弧度制与任意角知识梳理

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1、第四章 三角函数（基本初等函数（II）4.1弧度制与任意角的三角函数考纲解读 机成解建 科学预服1. 了解任意角的概念.2. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.本节容是整个三角函数部分的基础，主要考查三角函数的概念，三角函数值在各象限的 符号，利用三角函数线比较三角函数值的大小等，一般不单独设题，主要是与三角函数相关 的知识相结合来考查.考点梳理 如思勤笔并史瓶础1.任意角(1) 角的概念角可以看成平面一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.我们规定：按 方向旋转形成的角叫做正角，按 方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线

2、没有作任何旋转，我们称它形成了一个.(2) 象限角使角的顶点与重合，角的始边与乂轴的重合.角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. a是第一象限角可表示为(I，丸, a 1 2kna0)，则sina =,cos a =, tan a = (x手0).xrrcot a _(y0), seca=(x手0), csca=-(y手0).yxy(2) 正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sin acos atan a4. 三角函数线如图，角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M,过点A(1, 0) 作单位圆的切线，设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第

3、 二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM=x =, MP = y =, AT=.像OM,MP, AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位 圆有关的有向线段MP, OM, AT,分别叫做角a的、，统称为三角函数线.111啊tan75=2 + V3自查自纠1. (1)射线 逆时针 顺时针 零角(2)原点非负半轴n a 2k n+=a 2k n + n, kEZI2J3 a 2k n + na 12 J3 a 2k 丸+二 na 2k n+2n, kEZ或:2J， 一 n .，_、a 2kn5a1 2 J3 a a =2k n+ n, kEZ a|a=kn, kEZ1

4、 2 Jk, n , qkn , a 1 a=kn+；, kEZ a 1 a , kEZ22(4) B|B = a+2kn, kEZ或B| B = a+k 360, kEZ9i)半套 k 1-18。2.半径长r2n丸18。 n )(3)|a |r? |a | rlr 乙乙3.迫 rrx(2)RR(ana /kn+顽，kEZ2y4. cos a sina - tan a 正弦线 余弦线x正切线5.角a030456090120135150180270360角a的弧0n6nnn2n3n5n6n3n2n度数sina02正12010cosa120-2-牛-101tana01不存顼10不存0在在基础自测

5、小劣金沽牛7T小我H 与一463终边相同的角的集合是()A. (a|a=k- 360+463, kGZB. (a|a=k- 360+103, kGZC. (a|a=k- 360+257, kGZD. (a|a=k- 360-257, kGZ解：显然当 k=-2 时，k 360+257=463.应选C.目给出以下命题:、 n .小于2的角是锐角；第二象限角是钝角；终边相同的角相等；若与B有相同 乙的终边，则必有a B=2kn(kEZ) .其中正确命题的个数是()n )2，n J,而第二象限角A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：锐角的取值围是0,堂)故不正确；钝角的取值围 为2kn+2，2k

6、n + nj, kEZ,故不正确；若a = B+2kn, kGZ, a与B的终边相同，但当k/0时，a/B，故不正确；正确.应选B.0 若cosa=卑，且角a的终边经过点P(x, 2),则P点的横坐标x是() 乙A. 2胰B二 2展C.2寸 2D.2%解：由 cosa=土3，解得 x=.3.应选 D.x2+42 若点P(x, y)是30角终边上异于原点的一点，则y的值为 x解：y=tan30=3.故填.x33目半径为R的圆的一段弧长等于 2-、hR，则这段弧所对的圆心角的弧度数是解：圆心角的弧度数a =号=2由.故填2幅.典例解析|余羌解析 靛美旁池类型一角的概念、, 一， a a ，.、一若

7、a是第二象限角，试分别确定2a,;,;的终边所在位置.23解：。是第二象限角，.90+k 360ai80+k 360(kEZ).(1)T180+2k 3602a360+2k 360(kEZ), 故2a的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上.a(2)45+k180590+k180(kEZ),2a当 k=2n(nGZ)时，45+n 360590+n 360, 2a当 k=2n+1(nGZ)时，225+n 3605270+n 360.2a.5的终边在第一或第三象限.2a(3)T30+k120M60+k120(kEZ),3a当 k=3n(nEZ)时，30+n 360或60+n 360,3a当 k=3n

8、+1(nEZ)时，150+n 360180+n 360,3a当 k=3n+2(nEZ)时，270+n 360300+n 360.3a.瑚的终边在第一或第二或第四象限.3评析关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆aaa较难.解此类题一般步骤为先与出a的围一求出2 a，-，-的围一分类讨论求出2 a，-,232a；终边所在位置.3强弟由 已知角2a的终边在x轴的上方(不与x轴重合)，求a的终边所在的象限.解：依题意有 2kn2a2kn + n(kEZ),，n 八 、/.kna k n+；(kEZ).乙、一n 、当k=0时，0Va0)，求sin a , cos a ,

9、 tan a的值.解：因为角a的终边经过点P(a, 2a)(a0)，所以r=%5a, x=a, y=2a. y 2 a 2、J5ga厂、.鬲-5，y 2atan a =一 =2. x a评析若题目中涉与角a终边上一点P的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的 定义求解.强3应已知角a的终边经过点P(3m9, m+2).(1) 若 m=2,求 5sina+3tana 的值；(2) 若cosaW0且sin a 0,数m的取值围.解：(1),m=2,.，.P( 3, 4),.，.x=3, y=4, r=5.y 4y4.sin a , tan a n.r 5x3.4 , ( 4)八.5sina+3ta

10、na =5Xg+3X3j = 0. */cos a W0 且 sin a 0,3m9W0, m+20.2mW3.例彳类型四 三角函数线的应用用单位圆证明角a的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1,即已知0Wa|OA|=1，所以 |sina| + |cos a | 1.综上所述，|sina| + |cosa|N1.评析三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直 观地表示三角函数值的符号与大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规 律.在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特 的简便性.求证:sin a a tan a.证明：

11、如下图，设角a的终 轴正半轴的交点为A，过点A作圆 PMXOA 于M，连接 AP，则在 RtAPOM =AT，又根据弧度制的定义，有AP边与单位圆相交于点P，单位圆与x 的切线交OP的延长线于T，过P作 中，sina =MP，在 RtAAOT 中，tana=a OP= a，易知 SAPOASS ，即!oA MPPOA AOT21 1 A E II-AP OA3OA AT，即 sin aa tan a . 乙乙名师点津 搦示蝴津 总结方法1. 将角的概念推广后，要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合为 a|0a90，第一象限角的集合为a|k 360ak 360+90。，kEZ，显然 锐角的集合

12、仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一 定是锐角.2. 角度制与弧度制可利用180=n rad进行换算，在同一个式子中，采用的度量制n 一必须一致，不可混用如a =2kn+30(kEZ)， 13 =k 360+j_(kGZ)的与法都是不 乙正确的.3. 一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷.4. 已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，但要注意对可能 情况的讨论.5. 牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的围以 与三角函数值的正负进行讨论.6. 2kn + a表示与a终边相同的角，其大小为a与n的偶数倍(而不是整数倍)的和,是n的整数倍时，要分类讨论.如: (1)sin(2k n + a)=sina；=( 1)ksin a .(2)sin(k n + a) =sin a (k为偶数)， sin a (k为奇数)7. 在解简单的三角不等式时，利用单位圆与三角函数线是一个小技巧.