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1、二类二类(型型)曲线积分曲线积分对对坐标坐标的线积分的线积分轴的正向夹角。处的切向量与上的点轴的正向夹角；处的切向量与上的点YyxLXyxL),(),(LdsyxQyxPWcos),(cos),(LLLdsQPlFdwWsin,cos,dsQPdsQdsPlFdw)coscos(coscossin,cos|sin,cosdsdslsll同向且与上近似不变。在弧；则代替弧有向切线段处的很小时，以点，当弧中的一段弧得弧分划弧SyxQyxPFSlyxSABSAB),(),(),()()2(；所作的功沿直线已知常力解：lFWlF0)1(1.概念概念。所作的功沿曲线，求变力将物体移至从弧沿光滑曲线平面内
2、有一变力：设在WLFBAABLyxQyxPFXOY),(),(AoyxBlds引例引例1.概念概念。所作的功沿曲线，求变力将物体移至从弧沿光滑曲线平面内有一变力：设在WLFBAABLyxQyxPFXOY),(),(曲线积分。的形式，则称其为二型式具有：积分中，如果被积表达方向有关。在一型曲线的弧与的方向有关，故弧与、由于dsQPABLWABL)sincos(sincossdsdxdyxyo引例引例sin,cosdsdydsdx又LLLLLLQdyPdxdyyxQdxyxPWdsQdsPdsQP记为),(),(sincos)sincos(：轴的正向夹角，则积分轴和量与同向的切向处与上点分别是、上
3、连续，在、，为光滑的平面有向弧段设YXLyxLLyxQyxPL),(),(),(定义定义坐标的二型曲线积分。坐标、对分别叫做对YXdyyxQdsyxQdxyxPdsyxPLLLL),(cos),(),(cos),(LLLQdyPdxQdyPdx记为定义定义则积分轴的正向夹角和同向的切向量与与处上点分别是上连续在、为光滑的空间有向弧段设,),(,),(),(),(,ZYXzyxzyxRzyxQzyxPRdzQdyPdxRdzQdyPdx记为坐标的二型曲线积分、分别叫做对ZYXdzzyxRdszyxRdyzyxQdszyxQdxzyxPdszyxP),(cos),(),(cos),(),(cos)
4、,(对二元函数二型曲线积分具有如下三条性质：对二元函数二型曲线积分具有如下三条性质：(1)对函数的可加性：对函数的可加性：(2)对曲线对曲线L的可加性：的可加性：LLLdxyxPdxyxPdxyxPyxP),(),(),(),(2121如：2121LLLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx(3)曲线反向积分反号：曲线反向积分反号：LLQdyPdxQdyPdxBALABLLL则有：，弧，弧反向的同一条曲线即：是与设也变号。、向，因此反向时，切线也随之反证：当coscosL同理，对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。同理，对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。dttztztytxRt
5、ytztytxQtxtztytxPdsRQPRdzQdyPdxtztytxzyxRzyxQzyxPtttzztyytxx)()(),(),()()(),(),()()(),(),()coscoscos()()()(),(),(),()()()(:之间连续，则：与在、上连续且在、；如果终点参数值起点参数值设有空间光滑曲线这里讲的是直这里讲的是直接计算方法。接计算方法。定理定理1dttytytxQtxtytxPdsQPQdyPdxtytxLyxQyxPtttyytxxLLL)()(),()()(),()coscos()()(),(),()()(:之间连续，则：与在、上连续且在、；如果终点参数值起点
6、参数值设有平面光滑曲线定理定理2为参数）解：tttytxL(20:sincos:2/02/0cos)sin(cos)sin)(sin(costdtttdttttI1)2sin(2/0dtt例例1如下图：求LdyyxdxyxIL?,)()(xyo11起点起点终点终点122 yxL：54|54422105104114112ydyydyyydyyyI例例2)1,1()1,1(:,2BAxyLxydxIL从求)(1)(1:2终起为参数时以解：yyyyxLyxyo11起点起点终点终点xy 2L：-1公式。数，用定理则可以视的方程为：若曲线注),(1yyxLj为参1ydydx2而例例3)1,1(:,2AO
7、xyLydxxdyIL从求xdxdy2而)(1)(0:2终起为参数时以解：xxxxyLx13)2(112102dxxdxxdxxxI公式。数，用定理为参则可以视的方程为：若曲线注1),(2xxyLjoy1Ax起点起点终点终点dttytytxQtxtytxPQdyPdxL)()(),()()(),(oyxAB11122 yx021021321IIII2100100103ydyydydyIyx为参数以0cossin)sin(cos2/0cossin2tdttdtttItxty21001001dxxdxIxy为参数以321321IIIydyxdxydyxdxydyxdxILLL设)0,0()1,0(
8、0:);1,0()0,1(1:3222OBxLBAyxL);0,1()0,0(0:1321AOyLLLLL且解：设L1L3L2例例4线的逆时针方向。所围平面区域的边界曲是求0,0,1,22yxyxLydyxdxIL例例5点再经第四卦限回到出发经第一卦限到从为沿着圆其中求ABARzxRzyxxdzzdyydxI,2222位于第四卦限内的部分为位于第一卦限内的部分解：设,1LLL1zyxBA21222:(:0)2()xxxxLLzRxzRxx Ryx RxyRzx为，则即：11LxdzzdyydxI0)(22)()(2RdxxxRxxRxRxRx2422220RRdxxxxRRRL1zyxBA2:2()(:0)xxLyx RxxRzRx 而RLdxxxRxxRxRxRxxdzzdyydxI02)(2)2()()(222422220RRdxxxxRRR22122RIII故：其它的自学！其它的自学！
类型曲线积分-对坐标的线积分
