多方程第1题结构向量自回归模型SVAR-例9.1我国货币效应实证分析的VAR模型

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1、1、结构向量自回归模型（SVAR） （1）系统概述结构向量自回归模型（SVAR）的结构（表达式）、识别与约束、估计、诊断检验（如滞后结构检验、残差检验等）及应用（如脉冲响应分析、方差分解等）、预测及评估。 （2）利用例题9.1中的数据，构建结构向量自回归模型，实现以上内容，分析结果。结构VAR模型(Structural VAR，SVAR)，实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。1两变量的SVAR模型含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型结构式可以表示为下式(9.1.8)在模型(9.1.8)中假设：（1）随机误差uxt和uzt是白噪声序列，不失一般性，假设

2、方差sx2 = sz2 =1 ；（2）随机误差uxt和uzt之间不相关，cov(uxt, uzt)=0 。式(9.1.8)一般称为一阶结构向量自回归模型(SVAR(1)。它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中系数c12 表示变量zt的单位变化对变量xt的即时作用，g21表示xt-1的单位变化对zt的滞后影响。虽然uxt和uzt是单纯出现在xt和zt中的随机冲击，但如果c21 0，则作用在xt上的随机冲击uxt通过对xt的影响，能够即时传到变量zt上，这是一种间接的即时影响；同样，如果c12 0，则作用在zt上的随机冲击uzt也可以对xt产生间接的即时影响。冲击的交互影响体

3、现了变量作用的双向和反馈关系。为了导出VAR模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式该模型可以简单地表示为(9.1.9)2多变量的SVAR模型p阶结构向量自回归模型SVAR(p)为(9.1.13)其中：可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式(9.1.14)其中：C(L) = C0 -G1L -G2L2 - -GpLp，C(L)是滞后算子L的kk的参数矩阵，C0Ik。需要注意的是，本书讨论的SVAR模型，C0矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。如果C0 是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的SVAR模型。不失一般性，在式(9.1.14)假定结构式误差项(结构冲击)ut的方差-协方差矩阵标准化

4、为单位矩阵Ik。同样，如果矩阵多项式C(L)可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的VMA()形式(9.1.15)其中：式(9.1.15)通常称为经济模型的最终表达式，因为其中所有内生变量都表示为ut的分布滞后形式。而且结构冲击ut是不可直接观测得到，需要通过yt各元素的响应才可观测到。可以通过估计式(9.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击ut。从式(9.1.6)和式(9.1.15)，可以得到(9.1.16)上式对于任意的t 都是成立的，称为典型的SVAR模型。由于A0 = Ik，可得(9.1.17)式(9.1.17)两端平方取期望，可得(9.1.18)所以我们可以通过对B0 施加约束来识别S

5、VAR模型。由式 (9.1.15)，有更一般的，假定A、B是(kk)阶的可逆矩阵，A矩阵左乘式(9.1.5)形式的VAR模型，则得t = 1，2，T (9.1.19)如果A、B满足下列条件：Aet = But , E(ut ) = 0k , E(utut) = Ik，则称上述模型为AB-型SVAR模型。特别的，在式（9.1.17）的后一个表达式中，A = B0-1 , B = Ik。结构VAR(SVAR)模型的识别条件对于k 元p 阶简化VAR模型(9.2.1)利用极大似然方法，需要估计的参数个数为(9.2.2)而对于相应的k 元p 阶的SVAR模型(9.2.3)来说，需要估计的参数个数为(9

6、.2.4)要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多。对于k元p阶SVAR模型，需要对结构式施加的限制条件个数为式(9.2.4)和式(9.2.2)的差，即施加k(k -1)/2个限制条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是同期(短期)的，也可以是长期的。SVAR模型的约束形式为了详细说明SVAR模型的约束形成，从式(9.1.16)和式(9.1.17)出发，可以得到(9.2.5)其中A(L)、B(L)分别是VAR模型和SVAR模型相应的VMA()模型的滞后算子式，B0 = C0-1，这就隐含着, i= 0，1，2， (9.2.6

7、)因此，只需要对B0 进行约束，就可以识别整个结构系统。如果B0 是已知的，可以通过估计式(9.1.17) 和式(9.2.6)非常容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息ut。在有关SVAR模型的文献中，这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系。诊断检验滞后结构检验：滞后阶数p 的确定1.确定滞后阶数的LR(似然比)检验LR (Likelihood Ratio) 检验方法，从最大的滞后阶数开始，检验原假设：在滞后阶数为j 时，系数矩阵Fj 的元素均为0；备择假设为：系数矩阵Fj 中至少有一个元素显著不为0。c2 (Wald)统计量如下：其中m是可选择的其中一

8、个方程中的参数个数：m=d+ kj，d 是外生变量的个数，k 是内生变量个数，和分别表示滞后阶数为(j 1)和j 的VAR模型的残差协方差矩阵的估计。从最大滞后阶数开始，比较LR统计量和5%水平下的临界值，如果LR时，拒绝原假设，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值；否则，接受原假设。每次减少一个滞后阶数，直到拒绝原假设。2AIC信息准则和SC准则实际研究中，大家比较常用的方法还有AIC信息准则和SC信息准则，其计算方法可由下式给出：其中在VAR模型(9.1.1)中n= k(d+pk) 是被估计的参数的总数，k 是内生变量个数，T 是样本长度，d 是外生变量的个数，p

9、 是滞后阶数，l 是由下式确定的残差检验(1)相关图(Correlogram)显示VAR模型在指定的滞后阶数的条件下得到的残差的交叉相关图（样本自相关）。 (2) 混合的自相关检验(Portmanteau Autocorrelation Test)计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Box-Pierce/Ljung-Box Q统计量。 (3)自相关LM检验(Autocorrelation LM Test)计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。 (4) 正态性检验(Normality Test) (5) White异方差检验 (White Heteroskedast

10、icity Test) 脉冲响应分析实际应用中，由于VAR模型是一种非理论性的模型，因此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(impulse response function，IRF)。脉冲响应函数的基本思想用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的。下面先根据两变量的VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的基本思想。其中，ai，bi，ci，di 是参数，et = ( e1t , e2t )是扰动项，假定是具有下面这样性质的白

11、噪声向量：假定上述系统从期开始活动，且设x-1=x-2=z-1=z-2=0，又设于第期给定了扰动项e10 =1，e20 =0，并且其后均为，即e1t =e2t =0 (t 1，2，)，称此为第期给x 以脉冲。下面讨论xt与zt的响应，t= 0 时：将其结果代入式(9.4.1) ，当t= 1时再把此结果代入式(9.4.1) ，当t=2时继续这样计算下去，设求得结果为称为由x 的脉冲引起的x 的响应函数。同时所求得称为由x 的脉冲引起的z 的响应函数。当然，第期的脉冲反过来，从e10 =0，e20 =1 出发，可以求出由z 的脉冲引起的x 的响应函数和z 的响应函数。因为以上这样的脉冲响应函数明显

12、地捕捉对冲击的效果，所以同用于计量经济模型的冲击乘数分析是类似的。方差分解脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲击给其他内生变量所带来的影响。而方差分解(variance decomposition)是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化(通常用方差来度量)的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性。因此，方差分解给出对VAR模型中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性的信息。其基本思想如下所述。脉冲响应函数是随着时间的推移，观察模型中的各变量对于冲击是如何反应的，然而对于只是要简单地说明变量间的影响关系又稍稍过细了一些。因此，Sims于1980年依据VMA()表示，提出了方差分解

13、方法，定量地但是相当粗糙地把握变量间的影响关系。其思路如下：根据式(9.4.8) 可知各个括号中的内容是第j 个扰动项ej 从无限过去到现在时点对yi影响的总和。求其方差，假定ej 无序列相关，则这是把第j 个扰动项对第i个变量从无限过去到现在时点的影响，用方差加以评价的结果。此处还假定扰动项向量的协方差矩阵S是对角矩阵，则yi的方差是上述方差的k 项简单和：yi的方差可以分解成k 种不相关的影响，因此为了测定各个扰动项相对yi的方差有多大程度的贡献，定义了如下尺度：即相对方差贡献率(relative variance contribution，RVC)是根据第j 个变量基于冲击的方差对yi的

14、方差的相对贡献度来观测第j 个变量对第i个变量的影响。实际上，不可能用直到s= 的项和来评价。如果模型满足平稳性条件，则随着q 的增大呈几何级数性的衰减，所以只需取有限的s 项。VAR(p) 模型的前s 期的预测误差是可得近似的相对方差贡献率(RVC)：其中RVCji(s)具有如下的性质：如果RVCji(s) 大时，意味着第j 个变量对第i个变量的影响大，相反地，RVCji(s) 小时，可以认为第j 个变量对第i个变量的影响小。具体操作步骤：1、导入数据后，生成新的数列：GDP_P=GDP *100/P90, M1_P=M1*100/P902、对GDP_P和M1_P进行季节调整3、生成新的数列

15、：e=p-100, rr=r-e4、建立VAR。选择Quick/Estimate VAR输入相应的内生变量输入相应的外生变量，系统通常会给出常数C作为外生变量输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。尽管有一些系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数为2。3个方程拟合优度分别为：同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。从表中可以看到实际利率

16、rr、实际M1的Dln(m1) 方程和实际GDP的Dln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。5、建立矩阵A、B6、估计SVAR（矩阵形式表示的短期约束）Procs/Estimate Structural Factorization估计SVAR（文本形式表示的短期约束）在模型(9.2.13)满足可识别条件的情况下，我们可以使用完全信息极大似然方法（FIML）估计得到SVAR模型的所有未知参数，从而可得矩阵A及et和ut的线

17、性组合的估计结果如下（设VAR模型的估计残差=et）：或者可以表示为7、滞后结构检验一旦完成VAR模型的估计，在窗口中选择View/Lag Structure/Lag Length Criteria，滞后长度P=4的估计结果如下滞后长度P=2的估计结果如下各个统计量的最小滞后长度用*表示，比较上面给两个结果，可知，建立四阶的模型比较合理。AR根图表全部根的倒数值都在单位圆内，表明VAR模型是稳定的，模型稳定可以做脉冲响应函数分析。8、残差检验9、脉冲响应分析选择View/Impulse Response希望观察其脉冲响应的变量产生冲击的变量从图中可以看出，给实际利率一个正的冲击，在第1期对实际GDP波动有最大的负的影响，然后开始逐渐减弱，到第6期逐渐趋于0，但其影响都是负的。这与经济理论是相吻合的紧缩的货币政策，对经济有负的影响。从图中可以看出，给实际M1波动一个正的的冲击，在第1期对实际GDP波动就有最大的正的影响，然后震荡变小，其影响于第9期接近0，其后几乎为0，表明增加货币供应量的扩张性政策对产出约有2年的影响。11、方差分解从上面图和表中可以看出，不考虑GDP自身的贡献率，RR对GDP的贡献率最大达到17.45784%，M1对GDP的贡献率最大为10.17729%。