生成树计数及其应用

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1、最小（大）生成树最小（大）度限制生成树最优比率生成树生成树生成树 一个国家需要在n座城市之间建立通信网络。某些城市之间可以铺设通信线路。要求任意两座城市之间恰好有一条通讯路线，试求方案个数。满足：1n 12。首先将问题抽象成图论模型点：城市边：通讯线路 任意两点之间恰好只有一条路径这是一颗树！问题转化为：给定一个n个点的无向图，其中无重边和自环，试求其生成树的个数。由于原题规模较小，因此我们可以使用一些复杂度较高的算法来解决它，如指数级的动态规划算法。但是，如果规模更 一些呢？预备知识关联矩阵、Kirchhoff矩阵大 对于无向图G，我们定义它的关联矩阵B是一个n*m的矩阵，并且满足：如果ek

2、=(vi，vj)，那么Bik和Bjk一个为1，另一个为-1，而第k列的其他元素均为0。图G的关联矩阵如右下角所示：v1v2v3图Ge1e2e3110101011v1v2v3e1 e2 e3 图的关联矩阵有什么特殊的性质呢？我们不妨来考察一下B和它的转置矩阵BT的乘积。根据矩阵乘法的定义，我们可以得到：也就是说，BBTij是B第i行和第j行的内积。因此，当i=j时，BBTij=vi的度数；而当ij时，如果存在边(vi，vj)，那么BBTij=-1，否则BBTij=0。我们通常将BBT称为图的Kirchhoff矩阵。mkjkikmkkjTikijBBBBBBT11 对于无向图G，它的Kirchho

3、ff矩阵C定义为它的度数矩阵D减去它的邻接矩阵A。显然，这样的定义满足刚才描述的性质。有了Kirchhoff矩阵这个工具，我们可以引入Matrix-Tree定理：对于一个无向图G，它的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。所谓n-1阶主子式，就是对于任意一个r，将C的第r行和第r列同时删去后的新矩阵，用Cr表示。让我们通过一个例子来解释一下定理。如图所示，G是一个由5个点组成的无向图。它的Kirchhoff矩阵C为2110012010103110113100112 我们取r=2，根据行列式的定义易知|detC2|=11，这11颗生成树如下图所示。这个定理

4、看起来非常“神奇”，让我们尝试着去证明一下吧！经过分析，我们可以发现图的Kirchhoff矩阵C具有一些有趣的性质：C的行列式总是0。如果图是不连通的，则C的任一个n-1阶主子式的行列式均为0。如果图是一颗树，那么C的任一个n-1阶主子式的行列式均为1。证明略。我们知道，C=BBT，因此，我们可以把C的问题转化到BBT上来。设Br为B去掉第r行得到的矩阵，容易知道Cr=Br Br T。这时，根据Binet-Cauchy公式，我们可以将Cr的行列式展开。其中，是把Br中属于x的列抽出后形成的新矩阵。1|,2,121|,2,11|,2,1detdetdetdetdetdetnxmxxrnxmxTx

5、rxrnxmxTxrxrTrrrBBBBBBBCxrB 注意观察上面的式子，实际上是图Gx的Kirchhoff矩阵的一个n-1主子式。其中Gx是由所有的顶点和属于x的边组成的一个G的子图。1|,2,121|,2,11|,2,1detdetdetdetdetdetnxmxxrnxmxTxrxrnxmxTxrxrTrrrBBBBBBBCTxrxrBB 若属于x的n-1条边形成了一颗树时，由Kirchhoff矩阵的性质可知 等于1。若属于x的n-1条边没有形成树，则Gx中将至少含有两个连通块，这时 等于0。因此，我们认为：每次从边集中选出n-1条边，若它们形成了生成树，则答案加1，否则不变。Txrx

6、rBBdetTxrxrBBdet 当x取遍边集所有大小为n-1的子集后，我们就可以得到原图生成树的个数。这样我们成功证明了定理！刚才的证明过程看起来有些“深奥”，下面就让我们从直观上来理解一下这个定理的原理。试求方程x1+x2+x3 =2所有非负整数解的个数。这是大家都很熟悉的一道组合计数问题。通常的解法是，设有2个1和两个，我们将这4个元素任意排列，那么不同的排列的个数就等于原方程解的个数，即 。为什么要这样做呢？24C 我们将所有6种排列列出后发现，一种排列就对应了原方程的一个解：11对应x1=0，x2=0，x3=2 1 1对应x1=0，x2=1，x3=1 11 对应x1=0，x2=2，x

7、3=0 也就是说，我们通过模型的转化，找出了原问题和新问题之间的对应关系，并利用有关的数学知识解决了转化后的新问题，也就同时解决了原问题。这种转化的重要意义在于：在不同问题之间的架起了互相联系的桥梁。回到我们讨论的Matrix-Tree定理上来。我们同样是经过模型的转化后（将图模型转化为矩阵模型），发现Binet-Cauchy公式展开式中的每一项对应着边集一个大小为n-1的子集。其中，值为1的项对应一颗生成树，而没有对应生成树的项值为0。这样，将问题转化为求展开式中所有项之和。再利用已有的数学知识，就可以成功解决这个问题。方程的解方程的解图的生成树图的生成树类似排列方案排列方案展开式的项展开式

8、的项类似对应对应不同之处在于：相互之间的对应关系更加隐蔽、复杂需要更加强大的数学理论来支撑 利用该定理，我们可以容易得到著名的Cayley公式：完全图Kn有nn-2颗生成树。我们刚才只对图中没有重边的情况进行了分析。实际上，图中有重边时该定理仍然成立，并且证明与没有重边的情况类似。该定理也可以扩展到有向图上，用来计算有向图的外向树的个数。例二 UVa p10766 Organising the Organisation例三 国王的烦恼 一个王国由n座城市组成。由于遭到了洪水的袭击，许多道路都被冲毁了。国王组织了专家进行研究，列举出了所有可以正常通行的道路。其中有的已经被冲毁，需要重新修复；有的

9、则可以继续使用。并且所有可以继续使用的道路没有形成环。国王希望修建最少的道路，使得任意两个城市之间都能互达。请你计算可行方案的总数。下面我们通过一个例子来看一下。bacd 如右图所示，王国由a、b、c、d，4座城市组成 其中蓝色边表示可以通行但需要修复的道路红色边表示可以继续使用的道路 共有2种方案，如右下角所示bacdbacd方案1方案2 难点在于由于必选边的存在，我们无法直接应用Matrix-Tree定理 我们知道，如果要求生成树中必须包含某条边e，那么，我们可以将e压缩，将原图的问题转化到新图上来。因此，我们需要1、将所有的必选边压缩2、求压缩后的图的生成树的个数 压缩一条边的时间复杂度

10、为O(n)，而最多只要压缩n-1条边。因此，第一步的复杂度为O(n2)。计算一个图的生成树的个数的时间复杂度依赖于求其Kirchhoff矩阵行列式的时间复杂度，为O(n3)。因此，整个算法的时间复杂度为O(n3)。模型转化模型转化数学证明数学证明扎实的数学功底是解决问题的保证创造性的联想则是解决问题的灵魂 首先计算完全图Kn的Kirchhoff矩阵的一个n-1阶主子式C1Kn：下面我们对C1Kn进行化简。第2至第n-1列均减掉第一列，得到如下的矩阵：我们可以发现，除了第一列以外，其他每列都在第一行上有一个-n，在对角线上有一个n，而其他位置上的元素均为0。现在，我们把第2至第n行都加到第一行上去，可以得到如下矩阵：再次观察这个矩阵，我们可以发现：在第一行上只有一个1，剩下部分中，只有对角线上的数字为n，其他元素都是0。因此，完全图Kn的生成树的个数为nn-2。A是一个长度为n的数字序列，每个数字都是1至n中的一个，数字可以重复。设ci表示A中大于等于i的数字的个数，则对于任意一个i，均有cin-i。求满足条件的序列A的个数。数据规模满足：n1000000。例如，当n=2时，共有3种合法的序列：11、12、21；而当n=3时，共有16种合法序列。