有理数混合运算的方法技巧

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1、.有理数混合运算的方法技巧有理数混合运算的方法技巧一、有理数混合运算的原则一、有理数混合运算的原则有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于创造

2、条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，复杂的有理数运算，要善于观察，要善于观察，分析，分析，类比与联想，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算从中找出规律，再运用运算律进行计算.二、理解运算顺序二、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序：有理数混合运算的运算顺序：从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键算顺序是正确解题的关键例例 1 1：3 350502 2(2 21 1 5 5)1 1解：解：原式原式=3=3

3、50504 4(1 1)1 1 (先算先算5 5乘方乘方)1 1 =3 3 5050 1 1 (化除为乘化除为乘)1 14 4 5 5=可编辑范本.1 11 15 51 13 3 5050 1 1 3 3 1 1 4 45 52 22 2符号，再算绝对值符号，再算绝对值)(先定先定从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的算中括号里的，最后算大括号里的.例例2 2：计计算算：1 1 2 2 1 1 1 1 0 0.5 5 3 3 2 2 3 3 解解原原 式式 1 1 1 1 1 1 6 6 2 2 9 9=1 1 1 1

4、 1 1 2 2 9 9=1 1 5 5 7 7 1 1 7 7 7 7 6 6 6 66 66 6 也也可可这这样样来来算算：解解原原式式1 1 1 1 1 1 6 6 2 2 9 9 1 1 7 7 7 7=6 6 6 6。7 7 7 7 8 8 3 37 71 1 从左向右：同级从左向右：同级 4 48 81212 8 8 3 3 运运算，按照从左至右的顺序进行；算，按照从左至右的顺序进行；例例 3 3：计算：计算：解解 424221211414 7 7 8 8 2424 2424 2424 8 8 3 3 可编辑范本原原式式.788=2473=三、应用四个原则：三、应用四个原则：1 1

5、8 8 3 33 33 3。1 1、整体性原则：、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；行约分；加减混合运算按正负数分类，加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。2 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。法，如五个运算律的运用。3 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口、口算原则：在每

6、一步的计算中，都尽量运用口算，算，口算是提高运算率的重要方法之一，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。有助于培养反应能力和自信心。4 4、分段同时性原则：、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它对一个算式，一般可以将它分成若干小段，分成若干小段，同时分别进行运算。同时分别进行运算。如何分段呢如何分段呢?主要主要有：有：(1)(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低

7、除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和可编辑范本.把算式进行分段，把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行

8、有理数混合运算行之有效的方法是进行有理数混合运算行之有效的方法(2)(2)括号分段法，括号分段法，有括号的应先算括号里面的。有括号的应先算括号里面的。在在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。(3)(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算算式分成几段，同时进行计算(4)(4)分数线分段法，分分数线

9、分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。运算。1 14 4例例 2 2 计算：计算：-0.25-0.25(2 2)-(-1)-(-1)101101(-2)(-2)2 2(-3)(-3)2 21 1解：原式解：原式=161616-(-1)+4916-(-1)+492 2=-1+1+36=36=-1+1+36=36说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。这三段分别计算出来的结果再相加。四、掌握运算技巧四、掌握运算技巧（1 1）、归类组合：归类组合：将不

10、同类数将不同类数(如分母相同或易于通分如分母相同或易于通分的数的数)分别组合；将同类数分别组合；将同类数(如正数或负数如正数或负数)归类计算。归类计算。（2 2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零可编辑范本.的数（如互为相反数）相消。的数（如互为相反数）相消。（3 3）、分解：分解：将一个数分解成几个数和的形式将一个数分解成几个数和的形式,或分解或分解为它的因数相乘的形式。为它的因数相乘的形式。（4 4）、约简：约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。（5 5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序、倒序相加

11、：利用运算律，改变运算顺序,简化计简化计算。算。例例计算计算 2+4+6+20002+4+6+2000分析：将整个式子记作分析：将整个式子记作 S=2+4+1998+2000S=2+4+1998+2000将这将这个式子反序写出个式子反序写出 得得 S=2000+1998+4+2S=2000+1998+4+2，两式相加，两式相加，再作分组计算再作分组计算解：解：(1)(1)令令 S=2S=2 十十 4+1998+20004+1998+2000，反序写出，有反序写出，有 S=2000+1998+4+2S=2000+1998+4+2，两两式式相相加加，有有2S=(2+2000)+(4+1998)+(

12、1998+4)+(2000+2)2S=(2+2000)+(4+1998)+(1998+4)+(2000+2)=2002+2002+2002=2002+2002+2002l000l000 个个 20022002=20021000=2002000=20021000=2002000S=1001000S=1001000（6 6）、正逆用运算律：正难则反、正逆用运算律：正难则反,逆用运算定律以简逆用运算定律以简化计算。化计算。乘法分配律乘法分配律a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计在运算中可简化计算而反过来，算而反过来，ab+ac=a(b+c)ab+ac=a(b+c)同样成

13、立，有时逆用也同样成立，有时逆用也可编辑范本.可使运算简便可使运算简便.例例 3 3 计算：计算：16161 12 23 311112 2(1)-32(1)-322525(-84)+2.5(-84)+2.5+(+(2 2+3 34 41212)24)243 311113 313133 31414(2)(2)(2 2)()(1515)2 2(1515)2 2(1515)16161616分析分析：-32-322525化成假分数较繁，化成假分数较繁，将其写成将其写成(-32(-322525)1 12 23 31111的形式的形式对对(2 2+3 34 41212)2424，则以使用乘法分配则以使用乘

14、法分配律更为筒捷律更为筒捷,进行有理数混合运算时，进行有理数混合运算时，要注意灵活运用要注意灵活运用运算律，以达到筒化运算的目的运算律，以达到筒化运算的目的16161 11 12 23 3解：解：（1 1）原式原式=(-32=(-322525)(-(-3232)+6.25)+6.25+(+(2 2+3 34 411111212)24)241 1=1+=1+5050+6.25+12+16-18-22+6.25+12+16-18-22=1.02+6.25-12=1.02+6.25-12=4.734.733 311113 313133 31414（2 2）原式）原式=2 215152 215152

15、215153 3111113131414=2 2（151515151515）3 31010=2 21515=1=1五、理解转化的思想方法五、理解转化的思想方法可编辑范本.有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。有理数的加减法互为逆运算，有了相反数的概念以有理数的加减法互为逆运算，有了相反数的概念以后，加法和减法运算都可以统一为加法运算其关键后，加法和减法运算都可以统一为加法运算其关键是注意两个变：是注意两个变：(1)(1)变减号为加号；变减号为加号；(2)(2)变减数为其相反变减数为其相反数。另外被减数与减数的位置不变例如（数。另外被减数与减数的位置

16、不变例如（-12-12）-(+18)+(-20)-(-14)-(+18)+(-20)-(-14)有理数的乘除也互为逆运算，有理数的乘除也互为逆运算，有了倒数的概念后，有了倒数的概念后，有理数的除法可以转化为乘法。转化的法则是：除以有理数的除法可以转化为乘法。转化的法则是：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。一个数，等于乘以这个数的倒数。乘方运算，乘方运算，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，进而得到乘方的结果进而得到乘方的结果(幂幂)。因此在运算时应把握“遇减化加遇除变乘，乘因此在运算时应把握“遇减化加遇除变乘，乘方化乘”方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些

17、混乱，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。总之，要达到转化这个目的，起决定作用的是符总之，要达到转化这个目的，起决定作用的是符号和绝对值。把我们所学的有理数运算概括起来。可号和绝对值。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在归纳为三个转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将

18、乘方运算转化为积的形转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数式若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了的运算就能准确、快速地解决了可编辑范本.例计算：例计算：（1 1）(-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9)(-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9)1 11 1(2)(2)(-2(-22 2)1 14 4(-4)(-4)1 12 2(3)2(3)2+(2-5)+(2-5)3 31-(-5)1-(-5)2 2 解：解：（1 1）原式）原式=(-6)+(-5)+(-9)+(-4)+(+9)=(-6)+(-5

19、)+(-9)+(-4)+(+9)=-6-5-9-4+9=-15=-6-5-9-4+9=-155 54 4(2)(2)原式原式=(=(2 2)5 5(-4)=8(-4)=81 1(3)(3)原式原式=4+(-3)=4+(-3)3 3(-24)(-24)=4+24=4+24=28=28六、会用三个概念的性质六、会用三个概念的性质如果如果 a a b b 互为相反数，互为相反数，那么那么 a+b=Oa+b=O，a=-ba=-b；如果如果 c c，d d 互为倒数，那么互为倒数，那么 cd=lcd=l，c=1c=1/d/d；如果；如果|x|=a(a|x|=a(a0)0)，那，那么么 x=ax=a 或或

20、-a.-a.例例 6 6已知已知 a a、b b 互为相反数，互为相反数，c c、d d 互为倒数，互为倒数，x x 的的绝对值等于绝对值等于 2 2，试求，试求 x x2 2-(a+b+cd)x+(a+b)-(a+b+cd)x+(a+b)20002000+(-cd)+(-cd)20012001的的值值解：解：a a、b b 互为相反数，互为相反数，a+b=0a+b=0；又又c c、d d 互为倒数，互为倒数，cd=lcd=l；|x|=2,|x|=2,x=2x=2 或或-2-2。可编辑范本.x x2 2-(a+b+cd)x+(a+b)-(a+b+cd)x+(a+b)20002000+(-cd)+(-cd)20012001=x=x2 2-x-1-x-1当当 x=2x=2 时时,原式原式=x=x2 2-x-1=4-2-1=1-x-1=4-2-1=1当当 x=x=一一 2 2，原式，原式=x=x2 2-x-1=4-(-2)-1=5-x-1=4-(-2)-1=5可编辑范本