数据包络分析方法

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1、二、数据包络分析（。人）方法数据包络分析（data envelopment analysis, DEA）是由著名运筹学家 Charnes, Cooper 和 Rhodes 于 1978 年提出的，它以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，计算比较具有相同类型的决策单元 （Decision making unit，DMU）之间的相对效率，依此对评价对象做出评价i。DEA方法一出现，就以其独 特的优势而受到众多学者的青睐，现已被应用于各个领域的绩效评价中2,3。在介绍DEA方法的原理之前， 先介绍几个基本概念：1. 决策单元一个经济系统或一个生产过程都可以看成是一个单位（或一个部门）在一定

2、可能范围内，通过投入一定 数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这种活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可 能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产 出”是决策的结果，所以这样的单位（或部门）被称为决策单元（DMU）。因此，可以认为，每个DMU（第 i个 DMU常记作DMUi）都表现出一定的经济意义，它的基本特点是具有一定的投入和产出，并且将投入转化 成产出的过程中，努力实现自身的决策目标。在许多情况下，我们对多个同类型的DMU更感兴趣。所谓同类型的DMU，是指具有以下三个特征 的DMU集合：具有相同的目标和任务；具有

3、相同的外部环境；具有相同的投入和产出指标。2. 生产可能集设某个DMU在一项经济（生产）活动中有m项投入，写成向量形式为x =（气,L ,x ）；产出有s项，写 成向量形式为y =（七,L , y）T。于是我们可以用（x, y）来表示这个DMU的整个生产活动。定义1.称集合T = （x, y） |产出丫能用投入生产出来为所有可能的生产活动构成的生产可能集。在使用DEA方法时，一般假设生产可能集T满足下面四条公理：公理 1（平凡公理）：（x., y.） g T, j = 1,2, L , n。公理2（凸性公理）：集合T为凸集。如果（x , y ） g T, j = 1,2, L , n ,且存在

4、X 0满足 人=1 j jjj=1 j则（n X x ,n X y ） G T。j =1 j jj =1 j j公理 3（无效性公理）：若（x, y）G T , x x,y 0。T 顼 x, y )|若生产可能集T是所有满足公理1,2,3和4的最小者，则T有如下的唯一表示形式x X y , X 0, j = 1,2,L , n j jj j jj=1j=13. 技术有效与规模收益 技术有效：对于任意的,y) e T，若不存在y y，且(x, y) e T，则称(x, y) e T为技术有效的生产活动。(2)规模收益：将产出和投入的同期相对变化比值上=业/卫称为规模效益。若k 1,说明规模收益

5、y x递增，这时可以考虑增大投入；若k 0,，Y = (y ,y ,L , y )T 0, j = 1,L ,n。由于在生产过程中各种投入和产出的地位 j1j 2 jmj1 j2 j sj与作用各不相同，因此，要对DMU进行评价，必须对它的投入和产出进行“综合”，即把它们看作只有一 个投入总体和一个产出总体的生产过程，这样就需要赋予每个投入和产出恰当的权重。假设投入、产出的 权向量分别为v = (v ,v ,L ,v )t和u = (u ,u ,L ,u )t，从而就可以获得如下的定义。12m12sY uy定义2.称9 = 竺=,(j = 1,2,L n)为第j个决策单元DMU的效率评价指数。

6、 j vtX j vxI j i=1根据定义可知，我们总可以选取适当的权向量使得9 . 1。如果想了解某个决策单元，假设为DMU。(o e 1,2,K ,n)在这n个决策单元中相对是不是“最优”的，可以考察当u和v尽可能地变化时，9.的 最大值究竟为多少？为了测得9。的值，Charnes等人于1978年提出了如下的CCR(三位作者名字首字母缩 写)模型:lLuyMaximizesubject tor ro - t=1= 9o v xi io i=1 lLuy r=1 r r 0, v 0, Vr, i.利用 Charnes 和 Cooper (1962)4提出的分式规划的 Charnes-Co

7、oper 变换:t = 1/ m vx,i=1 i io七=tur,(r = 1,K ,s)，气=tv,(i = 1,K ,m)变换后我们可以得到如下的线性规划模型:Maximize 8口 y =0 ,r=1(2)subject to 8 x = 1,i=18四 y -8x 0, r = 1,K , s; i = 1,K , m.根据线性规划的相关基本理论，可知模型(2 )的对偶问题表达形式:Minimize 0osubject to x X y , r = 1,2,K , s, ri j roj=1X 0, j = 1,2, K , n.上述的模型是基于所有决策单元中“最优”的决策单元作为参

8、照对象，从而求得的相对效率都是小于等 于1的。模型(2)或者(3)将被求解n次，每次即得一个决策单元的相对效率。模型(3)的经济含义是：为了 评价DMU。(o e (1,2,K ,n)的绩效，可以用一组假想的组合决策单元与其进行比较。模型(3)的第一和第二个 约束条件的右端项分别是这个组合决策单元的投入和产出。从而，模型3)意味着，如果所求出的效率最优 值小于1，则表明可以找到这样一个假想的决策单元，它可以用少于被评价决策单元的投入来获取不少于 该单元的产出，即表明被评价的决策单元为非DEA有效。而当效率值为1时，决策单元为DEA有效。有 关DEA有效根据松弛变量是否都为零还可以进一步分为弱D

9、EA有效与DEA有效两类。即通过考察如下 模型中的s-(i = 1,K m)与咋(r = 1,K ,s)的值来判别。Minimize 0。-(8s-+8s；)i=1r=1subject to 8 x X + s - =0 x , i = 1,K , m ij j i o ioj=18y X - s + = y , r = 1,K , s rj j r roj =1Xj, s-, s+ 0, Vi, j, r.其中为非阿基米德无穷小量。根据上述模型给出被评价决策单元DMU, (o e (1,2,K ,n)有效性的定义:定义3.若模型(4)的最优解满足0*= 1o则称DMU为弱DEA有效。定义4.

10、若模型(4)的最优解满足0*= 1o且有s-= 0，s：=0成立，则称DMU为DEA有效。定义5.若模型(4)的最优解满足0* 1o则称DMU为非DEA有效。对于非DEA有效的决策单元，有三种方式可以将决策单元改进为有效决策单元：保持产出不变，减少投入；保持投入不变增大产出；减小投入的同时也增大产出CCR模型容许DMU在减小投入的同时也 增加产出。对于CCR模型，可以通过如下投影的方式将其投向效率前沿面，从而投影所得的点投入产出 组合即为DEA有效。x =0*x 一s-* = x -(1-0*)x 一s-* y , r = 1,K , s.上述投影所得值与原始投入产出值之间的差异即为被评价决策

11、单元欲达到有效应改善的数值，设投入 的变化量为Vxo，产出的变化量为Vyro :Vx = x - x = x - (0 *x - s-*), i = 1,K , mio io io io o io iV y = y - y = (y + s+*) - y , r = 1,K , s.ro ro ro ro r ro(二)BCC模型CCR模型是假设生产过程属于属于固定规模收益，即当投入量以等比例增加时，产出量应以等比增 加。然而实际的生产过程亦可能属于规模报酬递增或者规模报酬递减的状态。为了分析决策单元的规模报 酬变化情况，Banker, Charnes与Cooper以生产可能集的四个公理以及S

12、hepard距离函数为基础在1984年 提出了一个可变规模收益的模型，后来被称为BCC的模型5。线性形式的BCC模型可表示为：Maximize 口 y 一 u , r ro o r=1subject to x = 1,i=1四 y- x -u 0, r = 1,K , s; i = 1,K , m.含松弛变量形式的BCC对偶模型Maximize 0。- (s-+s;)i=1r=1subject to x 人 + s-=0 x , i = 1,K ,m ij j i o ioj=1(6)J y 人-s += y , r = 1,K , s rj j r roj =1 x= 1jj=1七,s一,

13、s； 0, Vi, j, r其中为非阿基米德无穷小量。根据BCC模型中的uo的取值大小，Banker和Thrall(1992)6提出如下判别 方法来判断模型(5)的规模收益。定理16.假设含有投入产出组合(x., y.)的DMU。是有效的，那么下面的条件可以判别模型1)之下DMU。的规模收益：(i) 对于投入产出组合(%, yo)规模收益不变当且仅当在某个最优解情况下有仔=0 ;(ii) 对于投入产出组合(七,y.)规模收益递增当且仅当在所有最优解情况下都有u* 0。其中u*代表模型(5)中的最优解。该定理的证明参见文献6。CCR模型或者BCC模型计算出来的效率可能存在多个效率值为1的情形，为

14、了进一步区分这些有效 决策单元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以及双前沿数据包络分析模型。下面依次做个简单介 绍。(三) 超效率模型CCR模型在计算效率值时，经常会出现多个有效的决策单元(效率值为1)的情形，从而使得有效决策 单元之间无法进行比较分析。Andersen和Petersen (1993) 7为了实现决策单元的完全排序，将被评价的决 策单元从效率边界中剔除，以剩余的决策单元为基础，形成新的效率边界，计算剔除的决策单元到新的效 率边界的距离。由于剔除的决策单元不被效率边界所包围，对于有效的决策单元而言，其计算出来的新效 率值就会大于1，而对于无效的决策单元而言，其所得的效率值不变

15、，仍小于1，从而使得全体决策单元 可以实现完全排序。由于有效的决策单元效率大于1，从而就有了超效率(Super-efficiency)的概念。基于CCR模型的超效率DEA模型为：Minimize 9subject to Ex 人 0, j 尹 o.Banker和Chang(2006)8证实了超效率极易受离群值的影响，因此该方法可以用来检测数据集中是否存在 离群值。(四) 交叉效率模型为了解决DEA有效决策单元的排序和比较问题，Sexton等人(1986)9提出了交叉效率评价的概念。所 谓交叉效率评价就是每个DMU分别确定一组输入输出权重，供所有的DMUs评价使用，其中：用DMU 自身确定的权重

16、评价自己的效率，称为自我评价效率；用其它DMU确定的权重评价自己的效率，称为交 叉效率或同行评价效率。以表51为例，交叉效率评价的实质是对每个DMU同时进行自评和同行评价 ，这样不仅考虑DMU自评的最好相对效率，而且还考虑了DMU同行评价给出的交叉效率，利用自我评 价和交叉效率的平均值作为衡量DMU绩效的综合指标，该指标不仅较好地解决了 DMUs间排序和比较问 题，而且解决了 CCR模型由于输入输出权重不一致性导致的不可比较问题。Sexton等人(1986)通过引入二级目标来确定输入输出权重、消除权重的不唯一性。随后Doyle和Green(1994,1995)i0,ii从同行评价的角度解释了交

17、叉效率的含义，并给出了后来的到广泛引用的二级目标函数-攻击型计算方式和仁慈型计算方式，下面两个模型依次为攻击型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型MinimizeSubject tourk r=1乙ik i=1j=1, j 丰 kJ Xijj=1,j*k)=1,u y -9* v x = 0, rk rk kk i iku y -v x 0, r = 1,K , s,v Z 0, i = 1,K , m.(8)表51交叉效率示意表决策单元交叉效率算术平均值12.n199.91 n 911121nnj=1 1j299.91 n 921222nnj=1 2jMMMMMMn99.91 n 9n1n 2n

18、nn j=1 nj攻击型交叉效率模型:仁慈型交叉效率模型:MaximizeSubject tourk r=1iki=1j =1,j - k广j=1, j 丰 kyrjJX.ijJ=1,u y -9* vx = 0,rk rk kk i ikr =1i =1u y -v x 0, r = 1,K , s,v 0, i = 1,K , m.(9)然而，至今仍无一个准则来判别什么情况下使用攻击型或者是仁慈型。为了避免目标函数选择上的两 难，Wang和Chin (2010a)12提出了一种中性交叉效率模型。其模型形式如下所示:Maximize 8 - Minimize r1K ,sE s u yTrr

19、vxi =1 io io sV=1myUA乙m v xi-1 io io /subject to 9 * =、r-oo 乙mE u y9. = E-1 ro rj 0, r 1,K , s,v 0, i 1,K , m.ro(10)利用Charnes-Cooper的变换公式，可得中性交叉效率模型的线性模型Maximize 8subject to 尤 v x -1,i-ilLuy =9 *, ro ro oo r-1(11)u y 一尤v x 0, r - 1,K , s,v 0, i 1,K , m.8 0.交叉效率模型还有其他一些改进方式，例如：Liang等人(2008a)13年提出了 3个

20、可供选择的二级目标 计算方式；Liang等人(2008b)14将非合作博弈理论与交叉效率评价方法结合起来，提出了博弈交叉效率的 概念，并设计了算法求解博弈交叉效率值，同时证明了该博弈交叉效率值即为纳什均衡点；Wang和Chin (2010b)15提出了一些可选择性交叉效率评价模型；Wang和Chin(2011)16在交叉效率的研究中率先引入有 序加权平均算子(Ordered weighted averaging operator , OWA)，很好的体现了决策者的各种偏好，尤其是对 不合理的交叉效率评价值赋予较小的权重，从而使得最终的评价结果更为科学合理。有兴趣的读者可以进 一步参阅其他有关交

21、叉效率的相关论文。(五) 几何平均效率模型为了区分有效决策单元的排序难问题，Wang等人(2007)17于2007提出了悲观效率模型，并将其与乐 观效率模型相结合，提出了基于几何平均值的双前面数据包络分析方法。基于悲观前沿面的数据包络分析 模型为：Minimize 。= E 口 y , r=1 subject to 2v x - 1, i=1E 口 y -以 x 0, j - 1,2, K , n, r rji ijr =1i =1口，v 0, r 1,2, K , s; i 1,2, K , m,其中R和v是非负权重。模型(12)与模型(2)的区别在于：模型(12)计算所得效率均大于等于1，

22、而模型(2)所得的效率值均小于等于1。基于几何平均值的双前沿数据包络分析方法就是将模型(12)所得的效率与模 型(2)所得的效率通过几何平均的方式加以综合，即：中* = (0* -0 *其中中*为综合后的DMUo (o e (1,2,K ,n)的效率值，而0*和*分别对应该决策单元在模型(2)与模型(12)下 的最优效率值。下图为有效前沿面和无效前沿面的一个演示图。12468 产出1/投入图5-1决策单元的有效和无效前沿面(六) 最优决策单元的选择在实际应用中，决策者有时候关心的是哪个方案或者哪个决策单元是最优的，而对于其他单元的排序 并不在意。因此，如何利用DEA模型直接寻求最优决策单元成为

23、学者们所感兴趣的问题。Amin和Toloo(2007)18 提出了一个混合整数线性规划模型，采用两步法以期实现寻求最优决策单元。然而随后Amin (2009)19 发现这种两步法有时会产生两个或者两个以上的最优决策单元，因此他提出一个非线性混合整数模型。Foroughi (2011)20发现Amin的非线性规划模型在有些情况下是不可行的。不过Foroughi (2011)的模型存在着一些冗余的约束且对输入输出权重给定了保证域，并且该模型易受离群值(outliers)的影响，从而 导致所选择的最优决策单元不正确。因此，Wang和Jiang (2012)21 提出了三种混合整数线性规划模型来改进F

24、oroughi (2011)的模型中所存在的问题。这三种最优决策单元选择的模型分别为:r r=1J )y rjI j=1/1. 基于不变规模收益的混合整数线性规划模型的最优决策单元选择方法Minimizeii =1Subject to 乙 y -工八 V I j 1,K ,n ,r rji ij jr=1i =1(13)乎I = 1,jj=1Ij e 0,1, j = 1,K , n ,u N 一1一- , r = 1, K , s , r(m + s)maxy .v N i = 1 K . mi (m + s)maxx ，其中Ij ( j = 1K , n )是二元变量，且只有一个变量可以取

25、非零值1。如果1=1,那么约束条件 桅u y ILvx I对应的DMU的约束为s u y -Zm vx 1,即允许DMU的效率值大于1，而r rj , i ij jor=1 r roi =1 i ioo其余的DMU的约束lLu y lvx I与原始的CCR模型的约束相同，也就是lu y lvx 0, j = 1,K ,n , r = 1m i = 1(15),Jj=1Ij 0,1, j = 1,K , n ,u 匚一;一r, r = 1, K , s ,r(m + s)max v.v 1 i = 1 K mi(m + s)maxx ，u 0 is free in sign,其中约束条件/ u*

26、 + u0 0 (j = 1,K ,n )是为了保证全体产出是非负的，因为负的产出没有意义。r=1(七)举例说明下面用3个例子来说明DEA方法的应用。例1：假设现有七个被评价的决策单元，投入、产出项各有一项，投入项为X，产出项为丫，输入如下表 所示。此时七个决策单元的相对位置如图52所示。在CCR模型下，连接原点与点B的射线构成前沿面， 如图中所示，其余的点均位于该前沿面的下方。表52七个决策单元的投入、产出数据DMUXYEfficiencyA210.5000B331.0000C860.7500D620.3333E540.8000F1060.6000G74.50.6429图52七个决策单元的分

27、布及其在生产前沿面上的投影从图2中可以看出，只有决策单元B位于生产前沿面上，而其他所有决策单元均位于该生产前沿面的下方， 即A, C, D, E, F, G均为非DEA有效，从表52最后一列的效率值大小也很容易得到确认。为了使非DEA 有效决策单元为DEA有效，可依图中箭头所示的方向将非DEA有效的决策单元往前沿面上投影。A, C, D, F, G均为减小投入而保持产出不变;而E给出了三种投影方式(减小投入产出不变;保持投入不变增大产出; 或者同时减小投入和增大产出)。例2:五个先进制造技术的甄别，数据来源于Wang和Chin(2009)23表53五个先进制造技术的数据及其乐观、悲观以及几何平

28、均值投入产出决策单元X1X2Y乐观效率值悲观效率值几何平均值A4072101.00001.60001.2469B32121050.56391.00000.7509C52203041.00001.73711.3180D35132000.98381.74151.3089E3281500.85801.42861.1071对于每一个决策单元而言，可通过求解模型(2)和(12)获得全体DMUs的乐观和悲观效率，结果如上表 所示。下面简单介绍一下求解过程和技术实现。以第一个决策单元的CCR效率(即乐观效率)为例，将数据 代入模型(2)即得模型(16)，显然这是个较为复杂的线性规划模型，需要借助软件计算才会

29、更为简便。因此 本书分别给出了 Lingo以及Matlab下的CCR模型的编程。Lingo的编程一次也只能计算一个(见下面程序 后的计算说明)，而Maltab程序相对而言更为简便，其可以很快地计算出所有决策单元的效率。此例中通 过软件计算所得，在乐观效率下，所得效率为 表53的第五列所示，全体单元的优序关系为:C=ADEB。，决策单元A与C均为DEA有效，而B, D, E为非DEA有效。在悲观模型下，所得的效率 值为表53的第六列所示，决策单元B为DEA无效，而其他单元均为非DEA无效，其优序顺序为：DCAEB。由此可见，在乐观前沿面和在悲观前沿面下的排序存在着一定的差异。表53的最后一列的值

30、为乐观和悲观效率的几何平均值，显然Wang等人(2007)提出的该几何平均值较好的综合了乐观和悲 观前面的两部分信息，从而五个单元合理的排序为：CDAEB。Maximize 01 = 210光40 缶 +7 =1,12210光一(40气+7%) 0,(16)105光(32气+12%) 0,subject to 304 光 一 (52气 +20%) 0,200光 一(35气+13%) 0,150g(32%+8%) 0, % 0,% N 0.卜面给出LINGO与Matlab的程序: 例2的LINGO程序实现：(以计算第一个决策单元的乐观效率为例)MODEL: sets:DMU/1.5/:S,T,P

31、; !Decision making units;II/1.2/:w; !input index;OI/1/:u; !output index;IV(II,DMU):X; !input variable;OV(OI,DMU):Y; !output variable; endsets data:P=1 0 0 0 0;X=403252353271220138;Y=210105304200150;enddatamax= sum(DMU: P*T);for(DMU(j):S(j)=sum(II(i): w(i)*X(i,j);T(j)=sum(OI(i): u(i)*Y(i,j);S(j)=T(j)

32、;sum(DMU:P*S)=1;END在上述程序中，P的值(1 0 0 0 0)分别替换为(0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1),可得5个决策单元的最优效率值依次为1.0000，0.5639，1.0000，0.9838，0.8580。例2的Matlab程序实现clear all;X= 403252353271220138;Y= 210105304200150;n=size(X,1);m=size(X,1);s=size(Y,1);A=-X Y;b=zeros(n,1); LB=zeros(m+s,1);UB=;for i=1:n;F

33、=zeros(1,m) -Y(:,i);Aeq=X(:,i) zeros(1,s);beq=1;w(:,i)=linprog(F,A,b,Aeq,beq,LB,UB);E(i,i)=Y(:,i)*w(m+1:m+s,i);endwEomega=w(1:m,:)mu=w(m+1:m+s,:)EE=diag(E)运行上述Matlab程序，即可得全体DMUs的CCR效率值。例3,现有14家国际航空公司，数据来源于Tofallis(1997)24。已知投入有三项，产出有两项，分别为:七:飞机容量吨公里%:营业费用%:其他资产(预定系统，便利性以及流动资产)七：每公里乘客数y2:非客运收益表5414家航

34、空公司的数据DMU投入产出尤尤尤yy 21572332392003266776972589542254557308153932409995606267124055126641356574993213647341563551831880783236045136190808032327295011572746033457236022112969812097677964745236320019658733413581265041297105654187819161927797211125598098331041925339812572824812254277549821347151792248531

35、3325431422793987441451225281404表55CCR效率及其非有效决策单元的改进DMUjCCR效率.投入产出x1jXjX3jXuij10.8684-753-916-2640020.3379-3903-2940-40323569030.9475-1265-502-329073140.9581-569-1235-13500510000060.9766-447-402-770810710000080.8588-1709-957-20080090.9477-344-175-1392001010000011100000121000001310000014100000利用CCR模型以

36、及将非有效DMU改进为有效DMU的投影公式，可得表55的结果。从表中可知， 决策单元5, 7, 10, 11，12, 13, 14为DEA有效，而其它单元为非DEA有效。对于非有效决策单元，例如对 第一家航空公司而言，它的第一项投入应减少753，第二项投入应减少916，第三项投入应减少264，同时 保持产出不变，这时该航空公司可达DEA有效。DMU4, DMU8和DMU9与DMU1类似也均需减少该三项 投入。而对DMU2而言，其前三项投入应分别减少3903, 2940和4032，第一项产出需增加3569，第二项 产出保持不变可达有效。而DMU3和DMU6在减少三项投入的同时，还需要增加第二项产

37、出才会有效。利用攻击型交叉效率模型，我们可得如下表(表56)所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。 从表中可以看出第5家航空公司的相对效率为0.7983,为所有航空公司中最优，其次是第11家航空公司， 其交叉效率值为0.7742。而第2家航空公司的交叉效率值为0.1652，为14家航空公司中最差。利用仁慈型交叉效率模型，我们可得如下表(表57)所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。 从表中可以看出第11家航空公司的相对效率为0.9193,为所有航空公司中最优，其次是第13家航空公司， 其交叉效率值为0.9190。而第2家航空公司的交叉效率值为0.1894,为14家航空公司中最差。此

38、结果与 攻击型交叉效率模型所得的结果又较大的差异，然而至今仍无一个准则可以清晰的告诉决策者何时该选择 攻击型模型或者是仁慈型模型。因此均对不同的决策问题，选择的模型的不同，所得结果可能出入较大。 为此，学者们提出了一些改进模型，例如Wang和Chin(2010a)的中性交叉效率模型，以及Liang等人(2008a) 的博弈交叉效率模型都可以较好的避免这个问题。表56攻击型交叉效率值表目标DMU平均排1 234567891011121314 乂 序效率10.8684 0.4501 0.6225 0.8684 0.4418 0.4726 0.7679 0.7881 0.7031 0.4158 0.

39、3390 0.7043 0.4711 0.4726 0.5990 122 0.17190.33790.04720.17190.02240.02470.27700.27240.28080.24650.11520.27890.04170.02470.1652143 0.88260.19420.94750.88260.65660.68980.64680.68330.62250.25590.19680.62610.74220.68980.6226114 0.95810.42590.70340.95810.66830.69730.76290.78500.69910.40270.47390.70160.4

40、9370.69730.673475 0.96530.36581.00000.96531.00001.00000.70110.73590.77780.52720.63820.78190.71811.00000.798316 0.88180.11080.95630.88180.96320.97660.57450.60840.50990.13760.17030.51410.67660.97660.638597 0.92110.77810.47730.92110.31080.33821.00001.00000.83950.54160.40000.83830.36580.33820.647888 0.7

41、8130.61140.51620.78130.26830.29240.84150.85880.82080.57030.30110.81940.44180.29240.5855139 0.78550.72780.50750.78550.24550.26770.88810.90720.94770.75010.35280.94520.45370.26770.63091010 0.78210.63540.65200.78210.33370.35640.76500.79441.00001.00000.49421.00000.58710.35640.6813611 1.00001.00000.42871.

42、00000.42020.44181.00001.00001.00000.81071.00001.00000.29610.44180.7742212 0.94620.63360.75000.94620.40850.43950.90820.93950.99980.76470.42441.00000.63980.43950.7314513 1.00000.42561.00001.00000.41830.45550.95111.00001.00000.58550.21291.00001.00000.45550.75033表57仁慈型交叉效率值表仁慈型交叉效率值表14 1.00000.22771.000

43、01.00000.98061.00000.69190.72750.64780.27470.32990.65210.70971.00000.73164目标DMU平均排DMU 交叉序1234567891011121314 效率1 0.86840.45010.62250.86840.84920.47260.81080.78810.70310.75120.86840.77130.86840.86840.7543122 0.17190.33790.04720.17190.17350.02470.24790.27240.28080.20580.17190.20250.17190.17190.1894143

44、 0.88260.19420.94750.88260.88440.68980.72320.68330.62250.78460.88260.80720.88260.88260.767894 0.95810.42590.70340.95810.94130.69730.82280.78500.69910.81120.95810.83410.95810.95810.822265 0.96530.36581.00000.96531.00001.00000.77040.73590.77781.00000.96531.00000.96530.96530.891236 0.88180.11080.95630.

45、88180.87800.97660.66150.60840.50990.71760.88180.74780.88180.88180.7554117 0.92110.77810.47730.92110.87950.33821.00001.00000.83950.78080.92110.80120.92110.92110.821478 0.78130.61140.51620.78130.77020.29240.84580.85880.82080.75320.78130.76310.78130.78130.7242139 0.78550.72780.50750.78550.78890.26770.8

46、7820.90720.94770.83750.78550.83690.78550.78550.75901010 0.78210.63540.65200.78210.82500.35640.77800.79441.00001.00000.78210.97190.78210.78210.7803811 1.00001.00000.42871.00001.00000.44181.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00000.9193112 0.94620.63360.75000.94620.96020.43950.93620.93950.99981.

47、00000.94621.00000.94620.94620.8850413 1.00000.42561.00001.00001.00000.45551.00001.00001.00000.98431.00001.00001.00001.00000.9190214 1.00000.22771.00001.00001.00001.00000.77950.72750.64780.85691.00000.88381.00001.00000.86595应用数据包络分析需注意的事项：1. DEA作为一种非参数方法，将数学、经济和管理的概念与方法相结合，是处理多目标决策问题，解决 在经济和管理中评价具有多个

48、投入、多个产出问题的有力工具。主要适合于同种类型部门或单位间的 相对有效性排序和评价，可以通过在生产前沿面上的投影分析，发现非DEA有效的产生原因以及改进 方向，调整资源投入量和效益产出量使决策单元达到DEA有效。2. 应用DEA模型进行评价，不必事先确定指标权重，只需假定由决策单元的投入产出指标组成的状态可 能集满足凸性、无效性、锥性以及最小性等条件即可DEA方法本身包含指标的权重分配过程，在计算不同决策单元的最大有效性时，指标的权重是动态可变的，最后排序的结果是每个决策单元在最有 利于自身的权重下的结果。3. 应用DEA方法进行评价分析时，一般要求决策单元数目应大于投入产出变量数目之和。根

49、据经验法则， 最好是决策单元数目应大于投入产出变量数目之和的两倍，这样计算所得的结果才能具有较好的区分 性，否则容易出现多个决策单元有效而无法进一步区分的情形。此时，可以采用超效率模型或者是交 叉效率模型进行相对效率分析。也可以将这些有效决策单元再采用其他综合评价方法进行分析。4. 投入产出指标的确定，一般是根据资源投入量与效益产出量确定DEA模型求解时，一般要求投入产 出指标具有非负性。如果遇到负的投入指标，一些学者认为可以考虑将取绝对值后纳入产出指标进行 考虑，不过这种方法的合理性以及此方面的研究还尚未取得一致的认识。5. 在实践中，通常有两种导向的模型可以供决策者选择，一类是投入导向模型

50、（即在相同产出水平下， 比较投入资源的使用情况），一类是产出导向模型，人们通常只从投入导向或者产出导向的角度去分析 决策单元的相对有效性，不过这两种角度在很多时候计算所得的结果是不一致的，只有CCR模型计算 所得的投入导向与产出导向的效率是一致的。对于采用其他DEA模型时所得结果存在的不一致性，在 实际中也可以将两个角度通过加权综合的方式一起考虑，相关研究可以参考最新的国内外文献。6. DEA方法不仅能对管理效率进行横向对比，也可以进行纵向、动态的分析，即评价样本的数据可以选 择截面数据、时间序列数据或者是面板数据。面板数据常用的方法为DEA视窗分析法与DEA-Malmquist 生产力指数法

51、。7. 当前已有较多的现成的DEA软件可以用于求解DEA模型，例如DEAP，DEA solver以及MyDEA等。 不过这些软件只能求解常见的DEA模型，对于改进型的DEA模型，通常需要编程，此时可借助于： EXCEL的线性规划求解器，Lingo软件以及Matlab软件等编程软件。习题：1.现有10家医院，每家医院有2个投入（医生人数以及护士人数）和2个产出（门诊病人人数以及住院 病人人数），投入产出表如下所示，试用DEA方法分析这10家医院的相对有效性。表58十家医院投入产出数据表DMU12345678910投入医生（人）20192527225533313050护士（人）1511311601

52、68158255235206244268产出门诊病人（人）10015016018094230220152190250住院病人（人）9050557266908880100100第7节案例分析本节以一个实例来说明数据包络分析方法的使用，评估对象为中国台湾的森林经营。宝岛台湾面积为 36000平方公里，台湾森林覆盖面积占全省土地总面积的一半以上，在1989年以前有13个林区，主要以 保护林地和木材为主要任务。森林的经营具有非盈利性质，了解各个林区的经营效率，检讨投入资源的使 用是否有效，是一个值得探讨的问题。以下将以台湾省各林区的效率评估，探讨DEA使用的各个步骤， 来说明DEA方法在实际中的应用。

53、案例分析中主要集中探讨三个部分内容：(1)确认投入产出项，(2)选择 恰当的DEA模型，(3)结果的分析与解释。使用DEA方法首先需要选择适当的投入产出项目。根据森林经营的多目标性及其非营利性等特点， 其目标包括实质产出(如：木材、野生动物)以及森林效用(如：净化空气，调节气温，美化环境，洁净 水源，保持水土，旅游等)，为了筛选投入产出项以衡量森林经营目标，参考Kao和Yang(1992】25的研究 与高强等人(2003)26编写的书籍。筛选的步骤如下：(1) 访问林业局的管理层，确立其组织目标及其管理目标。(2) 要求受访者确认投入产出项目。进行过程中间研究者从文献以及经验得知的各种投入产出种类列 出，以供受访者参考(3) 要求受访者确定投入产出的衡量指标。进行过程中间研究者从文献以及经验得知的各种投入产出 衡量指标列出，以供受访者参考