《半导体物理》胡礼中第三章 半导体中的电子状态

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1、第三章 半导体中的电子状态半导体独特的物理性质与其内部电子的运动状态密切相关。本章扼要介绍一 些有关的基本概念。3-1电子的运动状态和能带 3-1-1孤立原子和自由空间中的电子状态为了便于理解半导体中的电子运动状态和能带的概念，先复习一下孤立原子 中的电子状态和能级、自由空间中的电子状态和能谱的概念。一. 原子中的电子状态和能级。原子是由带正电荷的原子核和带负电荷的电 子组成的，原子核的质量远大于电子的质量。因此，可认为电子是在原子核的库 仑引力作用下绕着原子核运动的。电子绕原子核运动遵从量子力学规律，处于一 系列特定的运动状态，这些特定状态称量子态或电子态。在每个量子态中，电子 的能量（能级

2、）是确定的。处于确定状态的电子在空间的几率分布是一定的。在 讨论原子中的电子运动时，也常采用经典力学的“轨道”概念，不过其实际含义 是指电子在空间运动的一个量子态和几率分布。按“轨道概念，对于原子中的 电子，能级由低到高可分为E、E2、E3、E4.等，分别对应于Is、2s、2p、3s 等一系列量子态。如图3-1所示，内层轨道上的电子离原子核近，受到的库仑束 缚作用强，能级低。越往外层，电子受到的束缚越弱，能级越高。总之，在单个 原子中，电子运动的特点是其运动状态为一些局限在原子核周围的局域化量子 态，其能级取一系列分立值。自由空间中的电子状态和能谱。根据量子力学理论，在势场不随位置变化的自由空

3、间中，电子的运动状态满足下面的定态薛定谔方程2-v2屮(r) = E (k)屮(r)(3-1)2m该方程的解为平面波：屮 _ (r ) = eik-r kv-V3-2)一 力2 k 2 力2E(k )=(k 2 + k 2 + k 2)2m2m x y z其中，屮(r)称波函数，e(k)称能量谱值或本征值，v为空间体积，k为平面波 k的波矢，其大小为波长倒数的2n倍，即k=2n/入。这里k也起着量子数的作用, 用来标志自由电子的运动状态。Ek关系曲线如图3-2所示。在波矢为k的量子 态中，自由电子的动量 p 有确定值3-3)相应地，自由电子的速度v也有确定值3-4)mm利用能量与波矢之间的关系

4、式(3-2)，容易将速度公式改写为iT = 1V E(k)(3-5)力k总之，自由空间中电子的运动特点是在相当大的范围内自由运动，几率分布 延展于整个体积V,能谱是连续的。3-1-2 晶体中的电子状态和能带在单个原子中，电子是在原子中的电子态中运动的。当大量原子结合成晶体 后，近邻原子中的电子态(波函数)将发生不同程度的交叠，原来属于一个原子 的电子，这时则可能进入邻近原子中，因而不仅受到原来原子的作用，还要受到 其他原子的影响。此时，晶体中的电子已不再属于某个原子，而是在绕单个原子 运动的同时，还要在原子间作共有化运动，如图 3-3 所示。图3-3晶体中电子的运动图:A4周期场中电子的势能一

5、. 周期性势能。晶体中作共有化运动的电子要受到周期排列的原子的作 用，其势能V (门具有晶格的周期性V(F + R )二 V(F)(3-6)m式中，R为晶格矢量。图3-4给出了晶体周期场中电子的势能示意图。m二. 布洛赫函数。确定周期性晶格中电子运动的定态薛定谔方程为v2 + V(r) (r) = E (k)屮(r)(3-7)2m由于V(门具有晶格的周期性，根据布洛赫定理，(3-7)式解的一般形式一定可表 示为一个平面波因子与另一个周期性函数之积，即屮，门=eik-ru_(r)，且 u (r + R ) = u (r)(3-8)kkkm k(3-8)式给出的波函数就是著名的布洛赫函数。布洛赫函

6、数还可表示为另一种 形式：屮r (r + R )二 eikr-R副r (r)(3-9)kmk式中，波矢k也起着量子数作用，用来标志电子的运动状态。平面波因子与自由 电子的波函数相同，而u (r)在各原胞中只是周期性重复着。因此，可对上面形k式的波函数给予一个粗略的解释：平面波因子是描述电子在晶体中作共有化运动 情况的，而周期性函数则是描述电子在每个原胞中绕原子运动情况的。三. 晶体中电子的能带结构。晶体中的电子既有绕原子运动的属性，又有在 原子间作共有化运动的属性。因此，其能谱分布就应该在原子能级的基础上按电 子共有化运动的不同分裂成若干组，每一组中的能级彼此靠得很近，组成有一定 宽度的能级带

7、，简称能带，而不同能带间的能量间隙则为电子的能量禁区，如图 3-5所示。每个能带对应一个能量E作为k的函数，不同的能带对应不同的函数。因此，为了表示晶体中电子运动状态和能带，需引入两个量子数，一个是量子数“n”，它是能带的编号，另一个是波矢k,它是每个能带中不同能级和电子态的标志。从而晶体中电子的能谱和波函数可分别表示为:E （k）和屮 _（r）n=1， 2， 3， nn,k且有E (k + K )二 E (k)nlnE (a k )二 E (k)nnE (- k)二 E (k)nn(3-10)(3-11)式中，K为倒格矢，a为晶体空间群点群的操作元素。（3-11 ）式是由晶体能带l参见半导体

8、理论讲义）E图卜5晶体中电子能带的形成的对称性得到的，晶体能带的对称性与该晶体的空间群点群的对称性相同。（可总之，原子结合成晶体后，由于原子之间的相互作用，使得原子中电子的能 级分裂成晶体中电子的能带。一般而言，内层电子态间的交叠小，原子间的影响 弱，分裂成的能带比较窄；而外层电子态间的交叠大，分裂的能带比较宽，以至 于近邻的能带有可能发生重叠。利用第二章讨论过的周期性边界条件，同样可得晶体中电子的波矢k的取值 也是非连续的，每个能带中k的代表点数为N, N为晶体的总原胞数。能带中的 每个能级可容纳两个自旋相反的电子，从而每个能带中的电子态数为2N个。四. 晶体中电子的平匀速度和准动量。根据量

9、子力学理论，晶体中电子的运 动速度（动量）是不确定的，只能取平均速度和准动量。与自由电子类似，在晶 体的每个量子态中，电子作共有化运动的平均速度可表示为3-12)而晶体中电子的准动量则可表示为p = hk3-13)式中，E （k）为晶体中电子的能谱。n五. 晶体中电子的加速度和有效质量。晶体中电子在外场力F作用下的加速度可表示为a =忙 1 vdt n kdE (k )ndt(k) 牛 dt1dp 1=v v E (k) dP = v v E (k) Fn 2 k k n dtn 2 k k n(3-14)式中，外场力F = dp = hdk = -e（8+ux B）。将（3-14）式与牛顿第

10、二定律比较,dt dt只要定义11=v_v_E （k）（3-15）m h 2 k k n则在形式上， （3-14）式与牛顿第二定律是一致的。这里将由（ 3-15）式定义的 量称有效质量倒数张量，是一个二级张量（三维情况下的二级张量有 32=9 个分 量，二维情况的二级张量有 22=4 个分量，一维情况的二级张量有 12=1 个分量）。 因此，（3-14）式也可写为a =（丄） F = m-i F（3-16）dt m式中， m 称有效质量，也为张量。（3-16）式说明，晶体中电子的加速度同外力 之间关系，在形式上与牛顿第二定律类似，差别只在于要用电子的有效质量代替 惯性质量。之所以如此，是因为晶

11、体中的电子除了受外力作用外，还要受晶体内 部的周期性势场的作用，而有效质量就是表达这部分作用的。总之，晶体中电子运动的特点是，不仅绕每个原子运动，还要在原子之间作 共有化运动，能谱分裂成一系列能带。3-2 价带、导带和禁带一.价带：T=OK时，在晶体电子的一系列能带中，完全被价电子占据（满） 的最高能带称价带。价带中的电子被共价键束缚着，不参与导电。价带一般用EV表示；二. 导带：T=OK时，在晶体电子的一系列能带中，完全被空着的最低能带 称导带。由于导带是空的，激发到导带中的电子可在状态中自由运动，参与导电。 导带一般用EC表示；三. 禁带：导带与价带间的能量间隙称禁带，导带底与价带顶间的能

12、量差称 禁带宽度，用E表示，见图3-6。g四. 直接带隙半导体和间接带隙半导体：在k空间中，若半导体的导带底与 价带顶发生在同一k值点，则为直接带隙半导体，否则为间接带隙半导体。图46晶体的能带结构示总图3-3 （自由）载流子一. 空穴：共价键上的电子空位称空穴。一定温度下，半导体中总有少数电 子被作热振动的晶格激发，从共价键中挣脱出来，成为自由电子。与此同时，在 其原来的共价键上，留下电子的空位，即空穴。电子一空穴对的这种产生过程， 在能带图上，相应于电子由价带到导带的激发过程。结果在导带上出现电子，在 价带中留下了空穴，见图3-7。导带电子和价带空穴还可通过掺杂等其他途径获 得。（下一节讲

13、）二. （自由）载流子：导带电子和价带空穴可自由运动，在外电场的作用下 将沿着电场作用方向作漂移运动，从而引起电流。因此将二者统称为（自由）载流子。图3-了导带电了与价带空穴3-4杂质能级与杂质补偿效应*n型半导体：主要由导带电子导电的半导体称n型半导体;*p型半导体：主要由价带空穴导电的半导体称p型半导体。II 0 II=Si = Si = Si = Si=IIIIIIII Si S1 = Sj =二 Sj二IIHDIIIIII11.II Si =, Si = P SillHlIIiinii二牙i 二二 Si =5i= Si=IIIiIIKIIIIIEl=81 =sr=sj !1IIIIII

14、=Si =Si-Si :II|i|iiIIIIiiiitl=Si =SiB!Na）或Na-Nd（NaNd）称有效施主或有效受主密度，而半 导体的导电类型则由有效杂质密度决定。三其他与杂质和缺陷有关的概念1.两性杂质：W族元素原子在III-V族化合物半导体中的行为比较复杂。如 果W族原子取代晶格中的III族原子，起施主作用；若其取代的是晶格中的V族原 子，则起受主作用。从而称这类杂质为两性杂质。2缺陷能级与自补偿由电负性差别较大的原子结合成晶体时，形成离子晶体。构成离子晶体的元 素是正负离子，这些正负离子相间排列构成稳定的离子晶体结构。对离子晶体有 以下概念：1）正电中心：负离子空位和间隙正离子

15、为正电中心。正电中心束缚的电子 容易摆脱出去成为导带电子，因此具有正电中心的半导体相当于掺有施主杂质， 呈n型。2）负电中心：正离子空位和间隙负离子为负电中心。负电中心容易从价带 中夺取电子，从而使价带出现空穴，因此具有负电中心的半导体相当于掺有受主杂质，呈p型。图3-11中画出了正电中心和负电中心的示意图。 一 +图3T1正电中心与负电中心3) 缺陷能级：由正电中心和负电中心在禁带中引起的类似于杂质能级的能 级称缺陷能级。缺陷能级也可由位错等其它缺陷引起。4) 自补偿：许多离子型半导体，如大多数II-W族化合物半导体，它们或 者只能是n型的，或者只能是p型的，不容易实现两种导电类型。这是因为在离 子型半导体中，往往容易形成负离子或正离子空位。因而在通常条件下，总有相 当数量的正电中心或负电中心存在，它们起着施主或受主作用。因此，当掺入少 量的受主或施主杂质时，要被其自身的正电中心或负电中心补偿，从而只能是n 型的或p型的。这种由晶体自身的离子空位引起的补偿，称自补偿。自补偿对半 导体的导电性能有着重要影响。布洛赫(Felix Bloch)：美国瑞士裔物理学家，1905-1983,1952年获诺贝尔奖。 布洛赫定理：在周期场中运动的单电子波函数，不论其具体形式如何，一定可表 示为一个平面波因子与另一个周期性函数之积。