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1、教材金融数学李向科主编人民大学出版社，2004年授课教师：李向科Ll后期学习所要使用的数学上的结论l复习和加强已经学过的数学的认识l对部分数学概念的经济应用进行说明l分为以下4个部分：l 线性代数基础l 数学模型和建立模型l 优化问题求解l 效用函数（凸函数和凹函数）l普遍涉及到的和需要强调的概念l正交矩阵，对称矩阵对角化，特征值l二次型，正定矩阵l欧氏空间：l 向量的内积（inner product）l 向量的长度,向量的距离distancel 柯西布尼亚科夫斯基不等式l 向量的夹角，正交orthogonall 投影Project，最小二乘法least squarel两个随机变量X和Y的内积
2、l协方差：(X,Y)=cov(X,Y)l相关系数：l两个函数f(x)和g(x)的内积在此基础上同样有：距离、长度、正交、投影等几何空间中的概念dxxgxfgf10)()(),(YXYX),cov(YXYX),cov(l几个结论：X是向量，A是矩阵XXXXTTTAXAXAXXAXXT2l模型来源于原型，对原型的抽象l数学模型需要量化和假设l数学模型表现形式可以是数学公式，包括等式或不等式，也可以是图表l数学模型的最佳结果是数学公式l自然科学中数学公式较多，并且应用效果好l社会科学中数学公式少，且效果差l经济和金融学中有很多数学模型l本教材后面几章介绍金融中的几个著名数学模型l建模建立模型或模型建
3、立，modelingl建模准备：了解实际问题的背景l模型假设：对问题进行简化l建立数学模型：用数学方式（公式、图表）表现出实际问题，尽量简单化原则l模型求解：求解出结果，优化求解较多l模型分析：得到结论，做出预测l模型检验和修正：与实际比较，模拟实际l问题的背景：l资金总量为M，可投资于 n1种资产lSi(i0，1，n)，0表示存银行lSi 的平均收益率为ri，风险损失率为qi l总体风险Si 中的最大风险l投资Si 的交易费率为pi，低于ui 按ui计算l同期银行存款为r0=5%，无交易费用和损失l问题：如何总资金M如何投资，使得尽可能收益大，总体风险尽可能小l两个目标：净收益大，风险损失小
4、l两个目标不可能同时满足l限定其中一个目标的范围，另一个尽可能最优l最优解是不唯一的)(max)(max)0()0(iiniiiniqxxQlxi表示购买的Si资金量，ci(xi)是交易费，l投资于Si的净收益：Ri(xi)rixi ci(xi)l总净收益：Rl投资于Si的风险损失：Qi(xi)qixil总风险损失：Ql投资于Si所需资金：Fi(xi)=xi ci(xi)l约束条件为总资金的限制lMF（xi ci(xi)）l交易费用的数学表达式和图形iiiiiiiiiiiuxxpuxupxxc,0,0,0)(l两目标优化模型：属于多目标规划问题l单目标优化模型：分三种情况l确定风险不能超过k，
5、求最大收益l确定收益水平不能低于h，求最小损失0,)()()(minxMxFxRxQx)(max0,)()(.xRxMxFkxQst)(min0,)()(.xQxMxFhxRstl假定相对偏好10，l上面模型不容易求解。l简化费用的表达式可以将模型简化问题，l假设费用：ci(xi)pixil资金约束条件变成：F（x）(1+pi)xiMl前面的三个模型都可以变成线性规划问题，对此已经有成熟的方法解决。l线性规划 linear program)()1()(min0,)(xRxQxMxFl多元函数的极值及其判断l一阶偏导数为0（必要条件），l二阶偏导数，海森矩阵Hessian matrix的正定和负
6、定l正定极小值，负定极大值l二次多项式的极值点l如果是凹函数或凸函数，则一阶条件也是充分条件l约束条件：gi(x1,xn)=bi，i=1,2,mlLagrange multiplier将有约束条件问题转化成无约束条件极值。l引入拉格朗日乘数，构造新的函数lm+n个方程为一阶条件l拉格朗日乘子法与线性规划的区别：约束条件中的等式和不等式l应用实例l有n种资产，R是资产的期望收益率向量，W是资产的投资比例向量（需要求解），V是资产协方差矩阵，该问题是下面的优化问题l该优化问题有解的充分必要条件充分必要条件是拉格朗日乘子函数的一阶导数等于0VWWTcRWWTT21min011l效用utility是主
7、观主观感受，人为设定的满意程度l效用函数utility function是对满意程度的量化l效用函数分为：序数效用、基数效用函数l序数效用ordinal utility：效用之间只能排序l基数效用cardinal utility：用具体数值表示效用的大小l期望效用：有多种结果时用效用的数学期望lE（u）或 积分l例一、商品配置问题。用确定数量资金购买商品，如何确定每种商品的数量x1l效用函数是多元函数u(x1,x2,xn)l例二、生活质量问题。收入和休息之间的协调l效用函数是收入L和休息y 的函数u(l,y)lT是总时间，r表示每小时工资l效用函数成为一元函数lu(l,y)u(rx,Tx)l选
8、择集经过处理可以成为凸子集l其中任何两个元素可以比较“好坏”关系l“偏好关系”满足：自反性、完备性、传递性l无差异关系和严格偏好关系l字典序dictionary orderl确定状态下的效用函数l具有偏好关系的效用函数u(.)lu(x)u(y)当且仅当xyl满足：保序、中值、有界性l序数效用函数存在性定理，l假设投资有两种结果x和y，概率是p和1pl投资的结果是“彩票”，xp&(1-p)yl根据各自具体情况定义偏好关系，l需要满足10个条件l不确定状态下，基数和序数效用函数存在定理l将选择问题转换成数值大小的比较l凸、凹函数定义：分一元和多元函数 l风险态度：厌恶、偏好、中性l彩票的例子。两种
9、彩票A和BlA：100；l B：随机变量x:500（概率p），or-100l两种的期望所得应该相同，因此，p1/3l有下面3种可能的决策：l选择A风险厌恶l选择B风险偏好l随意选择AB风险中性l有了效用函数u(x)后l选择A得到的效用 u(100)l选择B得到的是期望效用lE(u(x)u(500)/32u(-100)/3l比较E(u(x)和 u(E(x)的大小，得到风险态度lu(E(x)E(u(x)：u是凹函数，风险厌恶lu(E(x)E(u(x)：u是凸函数，风险偏好lu(E(x)=E(u(x)：风险中性U(b)U(a)U(b)U(b)U(a)U(a)a a a b b b l绝对风险厌恶函数
10、：A(x)=-u(x)/u(x)l相对风险厌恶函数：R(x)=xA(x)l风险容忍函数：T(x)=1/A(x)l二次效用函数：u(x)=axbx2l幂效用函数：u(x)=x1l双曲线绝对风险回避效用函数：l负指数效用函数：u(x)=eax0,)1(1)(bbaxxu20092009年年1212月保荐代表人胜任能力考试月保荐代表人胜任能力考试配套教辅：2009年保荐代表人胜任能力考试辅导系列，圣才学习网主编：（1）证券综合知识辅导教材（第二版）（2）证券综合知识过关必做2000题（第二版）（3）投资银行业务能力辅导教材（第二版）（4）投资银行业务能力过关必做2000题（第二版）谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH
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