《概率论与数理统计》的教学改革

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1、第 27 卷第 6 期通 化 师 范 学 院 学 报Vol.27 No.62006 年 11月JOURNAL OF TONGHUA T EACHERS COLLEGENov.2006概率论与数理统计课的教学改革及其应用能力的培养?丛玉华,殷?烁(通化师范学院 数学系,吉林 通化 134002)摘?要:根据概率论与数理统计的教学内容、特点,从教学内容的实用性,设计实例及开展数学建模活动等三个方面阐述了如何进行教学改革,进而培养学生的学习兴趣和应用能力,促进了课堂教学质量的提高.关键词:教学改革;应用能力;概率统计中图分类号:G642?文献标识码:A?文章编号:1008-7974(2006)06-

2、0112-030?引言概率统计课是一门基础课,又是一门实践性很强的课程?高等学校的大部分本科专业都开设此课程,而且概率统计也是许多专业的研究生入学考试中的一部分,甚至在现行的中学课本里也安排了很多概率统计知识,难度也在一点点的加大?目前,概率统计方法的应用几乎遍及科学技术的各个领域,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有着广泛的应用?因此,学生应该掌握这门课程的基本知识和理论,并会把它们应用到社会实践当中?而这门课又被认为是一门较难学的课程,主要原因是以往的教学中偏重于基本概念和理论的讲解,而忽视了实践应用环节的训练,使学生为考试而学习.学后不用,致使学生在实践中遇到概率统

3、计问题时往往束手无策,无法建立概率统计模型,不会用概率统计的方法分析问题、解决问题?因此,教师应该对以往的教学进行改革,注重对学生应用能力的培养?只有加强对学生应用能力的培养,才能使学生成为现实社会所需要的人才?加强学生应用能力的培养也是数学本身发展的需要,是提高学生数学素质的重要途径?本文根据自己多年的教学经验对应用能力的培养与?概率论与数理统计?教学改革谈了几点看法?1?注重教学内容的实用性及思维方法的传授,培养学生的应用意识每门学科的学科思想都是不同的,而每门学科的知识也是在各自的学科思想的指导下建立的?教育的目的是让人一生受用,不仅仅是让学生在试卷上成绩突出,更是让学生能用所学的知识、

4、方法去分析和解决实际生活中的问题?也就是说要让学生的应用能力得以培养和提高?1.1?引导学生?发现?概率统计的实用性?概率论与数理统计?的产生和发展过程有着耐人寻味、引人入胜的实际应用背景?这为激发学生的学习兴趣、培养学生的应用意识提供了良好的教学条件?法国数学家保罗?朗之万曾说:?在数学教学中,加入历史是有百利而无一害的,观察那些新学说的创始者是怎样比他的继承者更详细、更清楚地认识到自己理论系统的弱点和不充分处是很有教育意义的?1在教学中,教师可以结合教学内容,选进相关的史料.让学生通过了解历史来增强学生学习的兴趣,让学生慢慢了解概率论与数理统计的发展过程,使学生清楚地认识到这一学科的发展过

5、程经历了去粗取精、由浅入深、由表及里的辨证思维过程,能让学生从中培养应用意识和?发现?概率统计的能力?比如可以让学生了解概率统计学家泊松、贝努利、辛钦、贝叶斯等对概率统计的贡献?1.2?联系生活实际,注重思维方法的传授,加深对基本概念、理论的理解在?概率论与数理统计?的课本中,有许多概念和问题的解决方法都是通过实际问题或从实物模型中引出来的,所以在教学中尽可能地联系课本中的基本概念和方法,把它们?回归?到实际背景,这将有助于培养学生的应用能力?例如,在讲随机变量的概念时,我们可以用足球比赛为例子加以理解?足球比赛的结果为赢、平、输,我们用变量 X 来表示取得某种结果,则 X 可取值为 1,0,

6、-1(分别对应于赢、平、输).这个变量 X 的特点是:知道其取值的范围及取每个值的相应概率的大小,但在比赛前不能确定取哪一个数值,这种变量就是随机变量?把这个例子加以抽象化即可以引进随机变量的概念?随机变量就是在随机试验中,随着试验结果的不同而随机取各种不同的数值,而且对每一数值或某一范围内的值都有相应的概率?随机变量一般用大写字母 X、Y、Z 等表示?讲过随机变量的概念之后,再拿出一些随机现象让学生用随机变量来描述,这种由个别到一?112?收稿日期:2006-05-04作者简介:丛玉华(1964-),女,通化师范学院数学系副教授,主要从事应用数学研究.般,再由一般到个别的讲授方法使学生易懂易

7、用,有利于培养学生的应用能力?概率论与数理统计?的课本中还有许多概念抽象、难懂,若按严格的数学定义来讲授,则学生可能只能记住定义、定理,知其然而不知其所以然?所以教师应该结合生活中的实际例子去帮助学生理解?再比如,讲解?数学期望?这个概念时,我们可以从生活中的?平均数?开始讲解,因为它是简单算术平均的一种推广,然后再介绍?平均数?的第二种定义?加权平均?,这样就能使学生很容易地掌握?数学期望?的定义?除此之外,还有全概率公式、独立与相关的关系、大数定理、中心极限定理、中位数、众数与平均数的区别、统计推断原理等很多都可以通过实际问题加以理解,让学生懂得实际问题既是概率统计的来源,又是它们的归宿?

8、学生认识到这一学科的应用性,从而培养学生的应用能力?2?设计实例进行案例教学,培养学生的应用能力案例教学 2是要求学生结合所学的理论,以实际情况为背景,对客观现象进行深入的分析,找出其存在的问题、根源,并策划出解决问题的方案?这种方法有利于激发学生的学习兴趣,培养学生的实际应用能力?概率统计课是一门应用性很强的学科,因此,教师在教学过程中应适当将教材中的内容扩展,设计一些实例进行讲解?这样可以使学生更好地理解概率统计,能让学生自己主动地去学习,从而提高学生的应用能力?如运用古典概率公式解决?鞋子配对问题?、?生日巧合问题?、?赌博问题?;运用统计估计与假设检验解决?先尝后买产品促销问题?、?吸

9、烟与患癌症的相关性?;用中心极限定理解决?保险公司盈利与亏损的问题?等等?这些都能使学生感觉到概率统计与身边的许多事情都有一定的联系?现在以两个实例加以说明?例 1 3?假设一家保险公司里有10000 个人参加保险,每人每年付12 元保险费?在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领取 1000 元,问:(1)保险公司亏本的概率有多大?(2)保险公司一年利润不少于 4000 元的概率有多大?解?设?为 10000 个人中一年内死亡的人数,则由题意,?B(n,p),其中 n=104,p=0.006,q=1-p.则保险公司一年收入为 12?10000-1000?(1)保险公司

10、亏本,则 12?10000-1000?120由中心极限定理,得?P(?120)=P(?-npnpq120-npnpq)=1-?(120-10000?0.00610000?0.006?0.994)=1-?(6059.64)=1-?(7.76931)?0则可知保险公司不能亏本?(2)若保险公司一年利润不少于 40000 元,则 12?104-103?4?104,从而?80?P(?80)=P(?-npnpq?80-npnpq)=?(80-10000?0.006)10000?0.006?0.994)?(2.59)?0.995所以保险公司一年利润不少于 40000 元的概率为 0.995?通过这道题的解

11、答学生能够清楚的明白为什么会有那么多的保险公司成立,因为保险公司亏本的可能性几乎为零,还可以让学生思考目前各保险公司推出很多保险种类,哪一种对保险公司更有利呢?同时也能让同学们感觉到?概率统计就在我们身边?,它的应用十分广泛?例 2 4?对湖中鱼的数量的估计?欲估计某湖中鱼的数量 N,由于不便于在湖中进行全面调查,因此,可以通过抽样来估计?在湖面上均匀地打捞出若干网鱼,假设共有 r 条,将它们做上记号后重新放回到湖中?这样就可以从湖中抽出样本了,重复刚才的做法,再次从湖中均匀地打捞出若干网鱼,假定共有 s 条,这 s 条鱼就构成了一个样本?样本的 s 条鱼中有 x 条鱼有记号,试问如何估计湖中

12、的鱼的数量?分析一下,设第二次从湖中打捞出的鱼中标有记号的鱼的数量为 X,X 是一个随机变量,且 X 服从超几何分布P X=x =CxrCs-xN-rCsN,(1)其中 x 为整数,且 max 0.s-(N-r)?x?min r,s?现用 L(x;N)表示(1)式的右端,则取使 L(x;N)达到极大值的 N 作为N 的估计值?但是直接对 N 求导数的方法相当困难,现用下式方法考虑比值.?113?A(x;N)=L(x;N)L(x;N-1)=N-rN?N-s(N-r)-(s-x)=N2-(r+s)N+rsN2-(r+s)N+Nx.(2)从(2)式看到,当且仅当 N L(x;N-1);当且仅当 N

13、rsx时,L(x;N)L(x;N-1),因此,L(x;N)在rsx附近取极大值,于是,N 的估计值为:N rs/x?(表示取整数部分)当 r=1000,s=800,x=2 时,N =1000?800/2=400000?可以估计出湖中大概有 400000 条鱼?这个实例应用了统计当中的抽样推断?通过这个实例的讲解不仅可以使学生很好的理解抽样推断,还可以让学生思考如何设计试验去解决问题?案例教学是要求学生应用所学的理论,以实际情况为背景,对客观现象进行深入的分析,策划出解决问题的方案,从而有利于培养学生的学习兴趣,培养学生发现问题和解决问题的实际应用能力,因此在教学中要注重案例教学?3?开展数学建

14、模活动,培养学生的应用能力所谓的数学建模 5就是把实际生活中的问题转化为数学模型,即用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式,然后利用我们所学的数学知识对数学模型进行求解?那么就要求教师在某些课节上选择一篇或两篇的具有代表性的有关概率统计的应用案例或应用文章,指导学生去思考、讨论、解答,教师应与学生共同探讨,让学生逐渐学习、掌握解决问题的方法,并使学生充分认识到概率统计这门课的实用性,培养学生的实际操作能力及建模能力,鼓励学生通过建立相应的模型来解决一般性的问题?比如,让学生测量本年级男、女同学的身高,看是否符合正态分布;

15、分析学习成绩与性别的关系;分析父亲的身高与儿子的身高有何关系;统计每学期各科考试成绩并标准化后排出名次;考察入学成绩与在校成绩的相关性等.还可以拿出一些相应的全国大学生数学建模题让学生探讨研究,比如,2000 年 A 题的基因分类问题;2002 年 B 题的彩票中的数学;2005 年 B 题的DVD 在线租赁问题.他们是分别应用了概率统计中的贝叶斯判别、古典概率、二项分布及中心极限定理解决的,这样做更能够增强学生的应用意识,培养学生的应用能力?从知识的掌握到应用不是一件简单的事情,学生应用能力的培养是一项艰巨的任务 6?对于教学改革我们更应该注重实践性的教学环节,注意加强培养学生的应用能力,使

16、学生自觉地应用数学知识、方法去观察和分析要解决的实际问题?参考文献:1 徐传胜.运用实际问题改进?概率统计?教学 J,数学教育学报,2000,9(4):91 94.2 赵姝淳.概率论与数理统计创新教学模式初探 J,高等教育研究学报,2001,5(1):49 52.3 魏宗舒等.概率论与数理统计教程 M ,北京:高等教育出版社,2004,80.4 任善强,雷鸣.数学模型 M,四川:重庆大学出版社,1996,86 87.5 施庆生,陈晓龙等.?概率论与数理统计?课程的教学改革与实践 J,南京工业大学学报,2004,6(3):94 96.6 李均立.谈课堂教学中学生创新能力的培养 J,高等农业教育,

17、2002,4(3):52 53,90.Cultivation of Application Ability and Educational Reform of?probability and Statistic?CONG Yu-hua et al(Department of Mathematics,Tonghua Teachers College,Tonghua,Jilin 134002)Abstract:According to teaching content and characteristic of probability and statistic,from three aspect

18、s as thepracticability of teaching content,designing examples and the development teaching modeling activity,elaborated how to carry on the educational reform,then cultivated student?s learning interests and ap?plication ability,enhanced classroom teaching quality.Key words:educational reform;application ability;probability statistics?114?