无穷级数复习讲义

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1、考试内容 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet）定理 函数在 上的傅里叶级数 函数在 上的正弦级数和余弦级数 考试要求 1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质

2、及收敛的必要条件。2掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5。了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10掌握 sin x，cos x，ln(1)x及arctan x的麦克劳林（Ma

3、claurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。设 na为一个数列，称1231.nnaaaa为无穷级数.注记 1：但1nna只是一种形式上的记法.只有讨论了收敛性，才有意义.(1)部分和、部分和数列的定义 对任意nN，称数列 na前项和1nnkkSa为级数1kka的部分和.称数列 nS为级数1kka的部分和数列.(2)无穷级数收敛的定义 若级数1kka的部分和数列 nS是收敛的，则称级数1kka是收敛的，并且记 1li

4、mknnkaS.(1)无穷级数收敛的必要条件 I 若无穷级数1nna收敛，则其部分和数列 nS有界.反之不然.事实上，由于1nna收敛，因此，其部分和数列 nS收敛，于是，nS nS有界，nS却未必收敛.例如，级数 111nn部分和数列为11(1)2nnS，nS有界，但 111nn不收敛.例 1.11nn不收敛.事实上，222222log1loglogloglog12log11111.2341111111111111.23456782121221124211111.1.1log24822222nnnnnnnSnnn ()n 于是，nS不收敛，即11nn不收敛.(2)无穷级数收敛的必要条件 II

5、 若1nna收敛，则lim0nna.事实上，假设1nna部分和为，则 nS收敛，记limnnSS，于是，11limlimlimlim0nnnnnnnnnaSSSSSS.但反之结论不成立.例如，虽然1lim0nn，但无穷级数11nn不收敛.(3)无穷级数收敛的必要条件 III 若无穷级数1nna收敛，则对其任意加括号都收敛，而且级数和不变.假设加括号后的级数写为 111222311121212121.nnniiiiiiiiiinaaaaaaaaaaaa这里，00i.则其部分和为nniSS.由于1nna收敛，于是，nS收敛，于是，其任意子列 niS收敛，且收敛值与 nS的一样，即级数11121.n

6、nniiinaaa收敛，且111211.nnniiinnnaaaa.(4)无穷级数收敛的充分必要条件 I 无穷级数1nna收敛当且仅当lim0nna且2nS(或21nS)收敛.必要性是显然的.至于充分性，我们利用了这样一个事实：数列 na收敛当且仅当221limlimnnnnaa.现在，2nS收敛了，而2122nnnSSa，而20nan，于是，212limlimnnnnSS.故 nS21nS收敛，也是同理的.(5)无穷级数收敛的充分必要条件 II 无穷级数1nna收敛当且仅当lim0nna且2121nnnaa收敛.或者说2211nnnaa也可以.必要性是显然的.至于充分性，若2121nnnaa

7、收敛，则其部分和数列 2121nkkkaa是收敛的，但21221nkknkaaS，因此，2nSlim0nna，因此，由(4)的结论，无穷级数1nna2211nnnaa收敛，则其部分和数列 2211nkkkaa21221121111nnkkknkkaaaaSa，因此，21nS也lim0nna，因此，由(4)，无穷级数1nna收敛.(1)若无穷级数1nna和1nnb收敛，则1nnnab也收敛，且 111nnnnnnnabab.事实上，假设1nna的部分和为，1nnb的部分和为，1nnnab部分和为，则显然有nnnCAB.由于1nna收敛，因此，limnnA，limnnB存在.于是，limnnC存在

8、，且limlimlimnnnnnnCAB，即1nnnab收敛，且111nnnnnnnabab.(2)设常数0c，则1nnca收敛性与1nna相同，且若1nna收敛，则11nnnncaca.1.正项级数的定义 每一项都非负的级数称为正项级数.正项级数收敛当且仅当其部分和数列有界.事实上，若1nna收敛，则其部分和 nS收敛，因此，nS有界，这是容易知道的。另一方面，nS是一个单调不减的数列，如果 nS有界，则 nS有极限，即1nna是收敛的。及其极限形式(1)比较判别法 设1nna，1nnb以及正整数，使得当nN，总有nnacb.若1nnb收敛，则1nna收敛.事实上，我们假设1nna的部分和为

9、，1nnb的部分和为，则对任意nN，1111111111NnNnNNNnNNnkkkkkkkkkknkk Nkk Nkkkk NkkAaaacbacbcbcbacbcB若1nnb收敛，则 nB有界，于是，nA有界。于是，1nna收敛.(2)比较判别法的极限形式 设1nna和1nnblimnnnalb.当0l，若1nnb收敛，则1nna0l ，则1nna与1nnbl ，若1nna收敛，则 1nnb收敛.事实上，若0l，存在一个0N，当nN，有1nnab，即nnab.由比较判别法，若1nnb收敛，则1nna0l ，则存在一个0N，使得当nN，由1322nnallb，即1322nnnlbalb.若1

10、nnb收敛，由比较判别法，1nna1nna收敛，由比较判别法，1nnb收敛.若l ，则lim0nnnba.则由1nna收敛，1nnb收敛.及其极限形式(1)假设1nna0N 和01r，使得当nN，有1nnara，则1nna1r 和0N，使得当nN，有1nnara，则1nna发散.事实上，若01r，当1nN，有 2231122331.kn Nnnnnnnn kNarar rar arrar ar ara 由于01r，因此，级数11n Nnr是收敛的.由比较判别法，级数1nna收敛.若1r，当1nN，类似地，有11n NnNara.由于1r，因此，级数11n Nnr是发散的.由比较判别法，级数1n

11、na是发散的.(2)比较判别法的极限形式 设1nna1limnnnala.若1l，则1nna1l，则1nna1l，此法失效.事实上，若1l，任取1l(例如12l)，则存在一个0N，当nN，有1nnaa.由于01，由比值判别法，1nna1l，任取1l(例如12l)，则存在一个0N，当nN有，有11nnaa.由比值判别法，1nna1l，取1nan，则1lim1nnnaa，但级数1nna21nan，则1lim1nnnaa21111(1)1nn nnn，1n，而21111(1)1nn nnn，2111111nkkkn，因此，211kn1l，此法失效了.备注：比较判别法及其极限形式也适用于任意项级数.这

12、不难从证明过程中看出.这时候，表述应该相应叙述如下：假设数列 na满足1limnnnala.若1l，则1nna收敛(事实上，它还绝对收敛).若1l，则1nna1l，此法失效.事实上，若1lim1nnnala，按照正项级数的比较判别法，级数1nna是收敛的，由于0,22nnnnnaaaaa，因此，级数12nnnaa与12nnnaa收敛.于是，1122nnnnnnnaaaaa收敛.若1l，对任意1l，总有常数0N，使得当nN，有1nnaa.这样，当nN，有21121.n NnnnNaaaa，于是，na 0.这样，级数1nna是发散的.若1l，道理同上.型 7。1 判定数项级数的敛散性 1。（02,

13、3）设0nu，且1limnnun，则级数)11()1(11nnnuu (A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)收敛性不能判定 2。（04,4）设1nna为正项级数，下列结论中正确的是 (A)若nnnalim=0，则级数1nna收敛。（B）若存在非零常数，使得nnnalim，则级数1nna发散。(C)若级数1nna收敛，则0lim2nnan。3。（06,4）若级数1nna收敛，则级数（A）1nna收敛。（B）1(1)nnna收敛。（C）11nnna a收敛。（D）112nnnaa收敛。4。（09,4）设有两个数列 ,nnab，若lim0nna，则（A）当1nnb收敛时，1nnna b收

14、敛。（B）当1nnb发散时，1nnna b发散。(C)当1nnb收敛时，221nnna b收敛。(D)当1nnb发散时，221nnna b发散。题型 7。2 证明数项级数的敛散性 5。题型 7。3 求幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域 6。（08,4）已知幂级数02nnnax在0 x 处收敛，在4x 处发散，则幂级数03nnnax的收敛域为。题型 7。4 求幂级数的和函数 7。（02,7）验证函数03)!3()(nnnxxy（x）满足微分方程xeyyy；求幂级数03)!3()(nnnxxy的和函数 8。（05,12）求幂级数121)12(11()1(nnnxnn的收敛区间与和函数 f(x)9。

15、（07,10）设幂级数0nnna x在(,)内收敛，其和函数 y(x)满足 240,(0)0,(0)1.yxyyyy(I)证明：22,1,2,;1nnaa nn(II)求 y(x)的表达式。10。（10,10）求幂级数121(1)21nnnxn的收敛域及和函数。题型 7。5 求数项级数的和 11。（09，9）设为曲线nyx与11,2,.nyxn所围成区域的面积，记 122111,nnnnSa Sa，求与的值。题型 7。6 求函数的幂级数展开式 12。（01,8）设)(xf=001arctan21xxxxx将)(xf展开成的幂级数，并求1241)1(nnn的和 13。（03,12）将函数xxxf2121arctan)(展开成 x的幂级数，并求级数012)1(nnn的和。14。（06,12）将函数 22xf xxx展开成 x的幂级数。题型 7。7 傅里叶级数 15。（03,4）设)(cos02xnxaxnn，则=1 。16。（08,11）21(0)f xxx，用余弦级数展开，并求 1211nnn的和。