xtx t这里是满足初始条件的解注注2:公式公式(7)或或(8)称为称为(1)的的常数变易公式常数变易公式.10=()C Xt例例5求方程组求方程组221120texx的通解的通解.33()tttteeX tee解解:由例由例4知知是对应齐次方程的基解矩阵是对应齐次方程的基解矩阵,()X t求的逆矩阵得1()X412e3312eeee33eeee由由(7)得方程的特解为得方程的特解为*()x t33tttteeee2330120teeedee0*1()()()()ttx tX tXfd332122ttttteeeee3312tttteeee0tede所以所以,原方程的通解为原方程的通解为

33、3321()()22ttttteex tX t Ceee3312332121()21(2)2tttttttttc ec eeec ec eeee 33()tttteeX tee*()x t2330120teeedee33tttteeee例例6试求初值问题试求初值问题12111,(0)0110txexxxxx的解.解解:由例由例3知知()0ttteteX te是对应齐次方程的基解矩阵是对应齐次方程的基解矩阵,()X t求的逆矩阵得1()Xs21se0sssesee101sse故方程满足初始条件故方程满足初始条件*1(0)1x的解是的解是-110()()(0)()()()tx tX t XX tX

34、s f s ds1010110tttetee010100ttststseteeedse(1)tttee2000ttstteteedse(1)tttee1()20ttee1()2ttttteeee1()Xs101sse小结小结1 一阶线性微分方程组的向量表示一阶线性微分方程组的向量表示()()(1)dxA t xf tdt ()(),ijn nA ta t其中12(,),Tnxx xx12()(),(),()Tnf tf tf tf t()()A tf tatb 这里和在上连续。这里和在上连续。()0,(1)f t 若则变为若则变为(),(2)dxA t xdt称称(2)为一阶为一阶齐次线性微分

35、方程组齐次线性微分方程组.()0,(1)f t 若则称为若则称为非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组.12112212 (),(),()(2),()()()(2),.mmmmx tx txtc x tc x tc xtc cc如如果果是是方方程程组组的的m m个个解解则则它它们们的的线线性性组组合合也也是是方方程程组组的的解解 这这里里是是任任常常数数2.一阶一阶齐次线性微分方程组的解的性质齐次线性微分方程组的解的性质.(),(2)dxA t xdt12(),(),()nx tx txt(2)(2)的的n n个个解解线线性性相相关关()0,.W tatb12(),(),()nx tx tx

36、t(2)(2)的的n n个个解解线线性性无无关关()0,.W tatb12(),(),()nnx tx txt(2)(2)的的 个个解解所所构构成成的的WronskyWronsky行行列列式式,或或者者,或或者者恒恒等等于于零零恒恒不不等等于于零零.3.一阶一阶齐次线性微分方程组的解向量的线性无关性齐次线性微分方程组的解向量的线性无关性(),(2)dxA t xdt1()niiixc x t12n即(t)=是(2)的通解,其中c,c,c 是任常数.4 通解结构通解结构,基本解组及基解矩阵基本解组及基解矩阵12(),(),()nx tx tx t如果是（2)的n个线性无关的解,则12(2)()(

37、),(),()nx tx tx tx t的任一解均可表为的线性组合.基本解组基本解组:12(),(),()nx tx txt(2)(2)的的n n个个线线性性无无关关解解为为(2)的一个基本解组的一个基本解组.(2)的所有解的集合构成一个的所有解的集合构成一个n维线性空间维线性空间.基解矩阵基解矩阵-以基本解组为列构成的矩阵以基本解组为列构成的矩阵.(),(2)dxA t xdt12()()()()nX tx t x txt 111212122212()()()()()()()()()nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt 基解矩阵基解矩阵-1()()()niiiTxc x tX t

38、 CC 12n12n12n12n齐齐次次方方程程组组(2)(2)的的通通解解：即即(t)=(t)=其其中中c,c,cc,c,c 是是任任常常数数,c,c,c.,c,c,c.()()(1)dxA t xf tdt *()(1),(1)()Xx tx t 设设(t)(t)是是(2)(2)的的基基解解矩矩阵阵,而而是是的的任任意意的的特特解解 则则的的通通解解可可表表为为这里这里C是任意常数的列向量是任意常数的列向量.(),(2)dxA t xdt*()()()x tX t Cx t()(2)X t如果是的基解矩阵,则(1)向量函数向量函数0*1()()()(),ttx tX tXfd是是(1)的解的解,且满足初始条件且满足初始条件*0()0 x t(2)方程组方程组(1)的通解为的通解为01()()()()().ttx tX t CX tXs f s ds(1)解的常数变易公式解的常数变易公式0(3)()x t 满足初始条件的解为,满足初始条件的解为,0-110()()()()()()ttx tX t XtX tXfd()()(1)dxA t xf tdt (),(2)dxA t xdt