主动操纵道理课件根轨迹法

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1、2/20/20231l4.1 根轨迹法的概念根轨迹法的概念l4.2 根轨迹方程根轨迹方程l4.3 常规根轨迹及其绘制常规根轨迹及其绘制l4.4 广义根轨迹及其绘制广义根轨迹及其绘制l4.5 按根轨迹分析控制系统按根轨迹分析控制系统l4.6 用用MATLAB绘制根轨迹绘制根轨迹2/20/20232-10ImK:0 24112,1KS特征根：02KssK8141211s2sRe特征方程：KssKs2)(闭环传递函数：001146.0854.05.05.05.05.0j5.05.0jj5.0j5.0 _)(sR)(sC)1(ssK 对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。4.1 根轨迹

2、法的概念2/20/20233 开环系统的某一参数从0变为 时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹根轨迹法：Evns提出1948年的一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法；是分析与设计线性定常控制系统的图解方法。2/20/20234动态性能：-10ImRe-0.5K=0.25稳定性：根轨迹若越过虚轴进入s右半平面，与虚轴交点处的k k即为临界增益。稳态性能：根据坐标原点处的根数，确定系统的型次，同时可以确定对应的静态误差系数。特征方程的根特征方程的根 运动模态运动模态 系统动态响应（稳定性、系统性能）系统动态响应（稳定性、系统性能）开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹

3、上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。过阻尼 0k0.25单位阶跃的响应为非周期过程。临界阻尼 k=0.25单位阶跃响应为非周期过程，响应过渡较快。)1()()(ssKsHsG2/20/20235设控制系统如图所示设控制系统如图所示)()(1)()(sHsGsGs)(sG)(sH)(sC)(sRhjjljjHpszsKsH11*)()()(qiifiiGGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1()12)(1()(22121*TTKKGG设：设：GK*GK*HK ：前向通路增

4、益：前向通路增益 ：前向通道根轨迹增益：前向通道根轨迹增益 ：反馈通道根轨迹增益：反馈通道根轨迹增益2/20/20236*111111*,)()()()()()()()(HGgnjjmiighjjqiiljjfiiHGKKKlfmhqnpszsKpspszszsKKsHsGmiignjjhjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1111*)()()()()()(1)()(qiifiiGpszsKsG11*)()()(hjjljjHpszsKsH11*)()()(2/20/20237miignjjhjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1111*)()()()()()(1)()(结

5、论：1闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。2闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反响通 道传递函数的极点所组成。3闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。*KqiifiiGpszsKsG11*)()()(hjjljjHpszsKsH11*)()()(根轨迹法的任务：由的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。njjmiigpszsKsHsG11)()()()(2/20/20238由闭环传递函数由闭环传递函数)()(1)()(sHsGsGs根轨迹方程GH1)()(0)()(111njjmiigpszsKsHsG特征方程特征方程izjpgK根轨迹增益根轨迹增益

6、开环零点开环零点开环极点开环极点常数常数 0gK常数常数是什么是什么？考虑：考虑：s复平面上的点，特征方程的根，闭环极点4.2 根轨迹方程2/20/20239miinjjgzspsK11模值条件（幅值条件）：模值条件（幅值条件）：)12(111111)()(jjnjjmiignjjmiigeepszsKpszsK根轨迹方程实质上为一向量方程根轨迹方程实质上为一向量方程),2,1,0(,)12()()(11njjmiipszs相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）开环有限零点到s的矢量辐角 开环极点到s的矢量辐角，逆时针为正 2/20/202310模值条件与

7、相角条件的应用2.612.262.112.612.07292.49o-66.27o-78.8o-127.53o=180o-1-22/20/202311S1=1.5+j1.2553Lik*=0.264ik*=0.266180.3o2/20/202312根轨迹上的点一定满足相角条件，且满 足相角条件的点一定在根轨迹上，即相 角条件是确定根轨迹的重要条件。只有当需要确定根轨迹上各点的根轨迹 增益时，才需使用模值条件。绘制根轨迹只需使用相角条件。2/20/202313l根轨迹的起点与终点；l根轨迹的条数、连续性和对称性；l实轴上的根轨迹；l根轨迹的渐近线；l根轨迹在实轴上的别离点；l根轨迹的起始角和终

8、止角；l根轨迹与虚轴的交点；l根轨迹的走向法那么。通常，我们把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹或一般根轨迹。绘制普通根轨迹的根本规那么主要有8条：4.3 常规根轨迹及其绘制2/20/202314l 根轨迹180)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC_)(sH)(sG特征方程：0)()(1)(sHsGsF)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig令根轨迹方程：0)()(sNKsDg1)()(sHsG辐值条件：辐值条件：1,0,1211njjmiipszs辐角条件：辐角条件：由相角条件（由相角条件（条件）绘制出的根轨迹，称条件）绘制出的根

9、轨迹，称 根轨根轨迹迹。变化参数为根轨迹增益变化参数为根轨迹增益 。)12(180gK2/20/202315规那么1：根轨迹的起点和终点jnjjpsps10)(0gK 0gK又从又从0)()(111miinjjgzspsKimiigzszsK10)(0)()(1sHsG证明：0)()(11miignjjzsKps)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig根轨迹方程：根轨迹方程：2/20/202316l 下面分三种情况讨论l 1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。2当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极

10、点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。0)()(11miignjjzsKps根轨迹方程：miinjjgzspsK11gKsmn2/20/202317 在实际系统通常是 ，那么还有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远无穷零点。mn)(mn)(mn0gKgK0mn有两个无穷远处的终点有两个无穷远处的终点0mn0gKgK有一个无穷远处的起点有一个无穷远处的起点2/20/202318l结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点 ；如果开环极点数n大于开

11、环零点数m，那么有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，那么有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。0gKgK2/20/202319l结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数(n条 。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。规那么2：根轨迹的分支数、连续性和对称性gK 系统开环根轨迹增益系统开环根轨迹增益(实变量）与复变量实变量）与复变量s s有一一对应的关有一一对应的关系，当系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量变量s s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是在平面上的变化也

12、是连续的，因此，根轨迹是n n条连续的条连续的曲线。曲线。由于实际的物理系统的参数都是实数，假设它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。时）（mn 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在系统特征方程的根（即闭环极点）在S S平面上的分布，那么，根平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。0)()(11miignjjzsKps根轨迹方程：根轨迹方程：2/20/202320l结论：假设实轴上某线段右侧的开环

13、零、极点的个数之和为奇数，那么该线段是实轴上的根轨迹。规那么3：实轴上的根轨迹选择选择s so o作为试验点。作为试验点。开环极点到开环极点到s s0 0点的向量的相角为点的向量的相角为开环零点到开环零点到s s0 0点的向量的相角为点的向量的相角为 )5,4,3,2,1(jj)4,3,2,1(ii4151)12(ijji实轴上，实轴上，s s0 0点左侧：点左侧：o032实轴上，实轴上，s s0 0点右侧：点右侧：211复平面上：复平面上：243254),2,1,0(,)12()()(11njjmiipszsp1p2p3 p5p4z1 z2s0 z4z3j03421154322/20/202

14、321系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。22)3s)(2s(s)6s)(4s)(1s(K)s(G-1，-2 右侧实零、极点数=3。-4，-6 右侧实零、极点数=7。654321oj平面s2/20/202322规那么4：根轨迹的渐近线l 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。1,0,1211njjmiipszs则由则由辐角条件辐角条件有：有：1,0,12nmmn)12(假设在无穷远处特征根假

15、设在无穷远处特征根k，S平面上所有零、极点到平面上所有零、极点到k的矢量幅角都相等，为的矢量幅角都相等，为2/20/2023231)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig由由辐值条件辐值条件：gnjnjjnjnmimiimimjnjimiKpspszszspszssDsN1)()()()()()()()(11111111kjikpzs时，当gnjmnmiijmnmnkKszpss1)(1)(1111假设在无穷远处特征根假设在无穷远处特征根k，S平面上所有零、极点到平面上所有零、极点到k的矢量长度都相等的矢量长度都相等即相当于：所有开环零、极点都汇集在一起，其位置

16、为即相当于：所有开环零、极点都汇集在一起，其位置为k，即渐进线的交点，即渐进线的交点mnzpnjmiijk11)()(2/20/202324mn)12(mnzpnjmiijk11)()(与实轴夹角与实轴交点210，结论：根轨迹的渐近线 n-m条注注：1.2.与实轴交点必定在实轴上与实轴交点必定在实轴上ooooomnmnmn135,454180,6039023.计算与实轴交点时，只考虑开环零、极点的实部即可计算与实轴交点时，只考虑开环零、极点的实部即可2/20/202325)22)(4()1()(2sssssKsGg例：设单位负反响系统的前向传递函数为111,4,014321zjpjppp，2有

17、4条根轨迹的分支，对称于实轴1解：（4）有）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线条根轨迹渐近线ooookmnk180,6014180)12(180)12(67.114)1()1140()()(11jjmnzpnjmiijk与实轴夹角与实轴夹角与实轴交点与实轴交点-4-3-2-10（3）实轴上的根轨迹：）实轴上的根轨迹：），），（，（01460180-602/20/202326 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为别离点会合点。规那么5：根轨迹的别离点)1()()(ssKsHsG-10ImRe-0.5K=0.25 当系统开环增益当系统开环增益K 由零到无穷大由零到无穷大变

18、化时，两条根轨迹先在实轴上相向变化时，两条根轨迹先在实轴上相向运动运动,相遇在点相遇在点(-0.5,j0)，当，当 K 0.25后，离开实轴进入后，离开实轴进入s平面，且离开实轴平面，且离开实轴时，根轨迹与实轴时，根轨迹与实轴正交正交。我们称该点。我们称该点为根轨迹的分离点。为根轨迹的分离点。实际上实际上,分离点是分离点是系统特征方程的系统特征方程的等实根等实根。一般，常见一般，常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。轨迹分支的分离点。2/20/202327l假设根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间其中一个可以是无限极点，那么在这两个极点之间至少

19、存在一个别离点；l假设根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间其中一个可以是无限零点，那么在这两个零点之间也至少有一个别离点。l别离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，显然，复平面上的别离点说明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在。j-4-3-2-101d2d分离点复平面上的别离点 j4p3p1p2pAB0s2/20/202328 根轨迹的别离点，实质上就是系统特征方程的等实根(实轴上的别离点)或等共轭复根(复平面上的别离点)。)()(1)()(sHsGsWs特征方程：0)()(1)(sHsGsF)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig令根轨迹方程：0

20、)()(sNKsDg)(sR)(sC_)(sH)(sG0)()(0)()()(0)()(0)(sNKsDsFsNsDKsNKsDsFggg由0)()()()(sNsDsNsD分离点方程分离点方程：结论结论1：2/20/202329l别离点既为根轨迹的交点，它必为闭环特征方程的重根。故可由特征方程和对特征方程求导联解得出。由根轨迹方程：1)()(11njjmiigpszsK0)()(11miignjjzsKps所以闭环特征方程式为：miignjjzsKps11)()(或12/20/202330miignjjzsdsdKpsdsd11)()(）相除得：）、（式（21对上式求导可得：2miimiin

21、jjnjjzszsdsdpspsdsd1111)()()()(dszsddspsdmiinjj11)(ln)(ln32/20/202331miimiinjjnjjzszspsps1111)ln()(ln)ln()(ln由于式3变为：miinjjdszsddspsd11)ln()ln(miinjjzsps11114从上式中解出s,即为别离点d。2/20/202332gjnjimiKpszssDsN1)()()()(11系统的特征方程可写成系统的特征方程可写成gimijnjKzsps)()(11分离点方程分离点方程0)()(11imijnjzspsdsd 对于一个n阶系统，可能得到n-1个根，只有

22、那些在根轨迹上的解才是根轨迹的别离点。假设在这些根中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的别离点.因此，用观察法可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。n1im1j11jipdzd分离点方程的另一种形式：分离点方程的另一种形式：当开环系统无有限零点时，则分离点方程为当开环系统无有限零点时，则分离点方程为01n1ijpd结论结论3：分离点也是分离点也是 取最值的点取最值的点gK(注：试探法的依据注：试探法的依据)结论结论2：2/20/202333别离角：结论结论3：当有当有2条根轨迹分支进入并离开分离点时，分

23、离角为：条根轨迹分支进入并离开分离点时，分离角为：l)12(22 时，分离角：l别离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角2/20/2023343)2)(s1)(s(sH(s)G(s)gK例例：绘制单位负反馈系统的根轨迹绘制单位负反馈系统的根轨迹2根轨迹分支数为3条，有三个无穷远的零点。（3）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹 1,2,3,（1）3,2,1321ppp解：解：（4）渐近线：）渐近线：0180,603/)12(203)0()321(k条3mn0312111ddd0111232dd1.421d)2.58(2舍d（5）分离点）分离点方法一：方法一：1)()3)(2)(1()(0)()()(

24、)(sNssssDsNsDsNsD方法二：方法二：gg-3-2-10jsKK2/20/2023352根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（3）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹0,1,2,3例例：绘制单位负反馈系统的根轨迹绘制单位负反馈系统的根轨迹)3)(2()1(ssssKg)(sR)(sC（1）11z3,2,0321ppp解：解：（4）渐近线：）渐近线：90)13/()12(213)1()320(k条213mn（5）分离点（用试探法求解）分离点（用试探法求解）3121111dddd47.2d0j12347.22/20/202336)3)(2()1(ssssKg)(sR)(sC试探法求解别离点0

25、)3)(2()1(1)(ssssKsFg特征方程：gKssss)1()3)(2(10j2347.2 2,3由分析知分离点一定在由分析知分离点一定在上上-2.5-2.1-2.8-2.6-2.40.4160.1710.2490.390.411gKs-2.5-2.46-2.47-2.48-2.40.4160.418530.418550.41820.411sgK2/20/202337jpzKKsssKsssKsHsGgg125.0)22()2(15.0)15.0()()(2,1122例:设单位负反响系统的传递函数为试绘制系统的根轨迹。0j414.312解：(1)根轨迹分支数为2条，有一个无穷远的零点。

26、(2)实轴上根轨迹实轴上根轨迹2,(3)渐近线：渐近线：01801/)12(条1mn(4)分离点分离点2)(22)(0)()()()(2ssNsssDsNsDsNsD)(586.0414.3024212舍dddd180)12()1()1()2(jsjss(5)由相角条件可以证明复平面上的根轨迹由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为，半径为211112,111tgtgtgjs22222111)2()2(02411)1)(2/()1(1)1/()1()2/(11112tgtgtg2/20/202338规那么6：根轨迹的起始角(出射角)与终

27、止角(入射角)当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？出射角 根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。j3P2P1P0s1p2p-1z2z1p2p1z2z2/20/202339l 对于根轨迹上无限靠近p1的点，由相角条件可得l l 由于点无限靠近 点，)12()p(A)p(A)p(A)z(A13211p11)p(Ap)p(p)p(p)z(p)12(3121111p)(18011mjnijjppzppijiji)(18011mijjnjpzzzzijiji结论：结论

28、：出射角出射角 入射角入射角-sj1z2p3p0A1p)(31pp)(11zp)(21pp 1p2/20/202340例：3213214180op10j2334p212/20/202341 :(S):)5.15.0)(5.15.0)(5.2(j)-2j)(S21.5)(SK(S解迹试绘制系统的概略根轨为设负反馈系统开环传函例jSjSSSkW ,(4)(3)180 (2)-2.5,-,0,-1.5 2,5.1z -2.5p j1.5-0.5p j1.5-0.5p 0p (1)3,214321入射角出射角无分离点一条渐近线实轴上的根轨迹，jz-22/20/202342-1-2108.59059 3

29、7 19 56.5 7937905.10859195.561802p2/20/20234390 121 153 199 63.5 117 5.1491211991535.63117901802）（z2/20/202344-2795.1492/20/202345规那么7：根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根实部为零。这时，用 代入特征方程求得。也可用劳斯判据确定。js 3)2)(s1)(s(sH(s)G(s)gK解：其特征方程是令 并代入特征方程得06s11s6s23gk js0611j6j23gk其虚部和实部方程分别为06601123gk3.311c60gk例：绘

30、制单位负反响系统的根轨迹js1p2p3p-1-2-30gKdgK2/20/202346js1p2p3p-1-2-30)60(3.3gKjgKdgK)60(3.3gK-j2/20/202347例：系统的开环传递函)2)(1()()(sssKsHsGg（3）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹 0,1,2,（1）2,1,0321ppp解：解：（4）渐近线：）渐近线：0180,603/)12(103)0()021(k条3mn2根轨迹分支数为3条，有三个无穷远的零点。（5）分离点）分离点1)()2)(1()(0)()()()(sNssssDsNsDsNsD02632dd42.01d（舍）58.12d-2-10j

31、sggKK02323gjsKjj（6）与虚轴交点）与虚轴交点02323gKsss（舍）0123,22/20/202348（2）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹 0,3（1）jppp1,3,04321，解：解：（3）渐近线：）渐近线：0135,454/)12(4504)0()311(k条4mn例：)22)(3()()(2ssssKsHsGg0j13（4）分离点）分离点 1)()22)(3()(0)()()()(2sNsssssDsNsDsNsD3.2061615423dddd（5）出射角）出射角ooooooptgtgjj6.719021)190(18090)31()1(180113op6.7143.2

32、2/20/2023496与虚轴的交点 运用劳斯判据0685)(0)()(1)(234gKsssssFsHsGsFggggKsKsKssKs0234034252045686581由第一列、第四三行元素为零由第一列、第四三行元素为零16.8025204ggKK由辅助方程由辅助方程095.1016.8)568(2,12jss)22)(3()()(2ssssKsHsGg0j13.23j1.095-j1.0952/20/202350闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向0)()(0)()(111miignjjzsKpssHsG规那么8：根轨迹走向法那么njnlljspmn112nlnllnlnnj

33、njminiimimgjnjnnllmiignjjsssszszsKpspssszsKps111111111111)()()()()()()()()(为闭环特征方程的根为闭环特征方程的根lsminllignjjszKp111)()()(2/20/202351假设开环传递函数的积分环节个数1结论：1假设 n-m2，闭环极点之和=开环极点之和=常数。说明：在某些根轨迹分支闭环极点向左移动，而另一些根轨迹分支闭环极点必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。2对于1型以上包括1型的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。)()()()()(11111minlligminllignjjszKszKp)0

34、(jp2/20/202352（2）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹 0,2（1）jppp1,2,04321，解：解：（3）渐近线：）渐近线：0135,454/)12(104)0()211(k条4mn例：)22)(2()()(2ssssKsHsGg0j12（4）分离点）分离点 1)()22)(3()(0)()()()(2sNsssssDsNsDsNsD013323ddd1321 ，d（5）出射角）出射角0001901354590180ooj0190j（6）与虚轴交点）与虚轴交点0464)(234gKsssssFggggKsKsKssKs023405420544615gKjsksg2,12052/20/

35、202353l有了以上绘制根轨迹的根本法那么，在系统的开环零、极点(开环传递函数)的情况下，利用这些根本法那么，就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定假设干点，就可以绘制出准确的根轨迹。l 绘制根轨迹的一般步骤为：2/20/202354l 根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并将它们标在复平面上；l 确定根轨迹的分支数及趋于无穷远处根轨迹的条数；l 确定实轴上的根轨迹；l 确定根轨迹的别离点(会合点)，并计算别离角；l 计算根轨迹的出射角和入射角；l 确定根轨迹与虚轴的交点；2/20/202355l 大体绘出根轨迹的概略形状

36、；l 利用对称性画出上、下复平面的根轨迹；l 利用闭环特征根之和、之积的性质估计根轨迹的走向；l 利用相角条件试探确定根轨迹上某些点；l 某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一局部时，求出圆心和半径。l 必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。2/20/202356例1 假设系统的结构图为：试绘制系统的概略根轨迹。解：系统开环传递函数为：)15(2.0)1(sssK)(sR)(sC)2.0()1()2.0()1()15(2.0)1()(sssKsssKsssKsGgK2/20/202357KKg11z2.0021pp，1 2.00，开环零点：开环极点：实轴上的根轨迹：渐近线：1条，负实

37、轴方向分离点：8.012.01111dddd分离角：2/3 ,2/画出根轨迹如图所示，在复平面上，有一部分根轨迹为一圆，其圆心为（-1，j0)，半径为8.0R2/20/202358-1sj-21z1p2p2/20/202359 例2 单位负反响系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。解：由系统的开环传递函数得：)121)(131()15.0()(2sssssKsG)22)(3()2()22)(3()2(3)(22sssssKsssssKsGgKKg32/20/202360 开环零点：，开环极点：将它们标注于复平面上；实轴上的根轨迹：渐近线：条21zjppp1304,321，320，31411

38、4)2()1130(11jjmnzpmjjniia3)12()12(kmnka2/20/202361 时，时，时，起始角：根轨迹与虚轴的交点：0k603/a1k2k180a603/5a)(180431113343jjppjpzppjj6.26)906.26135(451802/20/202362系统的闭环特征方程式为：将 代入上式，整理可得：联立求解得：02)6(85234ggKsKsssjs 0)6(5)28(324ggKjK0)6(5028324ggKK00*gK66.12*gK2/20/202363 画出概略根轨迹如下图：-1sj-21z1p2p-33p4pa2/20/202364l3根

39、轨迹的别离点)1()1()(TssKTssKsGgkK)(sR)(sC)s(1 TsKk二阶系统 设二阶系统的结构图如下图。01pTp121有二个开环极点起点 ，。有二个开环无限零点终点0)1()()()()(sTssDsNsNsDTd21（2）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹0,1T（4）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线ooomn902180)21(180TTmnzpmiinjjk2121112mn2/20/202365l二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图，它的开环传递函数为)2.0()1()15(2.0)()(1sssKssasKsGgaK8.0)1(2.0)1/(1)/)1/(2.01

40、,180)12()2.0()1(222111tgtgtgjssss由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一局部，圆心为-1，j0)，半径为8.0)(sR)(sC2/20/202366l 不难发现，由两个开环极点实极点或复数极点和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到别离点的距离为半径的一个圆当开环极点为两个实极点时或圆的一局部当开环极点为一对共轭复数极点时。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。gK0j414.3122/20/202367l二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下

41、图。它的开环传递函数为)(1()1)(1()(asssKTsssKsGgkK4a令别离点0)()()()(sNsDsNsD)(86.2467.021舍dd渐近线3mm0018060，35k与虚轴交点0)4)(1()(gkssssFjs 202040532ggkk)(sR)(sC2/20/202368l二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统的结构图如下图，它的开环传递函数为开环具有零点的三阶系统)()()1()1()(1212psszsKTssTsKsGgiddK渐近线2mn0902)1(1dkTTd4令Tk83TjTR43412,1TRRR1)()321（TR213)(sR)(sC2/20/2

42、02369l结构图如下图。l它的开环传递函数为)22)(3()2()121)(131()121()(22sssssKsssssKsGgkK出射角00000016.266.261359045180j渐近线3mm0018060，13)2(113k与虚轴交点02)6(85)(234ggkskssssFjs 761.1gk)(sR)(sC2/20/2023702/20/2023712/20/202372 广义根轨迹是指除了一般根轨迹之外的所有根轨迹。如参数根轨迹，具有正反响内环的零度根轨迹等。参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念AsQsPsQsPAsAPsQsHsG

43、sHsGsF1)()(1)()(0)()()()(10)()(1)()()()()(11sQsPAsHsG等效开环传递函数注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。4.4 广义根轨迹及其绘制2/20/202373)(sR)(sC)s(spKg s 例：求以参数 为变量，为常数的根轨迹。gk解：)1()()(skpssksgg0)1()()(skpsssFg 由由kkggggkgkkpsssskkpss 11)(2 一、求等效开环传递函数等效开环传递函数gkkpssssHsG211)()(2/20/202374gkkpssssHsG211)()

44、(0j1 （2）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹 0,22114212,0pkjppzg，解：解：（3）渐近线：）渐近线：条条1 mn（4）分离点）分离点 ssNkpsssDsNsDsNsDg)()(0)()()()(2gkd 不难证明：复平面上的根轨迹为圆的一部分不难证明：复平面上的根轨迹为圆的一部分（圆心：原点，半径（圆心：原点，半径 ）gkgk 思考思考：要使系统工作在欠阻尼情况下，要使系统工作在欠阻尼情况下，应取何值？应取何值？0)1()()(skpsssFksgg 代代入入将将)2(1pkkgg )2(10pkkgg 2/20/202375其中开环增益可自行选定。试绘制参数根轨迹，并分析时

45、间常数 对系统性能的影响。例：设单位反响系统的开环传递函数为)1)(1()(sTssKsGaKaT解：闭环特征方程KssssTsHsGKssssTTKssssssTKssKsTsssFaaaaa)1()1()()(0)1()1(11)1()1(0)1()1(0)1)(1()(2112222/20/2023760)1(1ssKKp41212,1等效开环极点注：假设分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，那么运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：aT在本例中，在本例中，K可自行选定，选定不同可自行选定，选定不同K值，然后将值，然后将W1(s)的零、极的零、极点画在点画在 s

46、 平面上，在令平面上，在令绘制出绘制出 变化时的参数根轨迹。变化时的参数根轨迹。aaTT0KssssTsHsGa)1()1()()(211等效开环传递函数2/20/2023770j25.0K1210jK25.0KssssTsHsGa)1()1()()(211Kp41212,12/20/202378在一些复杂系统中，包含了正反响内回路，有时为了分析内回路的特性，那么有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为在一些非最小相位系统中相角条件为 具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹20 o20 o)(sC)(sR)(sG)(sH)(1sG)(1sH零度根轨迹以具有正反响内回路的的系统为例。具有正反响内回

47、路系统如下图，外回路是采用负反响加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反响系统的根轨迹。2/20/202379l零度根轨迹的绘制)()(1)()(sHsWsWs)(sR)(sC+)(sH)(sW特征方程：0)()(1)(sHsGsF)()()()()(11sDsNKpszsKsGgjnjimigK令根轨迹方程：gjnjimiKpszssDsN1)()()()(111)(sWK辐值条件：1,0,20211njjmiipszs辐角条件：由相角条件 条件绘制出的根轨迹，称 根轨迹。变化参数为根轨迹增益 。200gKgjnjimiKpszs1)()(11

48、2/20/202380与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。零度根轨迹的绘制规那么只要考虑相角条件所引起的某些规那么的修改gjnjimiKpszs1)()(111,0,20211njjmiipszs辐值条件：辐角条件：规那么3：实轴上的根轨迹假设实轴的某一个区域是一局部根轨迹，那么必有：其右边开环实数零点数+开环实数极点数为偶数。2/20/202381规那么6：根轨迹的出射角入射角出射角：入射角：mjnijjipjpipjzpi11mijjnjizjpizjzzi11),2,1,0(2mn与实轴夹角规那么4：渐近线的夹角2/20/202382例：设具有正反响回路系统的内回路传

49、递函数分别为1)(,)22)(3()2()(2sHssssKsGg试绘制该回路的根轨迹图。23,1,11321zpjpjp解：解：（1）（2）实轴上的根轨迹（实轴上的根轨迹（-，-3，-2，）。）。（3）2mn渐近线渐近线ooo180,0131802（5）出射角）出射角oooooptgarctgarc6.71)906.26(45)9021(11op6.7120j123jj4别离点8.00)24.67.4)(8.0(111131212ddddjdjddd2/20/2023836确定临界开环增益显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为3232)2(0)3(0)1(0)1(0*jjKg13/3

50、3/232*ggKKK1)(,)22)(3()2()(2sHssssKsGg10j23jj2/20/202384l 如果闭环系统的零点是的，于是可以根据闭环系统零、极的位置以及的输入信号，分析系统的暂态特性。l在根轨迹上确定特征根l 根据值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法,采用这种方法往往要试探几次才有结果，比较麻烦。l 其实，对于有的系统，可以先在实轴上选择试点，找出实根以后，再去确实复数根，这样简便得多。下面举例说明这种方法。4.5 按根轨迹分析控制系统2/20/202385根据根据 值，通常用试探法先确定在实轴上的值，通常用试探法先确定在实轴上的特征根特征根，然后确定其它然

51、后确定其它的的特征根。特征根。gK对于特定的对于特定的 值下的值下的特征根特征根，可以借助根轨迹图用模值条件确定，可以借助根轨迹图用模值条件确定gK)4)(1()()(sssKsDsNKgg例：例：系统的结构图如图所示，开环传递函数为系统的结构图如图所示，开环传递函数为 10gK试确定试确定 的特征根。的特征根。2/20/202386根据的开环传递l由图可知，在区间 上有根轨迹。0)4)(1(gKsss44，10gK6.411R46.12.03,2jR)4)(1()()(sssKsDsNKgg根据根轨迹走向法那么 得)4)(1(ssskg由幅值条件有：用试探法得：2232jR，令)4()1(0

52、)321RRR（）（gkRRR)321（）（2.03,2也可用作图法:做垂线2/20/202387l 由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。2/20/2023882/20/202389l 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能，下面以三阶系统为例来说明。)()()1)(1()(122121pppspssKsTsTsKsGgkK)()()(21pspsszsKsGgK设系统的开环传递函数为如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为)2)(1()(1ssszsKg令2/20/2023902103

53、21ppp6.3z0.1z6.0z2/20/202391l可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。在随动系统中串联超前网络校正，在过程控制系统中引入比例微分调节，即属于此种情况。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指标也比较满意。2/20/202392l设系统的开环传递函数l其对应的系统根轨迹如图 所示。l假设系统增加开环极点，开

54、环传递函数变为l 其相应的根轨迹如图 b所示。)0()()(11ppssKsGgK)()()(1221pppspssKsGgK2/20/202393)0()()(11ppssKsGgK)()()(1221pppspssKsGgK2/20/202394l 在系统的综合中，常在系统中附加一对非常接近坐标原点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对零、极点彼此相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，通常称这样的零、极点对为偶极点对或偶极子。l 在系统中附加偶极子可以在根本保持系统的稳定性和瞬态响应性能不变的情况下显著改善系统的稳定性能。在随动系统的滞后校正中即采用这种方法来提高系统的稳态性能指标

55、。因此，在分析控制系统的稳态性能时，要考虑所有闭环零极点的影响，而决不能忽略象偶极子这样的零极点对的影响，尽管在分析动态性能指标时可近似认为它们的影响相互抵消。2/20/202395开环偶极子位于原点附近幅角条件和幅值条件中作用也根本抵消。零极点自身比值zc/pc-较大影响系统的开环增益、改变稳态误差。ccniimiigpzpzKK1101.0cp1.0cz提高系统开环增益10倍)2)(1)(01.0()1.0()(sssssksGgk-1-20sjsggKK)2)(1()(sssksGgk2/20/202396 利用MTLB产生根轨迹是非常简单的。在应用MTLB画根轨迹时，需要将根轨迹方程闭

56、环特征方程写成如下形式0)()(1sQsPKg式中P(s)为分子多项式，Q(s)为分母多项式，二者都必须写成s的降幂形式。2/20/202397 通常采用以下MTLB命令画根轨迹：rlocus(num,den)其中num和den分别为多项式P(s)和 Q(s)的系数向量。利用该命令，可以在屏幕上得到画出的根轨迹图，增益向量K自动确定。对于定义在状态空间内的系统，那么采用以下命令 rlocus(,B,C,D)如果用户需要自己定义增益向量 K，那么上述命令相应变为 rlocus(num,den,K)及rlocus(,B,C,D,K)2/20/202398假设引入左端变量，即r,K=rlocus(num,den)r,K=rlocus(num,den,K)r,K=rlocus(,B,C,D)r,K=rlocus(,B,C,D,K)屏幕上将显示矩阵 r 和增益向量K。利用绘图命令plot(r,)画出根轨迹。如果在画根轨迹时，希望标上符号“或“，那么需要采用以下命令：r=rlocus(num,den)plot(r,o)或 plot(r,x)2/20/2023992/20/2023100 谢谢了！