第九章-质点动力学基本方程

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1、1动力学的抽象模型动力学的抽象模型质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可 忽略不计的物体。忽略不计的物体。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点组质点系：由几个或无限个相互有联系的质点组 成的系统。成的系统。质点动力学质点动力学质点系动力学质点系动力学刚体：特殊质点系，其中任意两点之间的距离刚体：特殊质点系，其中任意两点之间的距离 保持不变。保持不变。9.1 9.1 动力学的任务动力学的任务动力学研究作用于物体上的力和物体运动状态变化之间的关系。动力学研究作用于物体上的力和物体运动状态变化之间的关系。动力学的内容极为丰富，并且随着科学技术的发展在不断发

2、展。动力学的内容极为丰富，并且随着科学技术的发展在不断发展。动力学在工程技术中的应用也极为广泛动力学在工程技术中的应用也极为广泛,例如各种机器、机构等的设计、例如各种机器、机构等的设计、航空航天技术等，都要用到动力学的知识。航空航天技术等，都要用到动力学的知识。29.2 9.2 动力学的基本定律动力学的基本定律 质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿(1642(16421727)1727)在总结前人，特别是伽利略研究成果的基础上提出来的在总结前人，特别是伽利略研究成果的基础上提出来的,称为牛称为牛顿三定律。顿三定律。牛顿第一定律牛顿第一定律

3、:质点如不受力作用质点如不受力作用,则保持其运动状态不变则保持其运动状态不变,即保即保持静止或做匀速直线运动。持静止或做匀速直线运动。惯性惯性:不受力作用（包括受平衡力系作用）的质点，其运动状态不受力作用（包括受平衡力系作用）的质点，其运动状态保持不变的性质称为惯性。匀速直线运动称为惯性运动。保持不变的性质称为惯性。匀速直线运动称为惯性运动。3 第二定律第二定律(力与加速度之间的关系的定律力与加速度之间的关系的定律)：质点因受力作用而产：质点因受力作用而产生加速度，其大小与作用于质点的力的大小成正比而与质量成反比。生加速度，其大小与作用于质点的力的大小成正比而与质量成反比。或者质点的质量与加速

4、度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加或者质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。即速度的方向与力的方向相同。即Fa m 第二定律建立了质点的质量、作用于质点的力和质点运动加速度第二定律建立了质点的质量、作用于质点的力和质点运动加速度三者之间的关系，并由此可直接导出质点的运动微分方程，它是解决三者之间的关系，并由此可直接导出质点的运动微分方程，它是解决动力学问题最根本的依据。上式表明，质点的质量越大，其运动状动力学问题最根本的依据。上式表明，质点的质量越大，其运动状态越不容易发生改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是物体惯态越不容易发生改变，也就是质点

5、的惯性越大。因此，质量是物体惯性的度量。性的度量。4 当质点同时受到几个力的作用时，式中的应为此汇交力系的合当质点同时受到几个力的作用时，式中的应为此汇交力系的合力，此时，第二定律可表示为：力，此时，第二定律可表示为：Fam21N 1kg 1m s/在国际单位制在国际单位制(SI)中，力的单位是牛顿。质量为中，力的单位是牛顿。质量为1kg的质点，获得的质点，获得1m/s2的的加速度时，作用于该质点的力为加速度时，作用于该质点的力为1N(牛顿牛顿)，即，即 521dyn1g1cms/牛顿和达因的换算单位是牛顿和达因的换算单位是51N10 dyn 第三定律第三定律(作用与反作用定律作用与反作用定律

6、)：两个物体间的作用力与反作用力：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时分别作用在两个物总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时分别作用在两个物体上。第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引起的。体上。第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引起的。在精密仪器工业中，也用厘米克秒制在精密仪器工业中，也用厘米克秒制(CGS)。力的单位是。力的单位是dyn(达因达因)，即，即69.3 质点运动微分方程 质点运动微分方程三种表示法m aF M F1 Fn F2 r O 设质点设质点M的质量为的质量为m，在诸力，在诸力F1,F2,Fn的作用下沿曲线运

7、动，如图的作用下沿曲线运动，如图所示。质点动力学基本方程为所示。质点动力学基本方程为 22ddtra而而22ddmtrF故有故有7 上式称为质点运动微分方程的上式称为质点运动微分方程的矢量式矢量式。将上式投影到直角坐标轴上，。将上式投影到直角坐标轴上，有有222222ddddddxyzxmFtymFtzmFt称为称为直角坐标形式直角坐标形式的质点运动微分方程。将矢量形式的质点运动微分方程的质点运动微分方程。将矢量形式的质点运动微分方程投影到自然坐标轴上，有投影到自然坐标轴上，有222dd0nbsmFtvmFF称为称为自然坐标形式自然坐标形式的质点运动微分方程。的质点运动微分方程。M n b M

8、 T T 法平面法平面 密切面密切面 切线切线 主法线主法线 副法线副法线 T1 运动轨迹运动轨迹 89.3.2 质点动力学的基本问题质点动力学的基本问题1 1第一类问题第一类问题已知质点的运动，求作用于质点上的力。求解这类问题实际上是一个求导数已知质点的运动，求作用于质点上的力。求解这类问题实际上是一个求导数的运算。求解这类动力学问题的步骤可大致归纳如下：的运算。求解这类动力学问题的步骤可大致归纳如下：(1)(1)选取研究对象，画受力图；选取研究对象，画受力图；(2)(2)分析运动，根据给定的条件，分析某瞬时的运动情况；分析运动，根据给定的条件，分析某瞬时的运动情况；(3)(3)根据研究对象

9、的运动情况，列质点的运动微分方程；根据研究对象的运动情况，列质点的运动微分方程；(4)(4)求解未知量求解未知量 2 2第二类问题第二类问题 已知作用于质点上的力，求质点的运动。求解这类问题实际上是一个求积已知作用于质点上的力，求质点的运动。求解这类问题实际上是一个求积分的运算，积分时出现的积分常数必须由质点运动的初始条件分的运算，积分时出现的积分常数必须由质点运动的初始条件(质点的初位置质点的初位置和初速度和初速度)来确定求解第二类问题时，求解的步骤和第一类问题求解的步骤基来确定求解第二类问题时，求解的步骤和第一类问题求解的步骤基本相同。本相同。3.3.混合问题：第一类与第二类问题的混合混合

10、问题：第一类与第二类问题的混合.9【例【例9-19-1】质量为】质量为 m 的质点的质点 M 在坐标平面在坐标平面 Oxy 内运动，内运动，已知其运动方程为已知其运动方程为x=acost，y=bsint，其中，其中a、b和和均均为常数，求质点为常数，求质点M 所受到的力。所受到的力。解：应用直角坐标形式的质点运动微分方程，可得质点解：应用直角坐标形式的质点运动微分方程，可得质点所受的力在所受的力在x、y 轴上的投影的代数和分别为轴上的投影的代数和分别为2222dcosdxxFmmatmxt 2222dsindyyFmmbtmyt 10 D M mg 60 v l F r【例【例9-29-2】质

11、量为质量为1 1kg的重物的重物M，系于长度为，系于长度为l=0.3m的线上，的线上，线的另一端固定于天花板上的线的另一端固定于天花板上的D点，重物在水平面内做匀速点，重物在水平面内做匀速圆周运动而使悬线成为一圆锥面的母线，且悬线与铅直线圆周运动而使悬线成为一圆锥面的母线，且悬线与铅直线间的夹角恒为间的夹角恒为60o，如图所示，试求重物的速度和线上的张，如图所示，试求重物的速度和线上的张力。力。解：选择重物解：选择重物M为为研究对象，受力分析研究对象，受力分析如图所示。如图所示。M的运动轨的运动轨迹为圆周，选用自然迹为圆周，选用自然坐标形式的质点运动坐标形式的质点运动微分方程微分方程 .11

12、解：选择重物解：选择重物M为研究对象，受力分析如图所示。为研究对象，受力分析如图所示。M的运动轨迹为圆周，选用自然坐标形式的质点运动的运动轨迹为圆周，选用自然坐标形式的质点运动微分方程微分方程 .bd0dvmFt2nsin60vmFFr0cos60Fmg sin602 1m sFrv./m联立求解，可得联立求解，可得 D M mg 60 v l F r nbNF6.1912 mg l F 0 v【例【例9-3】如图所示的单摆，摆长为】如图所示的单摆，摆长为l，摆锤的质量为，摆锤的质量为m，初始时将摆锤拉到最，初始时将摆锤拉到最大偏角大偏角 ，然后无初速度释放，试求单摆的运动方程。，然后无初速度

13、释放，试求单摆的运动方程。0 解：选择摆锤为研究对象，分析受力如图所示。摆锤的运动轨迹为圆周，解：选择摆锤为研究对象，分析受力如图所示。摆锤的运动轨迹为圆周，选用自然坐标形式的质点运动微分方程选用自然坐标形式的质点运动微分方程 maF而而 ，代入上式，可得，代入上式，可得 ddvatsinFmg，dsindvmmgt 又因为又因为 ，上式可表示为，上式可表示为 dd()ddsvllttsinmlmg sin，上面的运动微分方程可写为，上面的运动微分方程可写为 由于由于130gl20kgkl引入引入 ，则上式可表写为，则上式可表写为它的通解为它的通解为cos()ktA由初始条件由初始条件：，可得

14、，可得00t000()ttvl，00A，这样单摆的运动方程可表示为这样单摆的运动方程可表示为 0coskt22lTkg 这是一个周期函数，周期为这是一个周期函数，周期为 14 F x R A O【例【例9-4】试求脱离地球引力场的宇宙飞船所需的最小初速度。】试求脱离地球引力场的宇宙飞船所需的最小初速度。解：取地球中心解：取地球中心O为坐标原点，坐标轴为坐标原点，坐标轴x垂直向上。不妨设地球的半径为垂直向上。不妨设地球的半径为R，地球的质量为地球的质量为M，飞船的质量为，飞船的质量为m。取。取飞船飞船A为研究对象，受力分析如图所示。为研究对象，受力分析如图所示。F是地球对飞船的引力，可表示为是地

15、球对飞船的引力，可表示为 2M mFfx在地球的表面，在地球的表面，F为飞船的重力，即有为飞船的重力，即有 2M mmgfR可得可得2fMgR22xmgRF 即即15飞船的运动微分方程可表示为飞船的运动微分方程可表示为 2222ddxmgRmtx 即即22ddvgRtx 由于，代入上式，由于，代入上式，可得可得ddddddddvvxvvtxtx22ddgRv vxx 两边同时积分，可得两边同时积分，可得 2220112vvgRRx欲使飞船脱离地球引力范围，则当欲使飞船脱离地球引力范围，则当x 时，时，v0。取取v=0，R=6370km，g=9.8 m/s2，可得可得0211 2km svgR.

16、/F x R A O 16例例9-5粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为，绕通过中心的水平，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。017解：研究铁球解：研究铁球cos2mgFRvmNRnv30其中解得时当,0,0NF0cos549.9Rgn 球不脱离筒壁。时当,49.9Rgn 已知已知:匀速转动。匀速转动。时小球掉下。时小球掉下。求求:转速转速n.018 例例9-6：质量为的质点质量为的质点m

17、，离地面为，离地面为h，以初速度，以初速度v0作竖直上抛运动。设不计空气阻力，作竖直上抛运动。设不计空气阻力，试分别用不同坐标系，建立质点运动微分方程。试分别用不同坐标系，建立质点运动微分方程。19解：不计空气阻力，质点只在重力作用下作直线运动。（a）质点运动微分方程tvgtyvgtvvvytyy02000021.,00积分微分方程，得时，初始条件：gdtydmgdtydm2222即20解：不计空气阻力，质点只在重力作用下作直线运动。（b）质点运动微分方程htvgtyvgtvvvhytyy02000021.,0积分微分方程，得时，初始条件：gdtydmgdtydm2222即21解：不计空气阻力

18、，质点只在重力作用下作直线运动。（c）质点运动微分方程tvgtyvgtvvvytyy02000021.,00积分微分方程，得时，初始条件：gdtydmgdtydm2222即22解：不计空气阻力，质点只在重力作用下作直线运动。（d）质点运动微分方程htvgtyvgtvvvhytyy02000021.,0积分微分方程，得时，初始条件：gdtydmgdtydm2222即23mgdtdykmmgkmvdtydmdtdxkmkmvdtxdmmgdtdykmmgkmvdtydmdtdxkmkmvdtxdmyxyx22222222或例例9-724精品课件精品课件！25精品课件精品课件！26 例9-8：如图所示，在三棱体 的粗糙斜面上放有重为 的物体 ，三棱体以匀加速度 沿水平方向运动。为使物件在三棱体上处于相对静止，试求 的最大值，以及这时对三棱体的压力。假设摩擦系数为 ，并且 。ABCWMaatanffagWFFsNcossin0sincosWFFsN 解：选物件为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有NsfFF gffasincoscossinsincosfWFN 其中：解得 yx