概率统计-第二章

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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 1 1 随机变量随机变量 2 2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 4 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 退 出 前一页 后一页 第二章 随机变量及其分布 1随机变量 目 录 又如：射击中靶次数；掷一又如：射击中靶次数；掷一枚匀质的色子出现的点数枚匀质的色子出现的点数Y等。等。例：例：E1：从从100件产品（件产品（5件次件次品，品，95件正品中任取两件。观件正品中任取两件。观察任取的

2、察任取的2件中次品数件中次品数X。一、问题的引入一、问题的引入 随机事件和实数之间存在着某种客观随机事件和实数之间存在着某种客观的联系，例如：的联系，例如：有的问题看起来与数无关，只要有的问题看起来与数无关，只要稍加处理也可用数来描述稍加处理也可用数来描述 如：如：E：从一批产品中任取一件从一批产品中任取一件是否是合格品？是否是合格品？退 出 前一页 后一页 第二章 随机变量及其分布 目 录 我们约定：若试验的结果是合格品，我们约定：若试验的结果是合格品，令令X=1 若试验的结果是不合格品若试验的结果是不合格品,令令X=0 退 出 前一页 后一页 第二章 随机变量及其分布 目 录 以上遇到的变

3、量，他们的取值依赖于以上遇到的变量，他们的取值依赖于试验的结果，所以在试验之前是不能确试验的结果，所以在试验之前是不能确定的，也就是说它们的取值是随机的，定的，也就是说它们的取值是随机的，从而把这样的变量称为从而把这样的变量称为随机变量随机变量 随机变量随机变量X实质上对应与高等数学中的实质上对应与高等数学中的实值函数实值函数.只不过它是定义在样本空间只不过它是定义在样本空间S上上的一个集合函数。的一个集合函数。e.X(e)sR SeeXX 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值 情况来刻划随机事件例如情况来刻划随机事件例如 2 X：表示至少取

4、出表示至少取出2个黑球这一事件，等等个黑球这一事件，等等 第二章 随机变量及其分布 2X：表示取出表示取出2个黑球这一事件；个黑球这一事件；退 出 前一页 后一页 目 录 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值 时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的定义二、引入随机变量的定义 例例1：单位时间内某电话交换台收到的呼：单位时间内

5、某电话交换台收到的呼叫次数用叫次数用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X=0 第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 例例2 掷一颗骰子，令掷一颗骰子，令 X：出现的点数出现的点数 则则 X 就是一个随机变量就是一个随机变量 4 X 表示掷出的点数不超过表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；这一随机事件；取偶数取偶数X 表示掷出的点数为偶数这一随机事件表示掷出的点数为偶数这一随机事件 它的取值为它的取值为1，2，3，4，5，6 退 出 前一页 后一页 目 录 例例3 上午上午 8:009:00 在某路

6、口观察，令：在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通过的汽车数该时间间隔内通过的汽车数 则则 Y 就是一个随机变量就是一个随机变量 100 Y 表示通过的汽车数小于表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；辆这一随机事件；10050 Y 表示通过的汽车数大于表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过辆但不超过 100 辆这一辆这一随机事件随机事件 第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 它的取值为它的取值为 0，1，注意注意 Y 的取值是可列无穷个！的取值是可列无穷个！退 出 前一页 后一页 目 录 例例 4 观察某电子元件的寿命（单位：小时），令观察某电子元件的寿命（单位：小时），令 Z：该该电子元

7、件电子元件的寿命的寿命 则则Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数就是一个随机变量它的取值为所有非负实数 500 Z 1000 Z表示表示该该电子元件的寿命大于电子元件的寿命大于 1000小时这一随机事件小时这一随机事件 表示该表示该电子元件电子元件的寿命不超过的寿命不超过500小时这一随机事件小时这一随机事件 第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 注意注意 Z Z 的取值是不可列无穷个！的取值是不可列无穷个！退 出 前一页 后一页 目 录 例例 5 掷一枚硬币，令：掷一枚硬币，令：.0;1掷硬币出现反面掷硬币出现反面掷硬币出现正面掷硬币出现正面X则则X是一个随机变量是一个随机变量 第二

8、章 随机变量及其分布 1 随机变量 说说 明：明：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 可见，随机事件这个概念实际上是包可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内容在随机变量这个更广的概念内.也可以也可以说，说，随机事件是从静态的观点来研究随机随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样就象数学分析中常量与变量的区别那样.随机变量概念的产生是概率论发展随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件史上的重大事件

9、.引入随机变量后，对引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究其取值规律的研究.事件及事件及 事件概率事件概率 随机变量及其随机变量及其 取值规律取值规律 三、随机变量的分类三、随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类：如“取到次品的个数”，如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等“收到的呼叫数”等.随随机机变变量量 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 所有取值可以逐个所有取值可以逐个 一一列举一一列举 例如，“电视机的寿命”，实例如，“电视

10、机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满一一列举，而是充满 一个区间一个区间.第二章 随机变量及其分布 2 离散型随机变量及其分布率离散型随机变量及其分布率 离散型随机变量的分布率与性质离散型随机变量的分布率与性质 一些常用的离散型随机变量一些常用的离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 一、离散型随机变量的分布率与性质一、离散型随机变量的分布率与性质 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 1)离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义 如果随机变量如果随机变量 X

11、 的取值是有限个或可列的取值是有限个或可列无穷个，则称无穷个，则称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 2)离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为，nxxx21并设并设 ,2,1 npxXPnn则称上式或则称上式或 X 1x 2x，nx P 1p 2p，np 为离散型随机变量为离散型随机变量 X 的分布律的分布律 退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 3)3)离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布

12、律的性质:;0 npn，有，有对任意的自然数对任意的自然数.1 nnp退 出 前一页 后一页 目 录 例例 2 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为 ，2141 ncnXPn试求常数试求常数 c解：解：由分布率的性质，得由分布率的性质，得 11411nnncnXP第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有 1411nnc341141cc 所以所以 3 c退 出 前一页 后一页 目 录 二、表示方法二、表示方法（1）列表法：）列表法：（2）图示法）图示法（3）公式法）公式法 103106101210X 2,1,0,)(35233kCCCkX

13、Pkk再看下例再看下例 任取任取3 个球个球 X为为取到的白球数取到的白球数 X可能取的值可能取的值 是是0,1,2 0.1 0.3 0.6 k PK 0 1 2 三、举例三、举例 例例1.某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求，求他两次独立投篮投中次数他两次独立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解：X可取可取0、1、2为值为值 P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18 P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 常常表示为：常常表示为：这就是这就是X的概率分

14、布的概率分布.X 0 1 2 P 0.01 0.18 0.81 例例 2 从从110这这10个数字中随机取出个数字中随机取出5个数字，令个数字，令 X：取出的取出的5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X的分布律的分布律 kXP 第二章 随机变量及其分布 具体写出，即可得具体写出，即可得 X 的分布律：的分布律：X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 解：解：X 的可能取值为的可能取值为.1065，k5，6，7，8，9，10 并且并且 510C41 kC=求分布率一定要说求分布率一定要说明明 k 的取值范围！的取值范围！退 出

15、 前一页 后一页 目 录 例例3.某射手连续向一目标射击某射手连续向一目标射击，直到命中为直到命中为止止，已知他每发命中的概率是已知他每发命中的概率是p，求求所需射击所需射击发数发数X 的概率函数的概率函数.解解:显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是1,2,，P(X=1)=P(A1)=p,为计算为计算 P(X=k)，k=1,2,，Ak=第第k发命中发命中，k=1,2,，设设 于是于是 pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp 2)1(,2,1kppkXPk1)1()(可见可见 这就是求这就是求所需射击发数所需射击发数X的概率函数的概率函数.P(X=1)=P(A1)

16、=p,Ak=第第k发命中发命中，k=1,2,，设设 于是于是 pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp 2)1(若随机变量若随机变量X的概率函数如上式的概率函数如上式，则则称称X具有具有几何分布几何分布.不难验证不难验证:1)1(11kkpp,2,1kppkXPk1)1()(第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率每盏信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过.以以 X 表示汽车首次表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求停下时，它已通过的信号灯的盏数，求

17、 X 的分布律的分布律.(信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的).PX=3 例例 4=(1-p)3p 退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 解：解：以以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：的分布律为：X pk 0 1 2 3 4 p 或写成或写成 PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,3 PX=4=(1-p)4 例例 4(续续)(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 以以 p=1/2 代入得：

18、代入得：X pk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 例例 4(续续)退 出 前一页 后一页 目 录(一一)二点分布二点分布 如果随机试验如果随机试验 E 只有两个结果，则称只有两个结果，则称 E 为为 Bernoulli试验试验“成功”与“失败”“成功”与“失败”，分别称为，分别称为与与结果记作结果记作一般地，我们将这两个一般地，我们将这两个AABernoulli 试验的例子试验的例子 例例 掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作是

19、一次 Bernoulli试验试验 第一章 概率论的基本概念 退 出 前一页 后一页 目 录 四、一些常用的离散型随机变量四、一些常用的离散型随机变量 掷骰子：“掷出掷骰子：“掷出4 4点”，“点”，“未掷出未掷出4 4点点”一般地，一般地，设在一次试验中我们只考虑两个设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果：互逆的结果：A或或 ，或者形象地把两个互或者形象地把两个互逆结果叫做逆结果叫做“成功成功”和和“失败失败”.A 新生儿：“是男孩”，“新生儿：“是男孩”，“是女孩是女孩”抽验产品：“是正品”，“抽验产品：“是正品”，“是次品是次品”第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 Bernoul

20、li分布的概率背景分布的概率背景 进行一次进行一次Bernoulli试验，试验，A是随机事件。设：是随机事件。设：qpAPpAP 1，设设X 表示这次表示这次Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的次数发生的次数 或者设或者设 不发生不发生若事件若事件发生发生若事件若事件AAX01退 出 前一页 后一页 目 录 pBX，记作1第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 Bernoulli分布分布(两点分布或两点分布或0-1分布分布 如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为 1,0,)1(1 kppkXPkkX 0 1 P 1-p p 或或 则称随机变量则称随机变量 X 服从参数

21、为服从参数为 p 的的 Bernoulli分布分布 为参数为参数其中其中10 p pBX，记作记作1退 出 前一页 后一页 目 录 第一章 概率论的基本概念 n重重Bernoulli 试验试验 若独立重复地进行若独立重复地进行n次次Bernoulli试验试验，这里“重复”，这里“重复”是指每次试验中事件是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中发生的概率（即每次试验中“成功”的概率）不变，则称该试验为“成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重重Bernoulli 试验试验 退 出 前一页 后一页 目 录(二二)二项分布二项分布 设在设在 n 重重Bernoulli 试验中，试验中，.1q

22、pAPpAP ，次次恰好发生恰好发生试验中事件试验中事件重重，kABernoullinBkn 第一章 概率论的基本概念 5 n重贝努里概型 一般地：一般地：.knkknknqpCBP ，则则退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 种种，这种指定的方法共有，这种指定的方法共有失败失败现现次出次出，其余，其余成功成功次出现次出现次试验中，指定次试验中，指定在在knCAknAkn 则则出现出现次试验次试验第第设设,AiAi nknknnkknkkAAAAAAAAAAAAAAkX121212111 说明：说明：pqqpCkXPknkkn 1 nk，210 所以所以

23、退 出 前一页 后一页 目 录(二二)二二 项项 分分 布布 如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为 nkppCkXPknkkn，101 为参数为参数为自然数，为自然数，其中其中10 pn 的二项分布，的二项分布，服从参数为服从参数为则称随机变量则称随机变量pnX第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 pnBX，记作记作退 出 前一页 后一页 目 录 二项分布的概率背景 进行进行n重重 Bernoulli 试验，试验，A是随机事件。设在每次是随机事件。设在每次试验中试验中 qpAPpAP 1，令令 X 表示表示这这 n 次次 Bernoulli 试验中事件试验中事件A发生的发生

24、的次数次数 pnBX，则则第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 用用X表示表示n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A（成功成功）出现的次数，则出现的次数，则 nkppCkXPknkkn,1,0,)1()(1)(0nkkXP（2）不难验证：不难验证：0)(kXP（1）称称r.vr.vX服从参数为服从参数为n和和p的二项分布，记作的二项分布，记作 XB(n,p)当当n=1时，时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 称称X服从服从0-1分布分布 说 明 显然，当显然，当 n=1 时时 分布分布服从服从此时，此时，BernoulliX pBX，1特例

25、特例分布是二项分布的一个分布是二项分布的一个这说明，这说明，Bernoulli第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 极端情况：单点分布，或退化分极端情况：单点分布，或退化分布布 007125.0)95.0()05.0()2(223CXP例例3 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中 有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取个，求在所取的的3个中恰有个中恰有2个次品的概率个次品的概率.解解:因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努里试验的条件完全相

26、同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则 X B(3,0.05)，注：若注：若将本例中的“有放回”改为”无放将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解努里概型，此时，只能用古典概型求解.古典概型与贝努里概型不同，有何区别？古典概型与贝努里概型不同，有何区别？00618.0)2(310025195CCCXP请思考：请思考：例例 4 一张考卷上有一张考卷

27、上有5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能个可能 答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测 能答对能答对4道题以上的概率是多少？道题以上的概率是多少？,对的题数对的题数表示该学生靠猜测能答表示该学生靠猜测能答设设X ，答对一道题答对一道题 A则答则答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验试验 415，则则BX第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 41 AP则则解：解：每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，试验，退 出 前一页 后一页 目 录 所以所以 44 XPP道题道题至少能答对至少能

28、答对 54 XPXP5445414341 C641 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 对于固定对于固定n及及p，当当k增增加时加时,概率概率P(X=k)先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值,随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p不为整数时，二项概不为整数时，二项概率率P(X=k)在在k=(n+1)p达到最达到最大值；当（大值；当（n+1）p为整数时，为整数时，在在k=(n+1)p或或(n+1)p-1达到最达到最大大(x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数).n=10

29、,p=0.7 n Pk 0二项分布的最可能值二项分布的最可能值 例例 5 对同一目标进行对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的次独立射击，设每次射击时的 命中率均为命中率均为0.44，试求，试求300次射击最可能命中几次？次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？其相应的概率是多少？射击中命中目标的次数射击中命中目标的次数表示表示300X 则由题意则由题意 ，44.0300 BX ，它不是整数，它不是整数由于由于44.13244.01300 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 解：解：对目标进行对目标进行300次射击相当于做次射击相当于做300重重Bernoulli 试验令：试

30、验令：退 出 前一页 后一页 目 录 因此，最可能射击的命中次数为因此，最可能射击的命中次数为 其相应的概率为其相应的概率为 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 132 44.132 0 k 168 132 132 300 56.0 44.0 132 C X P 04636.0 （三）（三）Poisson 分布分布 如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为 ，210!kekkXPk 为常数为常数其中其中0 则称随机变量则称随机变量 X 服从服从参数为参数为的的Poisson 分布分布 第二章 随机变量及其分布(第七讲第七讲)2离散型随机变量 退

31、出 前一页 后一页 目 录 分布律的验证分布律的验证 由于由于 0可知对任意的自然数可知对任意的自然数 k，有有 0!ekk第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 又由幂级数的展开式，可知又由幂级数的展开式，可知 00!kkkkkeek 所以所以 ee 1 ，210!kekkXPk 是分布律是分布律 退 出 前一页 后一页 目 录 Poisson 分布的应用分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布分布 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到例如，可

32、以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从一定条件下，都是服从Poisson分布的分布的 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 例例 6 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为的的Poisson分布，分布，且已知且已知 21 XPXP解：解：随机变量随机变量 X 的分布律为的

33、分布律为 试求试求4 XP ，210!kekkXPk 由已知由已知 21 XPXP第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 得得 ee!2!121由此得方程由此得方程 022 得解得解 2 不合题意，舍去不合题意，舍去另一个解另一个解0 所以，所以，24!424 eXP232 e09022.0 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 例例 7(bayes)是无效的是无效的的人来讲，则的人来讲，则余余（疗效一般）；而对其（疗效一般）；而对其降为降为的人来讲，可将参数的人来讲，可将参数显著）；对另显著）；对另（疗效（疗效降为降为

34、数数的人来讲，可将上述参的人来讲，可将上述参冒的药，它对冒的药，它对分布，现有一种预防感分布，现有一种预防感的的冒次数服从参数冒次数服从参数设一个人在一年内的感设一个人在一年内的感%254%451%305 Poisson第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 概率概率“疗效显著”的“疗效显著”的次感冒，试求此药对他次感冒，试求此药对他他得了他得了在这一年中，在这一年中，现某人服用此药一年，现某人服用此药一年，3退 出 前一页 后一页 目 录 解：解：设设 B=此人在一年中得此人在一年中得3次感冒次感冒 该药疗效显著该药疗效显著 1A 该药疗效一般该药疗效一般 2A 该药无效该药无效 3A则

35、由则由Bayes公式，得公式，得 332211111ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 13!3130.0 e1301.0_ 43!3445.0 e53!3525.0 e13!3130.0 e=退 出 前一页 后一页 目 录 Poisson 定理定理 证明证明(略讲略讲)有关如果有关如果验总数验总数中发生的概率，它与试中发生的概率，它与试在试验在试验代表事件代表事件试验中，以试验中，以设在设在nApBernoullin0lim nnnp ekppCkknnknknn！则则1limnnnp 令：令：knnknknppC 1则则第二章 随机变

36、量及其分布 2离散型随机变量 knnknnnkknnnn 1121！退 出 前一页 后一页 目 录 knnknnnknnk 1112111!对于固定的对于固定的 k，有有 knnnn 1lim e第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 所以，所以，knnknknnppC 1limknnnnknnnnknnk 1lim112111limlim!1 ekk！退 出 前一页 后一页 目 录 PoissonPoisson定理的应用定理的应用 由由 Poisson 定理，可知定理，可知 ，若随机变量若随机变量pnBX 比较小时，比较小时，比较大，比较大，则当则当pnnp 令：令：knkknppCkX

37、P 1则有则有 ekk!第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 例例 8 设每次射击命中目标的概率为设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击，现射击600次，次，求至少命中求至少命中3次目标的概率（用次目标的概率（用Poisson分布近似计分布近似计 算）算）,600次射击命中目标的次数次射击命中目标的次数为为设设X ，则则012.0600 BX取取2.7012.0600 第二章 随机变量及其分布 解：解：3 XP 31 XP 2101 XPXPXP2.722.72.722.72.71 eee9745.0 退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 随机变量

38、及其分布 2离散型随机变量 例例 9 某车间有某车间有100 台车床独立地工作着，发生故障的概台车床独立地工作着，发生故障的概 率都是率都是 0.01.在通常情况下，一台车床的故障可由一个在通常情况下，一台车床的故障可由一个人来处理人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当车床发问至少需配备多少工人，才能保证当车床发生故障但不能及时维修的概率不超过生故障但不能及时维修的概率不超过 0.01？（略讲）？（略讲）解：解：设需配备设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台人，记同一时刻发生故障的设备台 数为数为 X，.01.0 NXP则则 X b(100，0.01），取值，使得：取值，使得：需要确

39、定最小的需要确定最小的 N 的的 退 出 前一页 后一页 目 录 NXP Nkke01!1查表可知，满足上式的最小的查表可知，满足上式的最小的 N 是是 4,因此至少需配因此至少需配备备 4 个工人。个工人。.01.0 NXP第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 分布近似计算，取分布近似计算，取用用101.0100 Poisson.01.0!11 Nkke Nkkke01!1.99.0 例例 9（续）（续）退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 例例 10 保险公司售出某种寿险（一年）保单保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份份.每单每单交保费交保

40、费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得公司获得2万元的赔偿万元的赔偿.若此类被保人一年内死亡的概率若此类被保人一年内死亡的概率为为0.001，求，求 （1）保险公司亏本的概率；）保险公司亏本的概率；（2）保险公司获利不少于）保险公司获利不少于10万元的概率万元的概率.解：解：设此类被保人一年内死亡的人数为设此类被保人一年内死亡的人数为 X，则则 X b(2500，0.001）.退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 例例 10（续）（续）（1）P(保险公司亏本保险公司亏本)（2）P(保险公司获利不少于保险

41、公司获利不少于10万元万元)0225(XP)12(1 XPkkkk 2500120)999.0.()001.0.(250015.2120!5.21 ekkk.000002.0)10225(XP)7(XP.995753.0!5.25.270 ekkk退 出 前一页 后一页 目 录（四）几（四）几 何何 分分 布布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为 ，211 kpqkXPk 100 qpqp，其中其中的几何分布的几何分布服从参数为服从参数为则称随机变量则称随机变量pX第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 分 布 律 的 验 证 由条件由条件 01

42、 pqk有有，可知对任意的自然数，可知对任意的自然数，kqp00 由条件可知由条件可知 1111kkkkqppqqp 111综上所述，可知综上所述，可知 ，211 kpqkXPk是一分布律是一分布律 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 几何分布的概率背景 在在Bernoulli试验中，试验中，pqAPpAP 1,试验进行到试验进行到 A 首次出现为止首次出现为止 表示所需试验次数表示所需试验次数令：令：X的几何分布的几何分布服从参数为服从参数为则则pX第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 即即 ，211 kpqkXPk退 出 前一页 后一页 目 录

43、 例例 11 对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率 为为0.64，射击进行到击中目标时为止，令，射击进行到击中目标时为止，令 X：所需射击次数所需射击次数 试求随机变量试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行的分布律，并求至少进行2次射击次射击 才能击中目标的概率才能击中目标的概率 解：解：，的取值为的取值为nX21第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 nXP 退 出 前一页 后一页 目 录 2 2 X P P 次才命中次才命中 至少射击至少射击 36.0 1 36.0 64.0 2 1 64.0 36.0 k k 36.0 64.0 36.0

44、 1 n ,2,1 n（五）超（五）超 几几 何何 分分 布布 如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为 nMkCCCkXPnNknMNkM，min10 均为自然数均为自然数，其中其中nMN 的超几何分布的超几何分布，服从参数为服从参数为则称随机变量则称随机变量nMNX第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 退 出 前一页 后一页 目 录 超几何分布的概率背景 一批产品有一批产品有 N 件，其中有件，其中有 M 件次品，其余件次品，其余 N-M 件为正品现从中取出件为正品现从中取出 n 件件 令令 X：取出取出 n 件产品中的次品数件产品中的次品数 则则 X 的分的分 布律为布律

45、为 nMkCCCkXPnNknMNkM，min10 分布分布的超几何的超几何，服从参数为服从参数为此时，随机变量此时，随机变量nMNX2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 随机变量及其分布 思考题：思考题：若每蚕产若每蚕产 个卵的概率服从泊松分布，参数为个卵的概率服从泊松分布，参数为 ，而每个卵变为成虫的概率为而每个卵变为成虫的概率为 ，且各卵是否变成，且各卵是否变成成虫彼此间没有关系，求每个蚕养出成虫彼此间没有关系，求每个蚕养出k只小蚕的只小蚕的概率。（概率。（）!/)(keppknp退 出 前一页 后一页 目 录 2离散型随机变量 第二章 随机

46、变量及其分布 本节小结：本节小结：1）离散型随机变量的分布率及其性质；）离散型随机变量的分布率及其性质；2）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布、）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布超几何分布 要求：要求：1）掌握分布率的性质；）掌握分布率的性质；2）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。退 出 前一页 后一页 目 录 第二章 作业（1）P：1，3，4，6，10，12，13，14，第三节 随机变量的分布函数 分布函数的定义分布函数的定

47、义 分布函数的性质分布函数的性质 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数 用分布函数计算事件的概率用分布函数计算事件的概率 例题详解例题详解 小结小结 一、分布函数的定义 定义定义:设设 X是一个随机变量是一个随机变量,x 是任意实数是任意实数,函数函数)(xXPxF 称为称为 X 的的分布函数分布函数.记作记作 X F(x)或或 FX(x).0 x x X (1)由分布函数的定义由分布函数的定义,对任意实数对任意实数 x1x2,随机随机点落在任意区间点落在任意区间(x1,x2 内的概率为内的概率为:12P xXx 因此因此,只要知道了随机变量只要知道了随机变量X的分布函数的分布函数

48、,它它的统计特性就可以得到全面的描述的统计特性就可以得到全面的描述.21P XxP Xx21()(),F xF x说明说明:(2)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况值的概率情况.(3)分布函数是一个普通的函数分布函数是一个普通的函数,正是通过它正是通过它,可以可以用数学分析的工具来研究随机变量用数学分析的工具来研究随机变量.);,(,1)(0)1(xxF);(),()()2(2121xxxFxF 证明证明 12()().F xF x 故故0,二.分布函数的性质(单调不减性单调不减性)12P xXx21()()F xF x,0)(lim)()

49、3(xFFx;1)(lim)(xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxo证明证明,越来越小时越来越小时当当 x,的值也越来越小的值也越来越小xXP 有有时时因而当因而当,x,0)(lim)()3(xFFx;1)(lim)(xFFxxo.),(X,xx,(X,xXPx,内内必然落在必然落在时时当当而而的值也不会减小的值也不会减小增大时增大时当当同样同样 .1lim)(lim xXPxFxx所以所以 000(4)lim()(),().xxF xF xx 即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.,1,0,0,0)(221211xxxxxpxxpxxFxo)(xF 1x

50、 2x 1p 2p 1 反过来反过来,如果一个函数具有上述性质如果一个函数具有上述性质,则一定是某则一定是某个个r.v X 的分布函数的分布函数.也就是说也就是说,性质性质(1)-(4)是鉴别一是鉴别一个函数是否是某个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件.00:()sin0.1xEX F xxxx 三、离散型随机变量三、离散型随机变量X的分布函数的分布函数 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为,1,2,kkP Xxpk 亦即亦即 1212kkkXxxxpppp()F xP Xx则其分布函数则其分布函数,kkxxP Xx ().kkxxF xp 即

51、即kP Xxx 取不大于 的一切值取不大于 的一切值kkxxPXx 四、用分布函数计算事件的概率 设设 是随机变量是随机变量X的分布函数的分布函数,则则 ()F XP Xx11limlim()(0)nnP XaF aF annP Xa()(),P aXbF bF a(),P XaF aP Xa()(0)P XaP XaF aF a11()P XaP XaF a (0)()P aXbF bF a (0)(0)P aXbF bF a11(0)P XaP XaF a ()(0)P aXbF bF a例例1 1：设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为:求求 X 的分布函数的分布函数.X pk

52、61 -2 1 2 2131解：解：当当 x-2 时，时，是不可能事件是不可能事件 xX0 1 x X 2-2 x)(xXPxF 五、五、例子例子 .0 P,12时时当当 x满足满足 X x 的的 X 取值为取值为 X=-2,)(xXPxF 12.3P X x 1 X 2-2 x,21时时当当 x 满足满足 X x 的的 X 取值为取值为 X=-2,或或 1，)(xXPxF 211 3 1 6 1 2.P Xor X 同理当同理当,2时时x()2121.F xP XxP Xor Xor X X pk 61 -2 1 2 21310,2,1 3,21,()1 2,12,1,2.xxF xxx 说

53、明说明:对于离散型对于离散型r.v.来说来说,-2 0 1 2 x 1 X pk 61 -2 1 2 21310,2,1 3,21,()1 2,12,1,2.xxF xxx (1)分布函数的图形如右图所示分布函数的图形如右图所示,它是一条阶梯形的曲线它是一条阶梯形的曲线;(2)分布函数分布函数F(x)在在 x=xk (k=1,2,)处有跳跃点处有跳跃点,其跳跃值为其跳跃值为 pk=PX=xk.例例2:2:一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2 米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任一设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积面积成正比成正比,并设并设射击都能中靶射击都

54、能中靶,以以 X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随试求随机变量机变量 X 的分布函数的分布函数.解：解：（1）若若 x 0,则则 是不可能事件，于是是不可能事件，于是 xX ()F xP XxX()0.P （2）若若 ,则则 是必然是必然 事件事件,于是于是 xX 2 x.1)(xXPxF（3）由题意，由题意，若若,20 x,0 2xkxXP 2,021,xPX取由已知得取由已知得与上式对比得与上式对比得 1/4,k 204.PXxx即即时时于是，于是，20 x)(xXPxF 204.PXxx即即00 xXPXP .42x 20,0,()4,02,1,2.xF xxxx 其

55、图形为一连续曲线其图形为一连续曲线 对任意对任意x,F(x)可以写成形式为可以写成形式为 02()(),().20 xttF xf t dtf t 其中其中其它其它小结小结 1.分布函数的定义：分布函数的定义：)(xXPxF 2.分布函数的性质分布函数的性质);,(,1)(0)1(xxF);(),()()2(2121xxxFxF (单调不减性单调不减性),0)(lim)()3(xFFx;1)(lim)(xFFx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.概率密度及其性质概率密度及其性质 常用的连续型分布常用的连续型分布 指数分布指数分布

56、均匀分布均匀分布 正态分布与标准正态分布正态分布与标准正态分布 4 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 一、连续型随机变量的概念与性质一、连续型随机变量的概念与性质 1)定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)，存，存 在非负函数在非负函数 f(x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数 x，有，有 则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数，其中函数 f(x)称为称为 X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.xdttfxF,)()(4连续型随机变量的概率密

57、度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 由定义知道，概率密度由定义知道，概率密度 f(x)具有以下性质：具有以下性质：.0)(10 xf.1)(20 dxxff(x)0 x 1)()(312210 xFxFxXxP f(x)x 0 1x2x 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布)(.)(2121xxdxxfxx 前两个条件是概率密度前两个条件是概率密度的充分必要条件的充分必要条件 退 出 前一页 后一页 目 录 处连续，则有处连续，则有在点在点若若xxf)(40 xxFxxFxfx )()(lim)(0即即 xxxXxPx )lim0若不计高阶无穷小，有若

58、不计高阶无穷小，有.)(xxfxxXxP xdttfxF,)()(4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布).()(xfxF 退 出 前一页 后一页 目 录 注注 意意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不密度函数不是概率！是概率！我们不能认为：我们不能认为：！afaXP ，对任意的实数对任意的实数是连续型随机变量，则是连续型随机变量，则设设aX 0 aXP有有连续型随机变量的一个重要特点：连续型随机变量的一个重要特点：4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及

59、其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 说说 明明 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 ，的密度函数为的密度函数为若已知连续型随机变量若已知连续型随机变量xfX取值的概率为，取值的概率为，也可以是无穷区间）上也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区闭区间，或半开半闭区也可以是也可以是可以是开区间可以是开区间（在任意区间在任意区间则则,GGX GdxxfG

60、XP 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 此公式非常重要！此公式非常重要！退 出 前一页 后一页 目 录 例例 1 1 设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 其它其它020242xxxcxf解：解：由密度函数的性质由密度函数的性质；常数常数求：求：c 1 XP 1 dxxf 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 dxxf1得得 20224dxxxc2032322 xxcc38 83 c所以，所以，1 XP GdxxfGXP 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 2122483dx

61、xx213232283 xx21 1dxxf退 出 前一页 后一页 目 录 例例 2 某电子元件的寿命某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以（单位：小时）是以 10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量求为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元个同类型的元 件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解：解：设设 A=某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 例例 2（续）（续）150 XPAP则则检验检验

62、5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重重Bernoulli试验试验 设设 Y 表示表示5 个元件中使用寿命不超过个元件中使用寿命不超过150小时小时 的元的元 件数，件数，150dxxf 1501002100dxx31 32253231 C24380 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布).3/1,5(BY则则故所求概率为故所求概率为 2 YP退 出 前一页 后一页 目 录 例例 3 的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量 X 其它其它021210 xxxxxf的分布函数的分布函数试求试求X解：解：xdttfxFx时，时，当当00 x

63、dttfxFx时，时，当当10 xdttfdttf00 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 例例 3（续）（续）xtdt022x xdttfxFx时，时，当当21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212 xx 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 例例 3（续）（续）xdttfxFx时，时，当当2 xdttfdttfdttfdttf221100 21102dtttdt 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 1 例例 3（

64、续）（续）的分布函数的分布函数量量综上所述，可得随机变综上所述，可得随机变 X xxxxxxxxF21211221020022 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 二、一些常用的连续型随机变量二、一些常用的连续型随机变量 1)均均 匀匀 分分 布布 若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 其它其它01bxaabxf 上的均匀分布上的均匀分布，服从区间服从区间则称随机变量则称随机变量baX记作记作 X U a,b 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 密度函数的验证密度函数的验证 是其密

65、度函数，则有：是其密度函数，则有：，设设xfbaUX ；，有，有对任意的对任意的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxf badxab11 确是密度函数确是密度函数其它其它 01bxaabxf由此可知，由此可知，4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 说说 明明 类似地，我们可以定义类似地，我们可以定义 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 上的均匀分布；上的均匀分布；，区间区间 b a 上的均匀分布；上的均匀分布；，区间区间 b a 上的均匀分布上的均匀分布，区间区间 b a 均匀分布的

66、概率背景均匀分布的概率背景 变量变量上的均匀分布，则随机上的均匀分布，则随机，服从区间服从区间如果随机变量如果随机变量baX 上取值是等可能的上取值是等可能的，在区间在区间量量这时，可以认为随机变这时，可以认为随机变baXX X a b x l l 0 lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 取值的概率与该子区取值的概率与该子区上的任意一个子区间上上的任意一个子区间上，在区间在区间baX该子区间的位置无关该子区间的位置无关间的长度成正比，而与间的长度成正比，而与退 出 前一页 后一页 目 录 均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数 xbbxaabaxaxxF10a b x F(x)0 1 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 上的均匀分布，上的均匀分布，服从区间服从区间 若随机变量若随机变量 b a X 的分布函数为的分布函数为 则则 X 例例 5 5 设公共汽车站从上午设公共汽车站从上午7时起每隔时起每隔15分钟来一班车分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是如果某乘客到