第十二章第75讲

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1、 第十二章 第 75 讲 第 2 页 第 75 讲 不等式选讲 考试要求 1.不等式的基本性质(B 级要求)；2.|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c 型不等式的解法(B 级要求)；3.不等式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法)(B 级要求)；4.算术几何平均不等式与柯西不等式(A 级要求)；5.利用不等式求最大(小)值(B 级要求)；6.运用数学归纳法证明不等式(B 级要求).诊 断 自 测 1.求不等式|x1|x5|2 的解集.解 当 x1 时，原不等式可化为 1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当 1x5 时，原不等式可化为 x1(5x)2，x4，1x4，当 x5 时，

2、原不等式可化为 x1(x5)0，y0，若不等式1x1yxy0 恒成立，求实数 的最小值.解 x0，y0，原不等式可化为(1x1y)(xy)2yxxy.2yxxy22yxxy4，当且仅当 xy 时等号成立.1x1y（xy）min4，即4，4.故 的最小值为4.知 识 梳 理 1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集：不等式 a0 a0 a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc 或 axbc；(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利

3、用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果 a，b 是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立.(2)如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.3.不等式证明的方法(1)比较法：第 4 页 作差比较法：知道 abab0，ababb 只要证明 ab0 即可，这种方法称为作差比较法.作商比较法：由 ab0ab1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时，要证明 ab，只要证明a

4、b1即可，这种方法称为作商比较法.(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法.(4)反证法和放缩法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立

5、，这种方法叫做反证法.在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.(5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：证明当 nn0时命题成立；假设当 nk(kN*，且 kn0)时命题成立，证明 nk1 时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.4.几个常用基本不等式 第 5 页(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2

6、)(c2d2)(acbd)2(当且仅当 adbc 时，等号成立).柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，等号当且仅当，共线时成立.柯 西 不 等 式 的 三 角 不 等 式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3 R，则（x1x2）2（y1y2）2（x2x3）2（y2y3）2（x1x3）2（y1y3）2.柯西不等式的一般形式：设 n 为大于 1 的自然数，ai，bi(i1，2，n)为实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，等号当且仅当b1a1b2a2bnan时成立(当 ai0 时，约定 bi0，i1，2，n).(2)算术几何平均不等式

7、若 a1，a2，an为正数，则a1a2annna1a2an，当且仅当 a1a2an时，等号成立.考点一 绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值【例 11】(2019全国卷)已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.解(1)当 a1 时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当1x0，解得23x0，解得 1x1 的解集为x23x2.(2)由题设可得，f(x)x12a，xa.第 6 页 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围

8、成的三角形的三个顶点分别为 A2a13，0，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC 的面积为23(a1)2.由题设得23(a1)26，故 a2.所以 a 的取值范围为(2，).规律方法 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设 ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点 x1a 和 x2b 的距离之和大于 c 的全体；(3)图象法：作出函数 y1|xa|xb|和 y2c

9、的图象，结合图象求解.【例 12】(1)对任意 x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值.(2)对于实数 x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值为 3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为 5.规律方法 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法.考点二 绝对值

10、不等式的综合应用 第 7 页【例 2】(2019全国卷)已知函数 f(x)x12x12，M 为不等式 f(x)2 的解集.(1)求 M；(2)证明：当 a，bM 时，|ab|1ab|.(1)解 f(x)2x，x12，1，12x12，2x，x12.当 x12时，由 f(x)2 得2x1，所以1x12；当12x12时，f(x)2；当 x12时，由 f(x)2 得 2x2，解得 x1，所以12x1.所以 f(x)2 的解集 Mx|1x1.(2)证明 由(1)知，当 a，bM 时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|

11、1 时，等价于 a1a3，解得 a2.所以实数 a 的取值范围是2，).考点三 证明不等式【例 31】若 a，bR，求证：|ab|1|ab|a|1|a|b|1|b|.证明 当|ab|0 时，不等式显然成立.当|ab|0 时，由 0|ab|a|b|1|ab|1|a|b|，所以|ab|1|ab|11|ab|1 111|a|b|a|b|1|a|b|a|1|a|b|b|1|a|b|a|1|a|b|1|b|.规律方法(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：变换分式的分子和分母，如1k21k（k1），1k2kk1.上面不等式中 kN*，k1；利用函数的单调性；第 9 页

12、真分数性质“若 0a0，则abambm”.(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.【例 32】设 a，b，c0，且 abbcca1.求证：(1)abc 3；(2)abcbaccab 3(a b c).证明(1)要证 abc 3，由于 a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca).即证：a2b2c2abbcca.而这可以由 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2(当且仅当 abc时等号成立)证得.原不等式成立.(2)abcbaccababcabc

13、.由于(1)中已证 abc 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc a b c.即证 a bcb acc ab1，即证 a bcb acc ababbcca.而 a bcabacabac2，b acabbc2，c abbcac2.a bcb acc ababbcca 当且仅当abc33时等号成立.原不等式成立.第 10 页 规律方法 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.【训练 2】设 n 是正整数，求证：121n11n212nn(k1，2，n)，得 12

14、n1nk1n.当 k1 时，12n1n11n；当 k2 时，12n1n21n；当 kn 时，12n1nn1n，12n2n1n11n212n0，求证：2a3b32ab2a2b.证明 2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab).因为 ab0，所以 ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即 2a3b32ab2a2b.3.(2019江苏卷)已知 x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明 因为 x0，y0，所以 1xy233xy20，第 12 页 1x2y33x2y0，故(1xy2)(1x2y)33xy2

15、33x2y9xy.4.(2019徐州模拟)设 a、b、c 是正实数，且 abc9，求2a2b2c的最小值.解(abc)2a2b2c(a)2(b)2(c)2 2a22b22c2 a2a b2b c2c218，当且仅当 abc3 时取等号.2a2b2c2.2a2b2c的最小值为 2.5.(一题多解)已知 a，b，c 均为正实数，且互不相等，且 abc1，求证：a b c1a1b1c.证明 法一 a，b，c 均为正实数，且互不相等，且 abc1，a b c1bc1ca1ab1b1c21c1a21a1b21a1b1c.a b c1a1b1c.法二 1a1b21ab2 c；1b1c21bc2 a；1c1

16、a21ac2 b.以上三式相加，得1a1b1c a b c.又a，b，c 互不相等，1a1b1c a b c.法三 a，b，c 是不等正数，且 abc1，1a1b1cbccaabbcca2caab2abbc2 abc2 a2bc ab2c a b c.a b c1a1b1c.第 13 页 6.设 x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z 14，求 xyz.解 由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此 x2y3z 14.因为 x2y3z 14，所以 xy2z3，解得 x1414，y147，z3 1414，于是 xyz3 147.7.(

17、2019南通二模)设 x，y，z 均为正实数，且 xyz1，求证：1x3y1y3z1z3xxyyzzx.证明 因为 x，y，z 均为正实数，且 xyz1，所以1x3yxy2x2yz，1y3zyz2y2xz，1z3xxz2z2xy，当且仅当 xy1 时取等号.所以1x3y1y3z1z3xxyyzzx.8.(2019苏州模拟)已知 a，b，cR，且 2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值.解 由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2499，当且仅

18、当a12b22c3 时等号成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是499.二、选做题 9.已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)1，且当 xa2，12时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围.解(1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.第 14 页 设函数 y|2x1|2x2|x3，则 y5x，x1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当 x(0，2)时，y0，原不等式的解集是x|0 x1，则a212，f(x)|2x1|2xa|4x1a，xa2，a1，a2x12，4xa1，x12.当 xa2，12时，f(x)a1，即 a1x3 在 xa2，12上恒成立.a1a23，即 a43，a 的取值范围为1，43.10.(1)关于 x 的不等式|x3|x4|a 的解集不是空集，求 a 的取值范围；(2)设 x，y，zR，且x216y25z241，求 xyz 的取值范围.解(1)|x3|x4|(x3)(x4)|1，且|x3|x4|1，即 a 的取值范围是(1，).(2)由柯西不等式，得 42(5)222x42y52z22(xyz)2，第 15 页 即 251(xyz)2.5|xyz|，5xyz5.xyz 的取值范围是5，5.