实际问题与二次函数1

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1、实际问题与二次函数1 1.某一物体的质量为某一物体的质量为m，它运动时的能量，它运动时的能量E与它的运动速度与它的运动速度v之间的关系是：之间的关系是：212Emv（m为定值）为定值）2.导线的电阻为导线的电阻为RQ与电流强度与电流强度I之间的关系是：之间的关系是：212QRI（R为定值）为定值）3.g表示重力加速度，当物体自由下落时，表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的高度下落的高度h与下落时间与下落时间t之间的关系是：之间的关系是：212hgt（g为定值）为定值）新课导入新课导入 二次函数的抛物线在生二次函数的抛物线在生产、生活中广泛应用。产、生活中广泛应用。实际问题与二次函数1实际问

2、题与二次函数1喷泉与二次函数喷泉与二次函数 一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在状较为漂亮，要求设计成水流在离离OA距离为距离为1m处处达到距水面达到距水面最大高度最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的如果不计其它因素，那么水池的半径半径至少要多少至少要多少m才能使喷出的

3、水流不致落到池外？才能使喷出的水流不致落到池外？实际问题实际问题与二次函数1 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径半径至少要至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外，才能使喷出的水流不致落到池外.解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点点坐标为坐标为(0，1.25)，顶点，顶点B坐标为坐标为(1，2.25)25.212 xy 当当y=0时时,可求得点可求得点C的坐标为的坐标为(2.5,0);同理，点同理，点D的坐标为的坐标为(-2.5,0).设抛物线为设抛物线为y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得

4、抛，由待定系数法可求得抛物线表达式为：物线表达式为：y=(x-1)2+2.25.数学化数学化xyoAB(1,2.25)(0,1.25)C(2.5,0)D(-2.5,0)实际问题与二次函数1跳水与抛物线跳水与抛物线 某跳水运动员进行某跳水运动员进行10米跳台跳水训米跳台跳水训练时练时,身体身体(看成一点看成一点)在空中的运动路线在空中的运动路线是经过原点是经过原点O的一条抛物线的一条抛物线.在跳某规定在跳某规定动作时动作时,正常情况下正常情况下,该运动员在空中的该运动员在空中的最高处距水面最高处距水面32/3米米,入水处距池边的距入水处距池边的距离为离为4米米,同时同时,运动员在距水面高度为运动

5、员在距水面高度为5米以前米以前,必须完成规定的翻腾动作必须完成规定的翻腾动作,并调并调整好入水姿势整好入水姿势,否则就会出现失误否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式；求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中在某次试跳中,测得运动员在空测得运动员在空中运动路线是中运动路线是(1)中的抛物线中的抛物线,且运动员且运动员在空中调整好入水姿势时在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距池边的水平距离为距离为18/5米米,问此次跳水会不会失误？问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由并通过计算说明理由.实际问题与二次函数1 平时我们在跳绳时平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可绳甩到最高处的形状可以

6、看为抛物线以看为抛物线.如图所示如图所示,正在甩绳的甲乙两名学正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的生拿绳的手间距为手间距为4米米,距地面均为距地面均为1米米,学生丙丁学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、米、2.5米处米处,绳绳子到子到最高处时刚好通过他们的头顶最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生已知学生丙丙的身高是的身高是1.5米米,求学生丁的身高？求学生丁的身高？甲甲乙乙丙丙丁丁跳绳与抛物线跳绳与抛物线实际问题与二次函数1最大利润问题最大利润问题 某商店经营某商店经营T恤衫恤衫,已知成批购进时单价是已知成批购进时单价是2.5元元.根据市场调查根据市场调查,销售量与销

7、售单价满足如下关系销售量与销售单价满足如下关系:在在某一时间内某一时间内,单价是单价是13.5元时元时,销售量是销售量是500件件,而单价而单价每降低每降低1元元,就可以多售出就可以多售出200件件.请你帮助分析请你帮助分析:销售销售单价是多少时单价是多少时,可以获利最多可以获利最多?实际问题设销售价为设销售价为x元元(x13.5元元),那么那么销售量可表示为销售量可表示为:件件;销售额可表示为销售额可表示为:元元;所获利润可表示为所获利润可表示为:元元;当销售单价为当销售单价为 元时元时,可以获得最大利润可以获得最大利润,最最大利润是大利润是 元元.x5.13200500 xx5.13200

8、500 xx5.132005005.225.95.9112实际问题与二次函数1 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出18件，已知商品的件，已知商品的进价为每件进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？（1）题目中有几种调整价格的方法？）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？哪些量随

9、之发生了变化？调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况实际问题与二次函数1 涨价：涨价：（1）设每件涨价设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润元，则每星期售出商品的利润y也也随之变化，我们先来确定随之变化，我们先来确定y与与x的函数关系式。涨价的函数关系式。涨价x元元时则每星期少卖时则每星期少卖_件，实际卖出件，实际卖出_件件,销额销额为为_元，买进商品需付元，买进商品需付_元因此，所得利润为元因此，所得利润为_元元10 x(300-10 x)(60+x)(300-10 x)40(300-10 x)y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x)即即60001

10、00102xxy(0 x30)实际问题与二次函数16000100102xxy(0 x30)625060005100510522最大值时，yabx元x元y625060005300所以，当定价为所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6250元元实际问题与二次函数1解：设降价解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实件，实际卖出（际卖出（300+18x)件，销售额为件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买元，买进商品需付进商品需付40(300-10 x)元，因此，得利润元，因此，得利润6050600035603518352

11、2最大时，当yabx答：定价为答：定价为 元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6050元元 315860006018183004018300602xxxxxy(0 x20)实际问题与二次函数1最大面积问题最大面积问题 在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中其中AB和和AD分别在两直角边上分别在两直角边上.（1）如果设矩形的一边）如果设矩形的一边AD=xcm,那么那么AB边的长边的长度如何表示？度如何表示？（2）设矩形的面积为）设矩形的面积为ym2,当当x取何值时取何值时,y的最大的最大值是多少值是多少?ABCDMN40cm30cmbcmx

12、cm 4:1,40.3ABbcm bx 解设 2442404033yxbxxxx.30015342x.30044,152:2abacyabx最大值时当或用公式实际问题与二次函数1 某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆它的上半部是半圆,下下半部是矩形半部是矩形,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的图中所有的黑线的长度和长度和)为为15m.当当x等于多少时等于多少时,窗户通过的光线最多窗户通过的光线最多(结果精确到结果精确到0.01m)?此时此时,窗户的面积是多少窗户的面积是多少?x xy:14715.yxx解由.4715,xxy得xx215272 22

13、157222242xxxxSxyx窗户面积.02.45622544,07.114152:2abacyabx最大值时当或用公式.562251415272x最多光线问题最多光线问题 实际问题与二次函数1 （1）先分析问题中的数量关系、变量和常）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式量，列出函数关系式.（2）研究自变量的取值范围）研究自变量的取值范围.（3）研究所得函数）研究所得函数.的的 （4）检验）检验 x的取值是否在自变量的取值的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值范围内、结果的合理性等，并求相关的值.（5）解决提出的实际问题）解决提出的实际问题.解决关于函数

14、实际问题的一般步骤解决关于函数实际问题的一般步骤课堂小结课堂小结（配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值）（配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值）实际问题与二次函数1 1.某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线（曲线AOB）的薄壳屋顶。它的拱高）的薄壳屋顶。它的拱高AB为为4m，拱高拱高CO为为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢样画出模板的轮廓线呢?随堂练习随堂练习实际问题与二次函数1x(元元)152030y(件件)252010 若日销售量若日销售量 y 是销售价是销售价 x 的一次函数。的一次函数。（

15、1）求出日销售量）求出日销售量 y（件）与销售价（件）与销售价 x（元）（元）的函数关系式；的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？多少元？2.某产品每件成本某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售元，试销阶段每件产品的销售价价 x（元）与产品的日销售量（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下（件）之间的关系如下:实际问题与二次函数1（2）设每件产品的销售价应定为）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为元，所获销售利润为 w 元。则元。则 产

16、品的销售价应定为产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利元，此时每日获得最大销售利润为润为225元。元。15252020kbkb则则解得：解得：k=1，b40。（1）设此一次函数解析式为）设此一次函数解析式为 。bkxy22525 40050401022xxxxxw所以一次函数解析为所以一次函数解析为 。40 xy实际问题与二次函数1设旅行团人数为设旅行团人数为x人人,营业额为营业额为y元元,则则 3.某旅行社组团去外地旅游某旅行社组团去外地旅游,30人起组团人起组团,每人单价每人单价800元元.旅行社对超过旅行社对超过30人的团给予优惠人的团给予优惠,即旅行团每增即旅行团每增加一人加

17、一人,每人的单价就降低每人的单价就降低10元元.你能帮助分析一下你能帮助分析一下,当旅当旅行团的人数是多少时行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？旅行社可以获得最大营业额？3010800 xxy.3025055102xxx1100102实际问题与二次函数1 4.某宾馆有某宾馆有50个房间供游客居住，当每个个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出每个

18、房间每天支出20元的各种费用元的各种费用.房价定为多房价定为多少时，宾馆利润最大？少时，宾馆利润最大？解：设每个房间每天增加解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为元，宾馆的利润为y元元y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)y=-1/10 x2+34x+8000实际问题与二次函数1 5.某个商店的老板，他最近进了价格为某个商店的老板，他最近进了价格为30元元的书包。起初以的书包。起初以40元每个售出，平均每个月能售元每个售出，平均每个月能售出出200个。后来，根据市场调查发现：这种书包个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨的售价每上涨1元，每个月就少卖出元，每个

19、月就少卖出10个。现在个。现在请你帮帮他，如何定价才使他的利润最大？请你帮帮他，如何定价才使他的利润最大？实际问题与二次函数1 解：以解：以AB的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，以过点轴，以过点O的的y轴的垂线为轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：开口向下，所以可设它的函数关系式为：（1）因为因为y轴垂直平分轴垂直平分AB，并交，并交AB于点于点C，所，所以以 ，又，又CO0.8m，所以点，所以点B的坐的坐标为标为(2，-0.8)。因

20、为点因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（在抛物线上，将它的坐标代入（1），），得得 所以所以a-0.2 因此，所求函数关系式是因此，所求函数关系式是 。02aaxycmABCB22228.0a22.0 xy实际问题与二次函数1 6.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱每箱40元，市场调查发现：若每箱以元，市场调查发现：若每箱以50 元销售元销售,平平均每天可销售均每天可销售100箱箱.价格每箱降低价格每箱降低1元，平均每天元，平均每天多销售多销售25箱箱;价格每箱升高价格每箱升高1元，平均每天少销售元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润最大？箱

21、。如何定价才能使得利润最大？若生产厂家要求每箱售价在若生产厂家要求每箱售价在4555元之间。如元之间。如何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）每箱的价格为整数）实际问题与二次函数1 7.有一经销商，按市场价收购了一种活蟹有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，千克，放养在塘内，此时市场价为每千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天元，但是，放养一天需各种费用支出需各种费用支出400元，且平均每天还有元，且平均每

22、天还有10千克蟹死去，千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放元（放养期间蟹的重量不变）养期间蟹的重量不变）.设设x天后每千克活蟹市场价为天后每千克活蟹市场价为P元，写出元，写出P关于关于x的的函数关系式函数关系式.如果放养如果放养x天将活蟹一次性出售，并记天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹千克蟹的销售总额为的销售总额为Q元，写出元，写出Q关于关于x的函数关系式。的函数关系式。该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润利润，（利润=销售总额销售总额-收购成本收购成本-费用）？

23、最大利润是费用）？最大利润是多少？多少？实际问题与二次函数1教学目标教学目标【知识与能力】【知识与能力】【过程与方法】【过程与方法】生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用。在生活中的应用。通过实际问题，体验数学在生活实际中的通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力。广泛应用性，提高数学思维能力。在转化、建模中，学会合作、交流。在转化、建模中，学会合作、交流。通过图形间的关系，进一步体会函数，体通过图形间的关系，进一步体会函数，体验运动变化的思想验运动变化的思想实际问题与二次函数1 通过对商品涨价与降价问题的分析，感

24、受数通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情。学在生活中的应用，激发学习热情。在转化、建模中，体验解决问题的方法，培在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神。养学生的合作交流意识和探索精神。正确面对困难，迎接挑战的坚强品质。正确面对困难，迎接挑战的坚强品质。【情感态度与价值观】【情感态度与价值观】实际问题与二次函数1教学重难点教学重难点 利用二次函数解决商品利润问题。利用二次函数解决商品利润问题。用二次函数的知识分析解决有关面积问用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题。题的实际问题。建立二次函数数学模型，函数的最值。建立二次函数数学模型，函数的最值。通过图形之间的关系列出函数解析式。通过图形之间的关系列出函数解析式。