含参函数的两域问题[章节练习]

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1、含参函数的两域问题李兆阳 何军胜（甘肃省会宁县第一中学）在函数一章中，同学们学已掌握了通过函数解析式求函数的定义域和值域的常规方法。一般地，函数的定义域就是使函数式有意义的自变量所以取值的集合，而函数的值域就是在定义域的制约下通过解析式计算所得所以函数值的集合，反应在函数的图象上，通过图象上的点向x轴作投影，x轴上所以这些投影值的集合就是函数的定义域。从图象上的点向y轴作投影，y轴上所以这些投影值的集合就是函数的值域。反过来，已知一个含参函数式的定义域或值域求参数的取值范围问题，它是函数中两域的逆向思维，而且这类问题中有些条件和结论常常是看似相近，而实质不同。若不仔细审题，不进行概念辨析，则会

2、出现理解上的混淆，解题时会出现混乱现象而导致错误，所以今天这节课我和大家通过具体的例子共同来探讨分析辨别含参函数的两域问题。（板书）例1：已知函数f(x)=x2+2mx-m，（1） 函数值域为0,) ，求实数m的取值范围；（2） 函数值y0，)，求实数m的取值范围。分析：这道题首先要分清函数的值域和函数值的区别。先看第（1）问，函数的值域就是全体函数值的集合，值域为0,)，即y0,由此可得函数的最小值为0（ymin=0）,而f(x)是二次函数，图象是开口向上的抛物线，所以顶点的纵坐标为最小值0（画出图象，图（1）。（边讲边解，写出解题过程）解：（1）值域为0,) ，y0ymin=0二次函数f(

3、x)=x2+2mx-m对应的方程x2+2mx-m=0的判别式4m+4m2=0 图（1）m=0 或m=-1解决这一问题的关键就是将值域划归到求函数的最小值，再结合函数图象去求解（红笔框出y0）。再看第（2）问，函数值y0，)，能说明函数的值域是y0，)吗？请同学们思考。这肯定不是，它是说明函数值只要在0，)这个范围内就行，而这个范围0，)内的值并不一定都是函数值，即这个范围内的值有些是函数值，有些值可以不是函数值。这就说明函数的值域是0，)这个范围的子集（值域C0，)）,反应在函数的图象上，是指函数图象（图（2）不能在x轴下方,即判别式。(边讲边解答)（2）函数值y0，)，则值域C0，)函数图象

4、不能在x轴下方，即4m+4m20 图（2）m0解决这一问的关键就是理解函数的值域是所给区间0，)的子集，再转化为函数图象不能在x轴下方，再结合图象解（红笔框出值域C0，)）。通过这道题，我们必须辨别清楚函数的值域与函数值所属范围是有区别的，而这个问题就是函数的值域与函数值的范围（板书），要分别抓住解决的关键。练习1：已知函数y=-3x2-(2m+6)x+m+3，（1） 当函数值域为非正实数集时，求实数m的取值范围；（2） 当函数值为非正实数集时，求实数m的取值范围。提示（1）y0 ymin=0即故 整理得 (2)值域C, 即 例2已知函数 ，(1)定义域为R，求实数的取值范围；(2)值域为R，

5、求实数的取值范围。分析：这道题是对数函数与二次函数复合的对数形式的复合函数，首先要分清定义域和值域都为R的区别。第一问中，定义域为R，就是自变量取任何实数时，函数式都有意义，即真数式。换句话说，按照求定义域的方法，需要解不等式，而定义域为R，说明此不等式的解集为R，又此不等式中二次项系数含参数，则对进行讨论。（边分析边写解答过程）解：(1)定义域为R，则不等式ax2+ax+10的解集为R 当时，不等式为10恒成立（说明时，不等式在R集上恒成立） 当时，（图（3）由题意可知 图（3） 综合、可得解决这一问题的关键是将问题转化为不等式的解集为R，再讨论二次函数系数。利用函数图象分析。 再看第二问，

6、函数的值域为R与定义域为R有区别。函数值可取R集上的任何一个值，可由里外层函数分析。设，则。由外层函数的图象（图（4）可知：当时，此时，需要真数必须取遍上的所有值，方能保证，图象为连续的。否则对数函数图象不连续，那么在中， 图（4）通过图象分析（图（5）：图（5） 图（6） 图（7） 若，则从0到抛物线顶点纵坐标值之间没有取到值，而对数函数在这一段中没有图象（图（6），故图象不连续，所以应该即抛物线图象下移（图（7）与轴相交，才能保证恒取正实数，应为，此时定义域不为R集，由真数为正，此图象中轴下方的图象自然不取，当然也要对二次项系数进行讨论。（2）值域为R，则u=ax2+ax+1必须取遍所有正

7、实数， ：时，不符合题意（只取了一个值，而不是所有正实数）：时， 综合、可知。解决这一问题时用图象分析，关键是里层函数，即真数需保证取遍每一个正实数，转化为图象分析，应为。通过这道例题我们必须清楚对数形式的复合函数的定义域和值域都为R集的问题的求解思路。由概念不同得解决的方法不同。注意解决的关键：定义域与值域都为R集（板书）。练习2：已知函数（）（1）定义域为R，求的取值范围；（2）值域为R，求的取值范围。提示：（1）不等式的解集为R ：时，不符合题意。 ：时， 综合、可知。（2）必须取遍所有正实数， ：时，能取遍所有正实数。 图（8）：时， 综合、可知。例3已知函数， （1）定义域为（-3、

8、4）时，求实数的取值范围; （2）函数在（-3、4）上有意义，求实数的取值范围。分析：这道题首先要区别函数的定义域和在区间上有意义的不同。先看第一问中定义域为（-3、4），则自变量在区间（-3、4）上的每一个值，都能使，函数式有意义，而且只有（-3、4）上的数可使，即不等式的解集为。解：（1）定义域为（-3、4） 不等式的解集为和是方程的根由韦达定理得且（必须验证两根和）下面看第二问，函数在（-3、4）上有意义，说明自变量在区间（-3、4）上的每一个数都可以使，但也有区间（-3、4）以外的数也可能使，这就说明（-3、4）的范围比定义域小或一样大，即（-3、4）定义域A。换句话说，不等式在区间（

9、-3、4）上恒成立。（2）在（-3、4）上有意义 （-3、4）定义域A不等式在区间（-3、4）上恒成立（分离参数）设（如图（9）图(9) 即这道题目中，第一问解决的关键是转化不等式的解集为；第二问解决的关键是转化为不等式在区间（-3、4）上恒成立，在用数形结合分析法解的范围。通过这道例题，我们应区别函数的定义域与有意义的范围，要抓住各自解决的关键。练习3：已知函数（1）定义域为-1、3，求实数的取值范围;（2）函数在-1、3上有意义，求实数的取值范围。提示：（1）依题意得的解集为 (如图（10）) 是方程的根 成立 图（10）（2）在-1、3上有意义在区间-1、3上成立设（如图11）则 图（1

10、1）这节课我们分析了含参函数的两域问题中值域与函数值的范围、定义域和值域都为R、定义域与有意义的范围，这三组貌似神异的概念辨别找出了它们相应解决的关键，运用了化归转化及数形结合的数学思想解出参数的取值范围。通过这节课的学习，警告同学们在今后的学习中还会遇到类似的问题，就需要同学们仔细谨慎、认真审题，理解题意，深入思考，分析找出解决问题的关键，养成良好的数学学习习惯，培养自己思维的严密性。本节课是在学习函数后，在复习中选取的函数中容易混淆的概念辨析课。在函数的学习中，学生对概念的学习不够重视，没有深刻理解对于相似、相近而又有区别的概念经常会混淆，做题时不会仔细审题，只看到问题的表面，没有抓住问题

11、本质，不加思考，盲目求解，往往会造成张冠李戴，解题混乱而导致错误的现象。而函数的定义域和值域是函数的基本要素，求函数的定义域和值域是正向思维，其方法是学生比较容易掌握的。但已知函数的定义域或值域，求函数式中参数的取值范围这样的问题是逆向思维，学生掌握比较困难，而且在概念的辨析中，将函数的值域与函数值的范围、定义域与有意义的范围区别不清、理解不透、概念不清，造成知识错位，而且对于对数形式的复合函数的定义域和值域都为R的求解方法，在真数式的取值中辨别不清、区分不开，造成相同解法的错误。针对这种对函数的概念、性质理解不深或有偏见的现象，设计了三组貌似神异的问题，帮助学生辨析问题的异同，获取解决问题的

12、关键点。同时警告学生在今后的学习中出现类似地问题时，想着少犯错误、少走弯路，获取正确的解题思路，培养自己思维的严密性，养成良好的数学学习习惯。通过这节课的教学，使学生进一步理解函数的定义域和值域的概念，掌握函数定义域和值域逆向求解技能，培养转化、化归及数形结合的数学思想方法以及思维的严密性。本节课的重点是每个问题解决方法的确定，难点是函数的定义域和值域中三组概念的辨析，采用引导探究的教学方法教学，引导学生在理解概念的基础上探究出解决问题的关键所在。教学中，在每一组问题设计时，先有学生熟悉的定义域和值域去分析，探讨方法，学生或许自己能够找出解法，在去思考与定义域或值域相近的第二个问题，与第一问作比较，理解概念，思考不同之处，由浅入深、由易到难，辨别找出与第一问不同的之处去求解，并且边讲解边引导边探究边总结，把问题转化化归到学生比较熟悉的问题上去解决，而且始终运用函数图象，利用数形结合，直观的理解、掌握其解法。6随堂章节