层次分析及matlab算法

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1、层次分析法、效益分配、幻方陶志穗主讲层次分析法（Analytic Hierarchy Process,简称AHP法）是美国运筹学家、匹 兹堡大学教授T.L.Saaty于20世纪70年代提出来的，它是一种对较为模糊或较为 复杂的决策问题使用定性与定量分析相结合的手段作出决策的简易方法.特别 是将决策者的经验判断给予量化，它将人们的思维过程层次化，逐层比较相关因 素，逐层检验比较结果的合理性，由此提供较有说服力的依据.很多决策问题通 常表现为一组方案的排序问题，这类问题就可以用AHP法解决.近几年来，此法 在国内外得到了广泛的应用.以下我们用一个简单例子来说明AHP法的基本步骤。例6.8.1某工厂

2、在有一笔企业留成的利润，厂领导要决策如何合理使用这笔 资金.根据各方面的意见，可供领导决策的方案有：（1）作为奖金发给职工；（2）扩 建职工福利的设施；（3）对职工进行技术培训；（4）引进新设备扩大生产.领导在 决策时，要顾及到调动职工生产积极性，提高职工技术水平,改善职工物质文化生 活状况等方面.工厂领导希望知道应按什么比例来使用这笔资金才较为合理。1. 建立层次结构模型在AHP法研究问题时，要根据问题中各因素的因果关系将其分成若十个层 次。较简单的问题通常可分为三层：目标层（最高层）、准则层（中间层）和措施层（最 低层）。目标自然是合理使用这笔资金。准则是有利于调动职工的积极性；有利 于提

3、高企业的生产能力；有利于改善职工的工作、生活环境。措施就是具体的花 钱方案。按决策者的意图，可以建立起本问题的层次结构模型如图6.8.1所示。目标层O准则层C调动职工的 积极性C提高企业的 技术水平C改善职工的工作 与生活环境C2措施层p给职工发奖金P扩建职工的福利设施P提高职工的技术水平P.3扩大生产规模P4图 6.8.1图中的连线反映了各因素的关联关系。描绘层次结构图是一项细致的分析工作,要有一定经验.根据层次结构图确定 每一层的各因素的相对重要性的权数，直至计算出措施层各方案的相对权数.利用 这些权重，可计算资金的分配比例.2. 构造判断矩阵要比较n个因子B，B，B对某因素F的影响大小，

4、通常采取对因子进行两 12 n两比较的办法，建立成对比较矩阵。设气表示因子B.和B.对因素F的影响大小之 比，再设矩阵A=(a儿，称A为判断矩阵或成对比较矩阵。显然，矩阵A具有 性质：(1) a 0;(2) a = .(i,j=1,2,.,n).(6.8.1)j满足这两个性质的矩阵称为正互反矩阵。根据心理学的研究结果，若分级太多，则会超越人们的判断能力，因此通常用 数字19及其倒数作为矩阵A的标度。如表6.8.1所示。表 6.8.1标度a.含义ij135792,4,6,8倒数因子B.和B.同等重要 因子B：比B.略重要 因子B：比B较重要 因子B：比B.非常重要 因子B.比B绝对重要 以上两判

5、断的中间状态因子B.与B.比较时，标度为a. =1/ aj在例6.8.1中，为了确定各准则在目标中所占的权重，我们构造O-C层的判 断矩阵.例如，决策者认为准则C1与准则C3比较，在目标中所占的权重应为2:1; 准则C2与准则C3比较，在目标中所占的权重应为5:1;准则C2与准则C1比较， 在目标中所占的权重应为2:1.则有下面的判断矩阵.OAA(11/2 2)A0 =2151/2 1/5 1)11/222151/21/51类似地，可构造C-P层的判断矩阵.确定措施层中p1,p2,p3在C1中的权重_P5A1 -1141/5 1/4 1)115114_P1/51/41_x_l_12_1_:再确

6、定措施层中P3,P4在C2中的权重然后确_P_P11_P111)1LJ定措施层中p1,p2,p3在C3中的权重-P-_P1251/2131/51/31(125 )A 1/21331/51/31J3. 判断矩阵的一致性检验我们知道，若有三个物体甲、乙、丙，甲的重量是乙的2倍，而乙的重量又 是丙的3倍，则甲的重量必是丙的2X3=6倍.根据这个原理，判断矩阵还应满足:气气匕,V i, j, k 1,2, n(6.8.2)满足(6.8.2)的判断矩阵称为一致矩阵.但在构造判断矩阵时，要做C2 n(n-1)/2 次成对比较，当n较大时，要做到完全一致是十分困难的.另外，在成对比较时，我们 采用了 19的

7、标度，就意味着接受一定程度的误差.因此，不应要求判断矩阵具有严 格的一致性，而是允许判断矩阵在一定程度上非一致.于是，就要考虑如何检验判 断矩阵是否严重地非一致，以便确定是否可以接受它.设X为判断矩阵A的最大特征值(用matlab： eig(A),可以证明，当A是一致 矩阵时，咤是利了，否则平均值 n Xmax比n大得越多，判断矩阵A的非一致程度CI Xmax - n ,(6.8.3)n -1作为判断一致性指标.当且仅当判断矩阵A为一致矩阵时,CI=0. CI的值越大，A的非一致性越严重。 由代数知识可知，判断矩阵A的n个特征根之和等于其对角线元素之和n.若以 S表示A的除人 外的其余n-1个

8、特征根的和，则人+ S = n .因此maxX - n -严1 maxn 一 1n 一 1可见，CI其实是A的除X外其余n-1个特征根的平均值的绝对值。当CI 稍大于0时,A具有较为满意的一致性，否则，A的一致性就较差。虽然CI值能反映出判断矩阵A的非一致性的严重程度,但未能指明该非一致 性是否可以接受。因此，我们还需要引入一个度量的标准。即所谓随机一致性指 标RI。它是用从19及其倒数中随机抽取的数字构造的n阶正互反矩阵,算出相 应的CI，取充分大的样本，计算得的样本均值。表6.8.2列出了部分结果。表 6.8.2n1234567891011RI000.580.901.121.241.321

9、.411.451.491.51当 E 时，把CI与RI之比定义为一致性比率CRCI ，、CR =,(6.8.4)RI由于1,2阶正互反矩阵总是一致矩阵，故RI=O,此时，我们定义CR=0。当CRV0.10时，可以接受判断矩阵A，否则，要对判断矩阵A做修正。对于例6.8.1,利用公式(6.8.3)和(6.8.4)，一致性检验数据如表6.8.3示。表 6.8.3判断矩阵n入CIRICR3max3.005540.002770.580.00478句33.005540.002770.580.004782200033.003690.001850.580.00318可见，4个判断矩阵的一致性比率均有CRV0

10、.10.即均可通过一致性检验。4.权向量我们设想把一块单位重的大石头O砸成n小块C1，C ,.%,若称得每小块的重量分别是,w，w，并把这些小石块两两比较重量，设。=w / “，则成对12比较矩阵为nA=w / ww / w2 1.w / w w / w.w / w、 w / w .iji j,w / ww / ww / w /n1n2nn显然矩阵A是-致矩阵，再记w=(w , w，,w )T ,则该向量反映了 n块小石12n块的相对于小石块的权重。同时，它显然满足(1)U w. =1,即w是归一化向量；j=1Aw=nw.即w是矩阵A的特征值n的特征向量(matlab:V,D=eig(A),D

11、为对角 阵，对角线上的元素为特征值；V为每个特征值对应的特征向量(入max列)， 再除以特征向量之和即为权重系数。一般地，判断矩阵A的关于最大特征值人 的归一化特征向量w反映了各因 子对某因素的影响权重，称为权向量。在例6.8m1x中，各判断矩阵的最大特征值人 的归一化特征向量如表6.8.4所示。max表 6.8.4判断矩阵入权向量wmax3.00554(0.276, 0.596,0.128)t3.00554(0.466, 0.433,0.101)t%2(0.50, 0.50)tA3.00369(0.582, 0.309,0.109)t可见，在准则层中，准则C2对目标的权重最大，达0.596,

12、准则C1次之，占 0.276,权重最小的是C3,仅占0.128.其余类推。5. 组合权向量设上一层（A层）含m个因素A%,A，它们对目标O的权向量为w（A）= （a ,a，,a ）t。再设其下一层（B层）含n个因子B ,B，,B，它们关于因素 12m12nA.的权向量分别为w = （b , b ,b ）t，i=1,2,.,m.（注：当B.与A.无联系时，b=0）。则1ii1i 2inJ 1lJB层对于目标O的权向量为w（B） = （b ,b，b ）T,其中b二并ab ,J = 1,2,.，n。计算方12 nJi iJi=1法见表6.8.5.表 6.8.5A层层B1B2.BnAa,b、b、c.b

13、1111121nAabnibe.h2221222n Aab |be.bm 1mB层对于ab艺 ab .ab目标的权重i i1i i 2i ini=1i=1i=1对于例6.8.1，利用表6.8.4的数据，可以求出P层对目标的权向量。如表6.8.6 所示。表 6.8.6P 层P1P。PaPC层 1234C1 0.2760.4660.4330.1010c2 0.596000.5000.500C 0.1280.5820.3090.1090P3层对于目标的权重0.2030.1590.3400.298从表6.8.6可见，根据p层对于目标的权重，工厂决策者应该把留成利润的20.3% 用于给职工发奖金；15.

14、9%用于扩建职工的福利设施；34.0%用于提高职工的技术水平;29.8% 用于扩大生产规模.6. 总体一致性检验在应用AHP法解决重大决策问题时，除了要对每个判断矩阵作一致性检验 外，还需作组合一致性检验和总体一致性检验。组合一致性检验是逐层进行的。设第k-1层有t个因素，共s层，第k层的各 判断矩阵一致性指标分别为CI（k），,CI,），随机一致性指标分别为RI；k），,RI（k） 第k-1层对目标O的权向量为w（k-1） = （a,a ）T w（k-1）.则第k层组合一致性比率定义k=3,4，,s(6.8.5)EaCI (k) j j CR (k) = 4=1a RI(k) j j j=1

15、CR=0, CR(2)为准则层判断矩阵的一致性比率.第k层通过组合一致性检验的条 件一般为 CR(k)0.1.总体一致性比率定义为CR = CR , (6.8.6)对于重大的决策问题，应控制CR*适当地小，才能认为总体上通过一致性检 验。对于例 6.8.1, CR(2) = 0.00478,CR=0.004270.00277 x 0.276 + 0 x 0.596 + 0.00185 x 0.1280.58 x 0.276 + 0 x 0.596 + 0.58 x 0.128CR* = 0.00478 + 0.00427 = 0.00905 0.82981.78460.3855归一化0.2766、0.59490.1285 )(11/22 )(0.28570.29410.2500、215按列归一化0.57140.58820.6250J/21/51JC 0.14290.11760.1250)A =0最后结果就是A0的权向量的近似值，与(0.276, 0.596,0.128)t比较，可见效果 不错。