大学数学：ch5-3 多元数量值函数的导数与微分-1 偏导数

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1、2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系1第第3节多元函数的导数与微分节多元函数的导数与微分1.1.偏导数的计算偏导数的计算2.2.高阶偏导数高阶偏导数3.1 偏导数（偏导数（Partial Derivative)21、偏导数的定义及其计算法、偏导数的定义及其计算法0000(,)(,)xzf xx yf xy 即即0000(,)(,)yzf xyyf xy 同理同理300(,)xxdf x ydx 0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx 注400(,)yydf xydy 若函数若函数 z=f(x,y)在域在域 D 内每一点内每一点(x,y)处对处对 x则该

2、偏导数称为偏导函数则该偏导数称为偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数,或或 y 偏导数存在偏导数存在,5偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx (,)?yfx y z (,)?zfx y z 例如例如,三元函数三元函数 u=f(x,y,z)在点在点(x,y,z)处对处对 x 的偏导数定义为的偏导数定义为0(,)(,)limzf x y zzf x y zz 0(,)(,)limzf x y zzf x y zz 6解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213

3、 7解法解法2:2:(1,2)zx 264xx(26)1xx 8 1xz 213yy2(32)yy 7 2yz 8证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立9解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy|)|(2yy 10 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在11证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pV

4、RT 12偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0).0,0(yf 13、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，显然显然例如例如,222222,0(,)0,0 xyxyx

5、yzf x yxy d(0,0)(,0)d0 xffxxx d(0,0)(0,)d0yffyyy 0 0 在上节已证在上节已证 f(x,y)在点在点(0,0)并不连续并不连续!140000d(,)dx xyyff x yxxxx 0(,)zf x yyy 0 xM T0000d(,)dx xyyff xyyyyy 是曲线是曲线0(,)zf x yxx 0yM T在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0M对对 y 轴的轴的4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义15几何意义几何意义:16设设 z=f

6、(x,y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数(,),(,)xyzzfx yfx yxy若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，()zx ()zxy()zyx22()(,)yyzzfx yyyy则称它们是则称它们是z=f(x,y)的的二阶偏导数二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导22zx (,);xxfx y 2zx y (,)xyfx y 2(,);yxzfx yy x x 数数:2、高阶偏导数、高阶偏导数纯偏导纯偏导纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导混合偏导混合偏导17类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例

7、如，例如，z=f(x,y)关于关于 x 的三阶偏导数的三阶偏导数为为2323()zzxxx z=f(x,y)关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 y 的一阶的一阶()y 1nnzxy 偏导数为偏导数为11nnzx 定义定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.18解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx192)设设byeuaxcos，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaex

8、uax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 注意注意:此处此处22,zzx yy x 但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立.200,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222

9、yxyxyxyx0,022 yx21问题：问题：混合偏导数具备怎样的条件才相等？混合偏导数具备怎样的条件才相等？00()()(,),xyyxfx,yfx,yxy若和都在点连续若和都在点连续0000(,)(,)xyyxfxyfxy 定理定理22证证 令令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21)()(00 xxx令令23),(),(),(0000y

10、xxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同样同样)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030)1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx,0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点在点)(00yx，连续连续,得得0y24例例6.证明函数证明函数2221,urxyzr满足拉普拉斯满足拉普拉斯2222220uuuxyz证证：ux 22ux 利用对称性利用对称性,有有2223513,uyyrr 222222uuuxyzu 方程方程21rrx 21xrr 31r 43 xrrx 23513 xrr 2223513

11、uzzrr 2223533()xyzrr 2r 0 252222220(,),2.xytxffyff x yedtyxx yxy 已已知知求求例例7.7.解解2()xyfeyx xeyfxy2)(22)(32)(222)2(xyxyexyyxyexf )2()2(3)(2)(2222yxexyxeyfxyxy yxyeeyxfxyxy)2(2)()(222 222222yfxyyxfxfyx 2)(2xye 26小结小结1.偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义;记号记号;几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合

12、偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2.偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)27.02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu .0

13、 28思考题思考题,),(22yxyxf 研究例子研究例子000(,)(0,0)P xy 29思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0,0(处处连连续续,但但 )0,0()0,0(yxff 不存在不存在.例如例如,3022cscxyy)1(2 yxyexy)1(2 xxyexy1lnyzxxzxxzyzyln2 222cscxxyy1yzyxz4 31一一、填填空空题题:1 1、设设yxztanln,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 2、设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _

14、_ _ _ _ _ _ _.3 3、设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;22yz_ _ _ _ _ _ _ _;yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.练练 习习 题题32 5 5、设、设zyxu)(,则则 yzu2_.33六、六、验证验证:1 1、)11(yxez ,满足满足zyzyxzx222 ；2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222.七、设七、设 0,00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff,.34练习题答案练习题答案3536七、七、0,0;0,00,0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx,0,0,10,0,12222yxxyyxyxxfxy.