常微分方程的基本概念

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1、第八章第八章 常微分方程常微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。主主 要要 内内 容容8.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概

2、念8.2 一阶微分方程一阶微分方程8.3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程8.4 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构8.5 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程8.6 一阶差分方程一阶差分方程一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念三、小结三、小结 8.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、问题的提出例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 2,1 y

3、x时时其中其中 xdxy2,2Cxy 即即,1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/秒秒的的速速度度行行驶驶,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4.0 米米/秒秒2 2,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内 行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4.022 dtsd,20,0,0 dtdsvst时时14.0Ctdtdsv 2122.0CtCts 代入条件后知代入条件后知0,20

4、21 CC,204.0 tdtdsv故故,202.02tts 开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需),(504.020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502.02米米 s1.微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例,xyy ,0)(2 xdxdtxt,0)5(y,yxxz 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的基本概念未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。未知函数为未知函数为一元一元函数的微分方程，称为函数的微分方程，称为常微分方程常微分方程。未知函数为未知函数为多元多元

5、函数的微分方程，称为函数的微分方程，称为偏偏微分方程微分方程。分类1:常微分方程,偏常微分方程.2 d dxtx 例xcyxybxysindddd220dd2xyyx322ddtxtx常微分方程常微分方程),(222222zyxfzuyuxu偏微分方程偏微分方程微分方程的阶:指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数.,0),(yyxF一阶微分方程);,(yxfy 分类分类2:2:一阶微分方程，高阶微分方程一阶微分方程，高阶微分方程,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy高阶(n2)微分方程 若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次若一个方程对未知函数及其导数的

6、全体而言是一次的，且不含这些变量的乘积项，则称该方程为的，且不含这些变量的乘积项，则称该方程为线性方程线性方程。否则，称之为非线性方程否则，称之为非线性方程。分类3:线性与非线性微分方程.d d xxt xcyxybxysindddd22322ddtxtx一阶一阶线性线性二阶二阶线性线性一阶一阶非非线性线性),()(xQyxPy ,02)(2 xyyyx);()()(xfyxQyxPy n阶线性微分方程的一般形式:()(1)011()()()()().nnnna x ya x yax ya x yf x 2.微分方程的解:指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,)(阶阶导导数数上上有有在在区

7、区间间设设nIxy .0)(,),(),(,()(xxxxFn .)(为为方方程程的的解解则则xy 微分方程的解的分类：(1)(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,yy 例例;xcey 通通解解,0 yy;cossin21xcxcy 通解通解(2)(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:用来确定任意常数的条件.3.积分曲线（解的几何意义）积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。特解

8、是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。如如12 xyxyOCxy2)2 ,1(0M过定点的积分曲线过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶:0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.4.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解.0)(2)2(3)4(,4,2221221221221221221是原方程的解是原方程的解故故代入原方程.代入原方程.将将xxxxxxxxxxxxeCeCyeCeCeCeCeCeCyyyeCeCyeCeCy .1,121 CC,1,000 xxyy.2xxeey 所所求求特特解解为为微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题问题;积分曲线;三、小结