恒成立问题基本题型及解题方法

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1、恒成立问题基本题型及解题方法恒成立问题一直以来都有是数学中的一个重点、难点，这类问题也没有一个固定的思想方法去处理， 各类考试以及高考中都屡见不鲜。如何更好地简单，准确，快速解决这类问题并更好地认识把握，本文通 过举例说明这类问题的一些常规解题方法。一转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1.已知函数f(x)=x2-2ax+4在区间-1，2上都不小于2,求a的值。解：由函数f(x)=x2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1. 当a2时fx)在-1，2上是减函数此时f (x)min= f(2)=4-4a+4 2 即 a 结合 a2，所以 a 的解集

2、为42. 当a 2结合 a -1即-寻 a -13. 当-1a 2即12 a x: 2 所以1 V a 12综上1，2, 3满足条件的a的范围为：| a 12确定主元，构造函数，利用单调性解题例2.对于满足0 a 4x+a-3都成立的x的取值范围。解：不等式变形为x2+(x-1)a-4x+30设f(a)= (x-1)a+x2-4x+3,则其是关于a的一个一次函数：是单调函数结合题音有J f (0)。即x 2 - 4 x+3 0得x V-1或x 3s八4) 0x 2 -1 0三利用不等式性质解题例3.若关于x的不等式lx-2l + lx+3l a恒成立，试求a的范围min解：由题意知只须a |x

3、 - 2 - (x + 3)| = 5 所以 a 5四 构造新函数，利用导数求最值：例 4.已知 f (x) = ；lg(x +1) g(x) = lg(2x +1)若当 x e 0,1时 f (x) g(x)在0，1恒成立，求实数 t 的取值范围。解：f (x) g(x)在0，1上恒成立，即x +1 - 2x -1 0在0，1上恒成立令F(x) = %：x +1 - 2x-t则须F(x)在0， 1上的最大值小于或等于0所以F(x) =1- 2 = 1 纭 x + 12v x +12v x +1又x e 0,1所以F (x) V 0即F(x)在0，1上单调递减所以 Fmax = F(0)即 F

4、 F(0) = 1 -1 1(说明：若将恒成立改成有解，即/(x) g(x)在0, 1上有解，则应F(x)mi 0，求a的取值范围。解： 对 x e ,2恒有 f (x) 0 即 ax2 + x +1 0 变形为 ax2 -(x +1)当x = 0时对任意的a都满足f (x) 0只须考虑x 0的情况-(x +1)11a 即 a 要满足题意只要保证a比右边的最大值大。11 小 C111现求一在x e(。,2上的最大值。令t = t 2 g (t) = t2 t = (t + ；)2 + 1( t 1)I,、33g(t)max = g(2)= 4所以a -又f (x) = ax2 + x +1是二次函数二a丰0所以a -且a丰04六利用数形结合解题例6：不等式ax (x(4 - x)在x e 0,3内恒成立，求实数a的取值范围。解：画出两个函数J = ax和y = x(4 x)在x e 0,3上的图象如图- u v3 知当 x = 3 时 y = v3，a = 5，容 . ,当 a x e 0,3 时总有 ax *： x(4 一 x)所以 a