第三章平面一般力系介绍

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1、第三章 平面一般力系【本章重点内容】平面一般力系向作用面内一点简化平面一般力系的平衡条件与平衡方程 3-1 平面一般力系的概念平面一般力系的概念平面一般力系平面一般力系 ：作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内，既不汇交于同一点，也不完全平行，这种力系称为平面一般力系。它是工程实际中最常见的力系。)(10111FMMFFiiRFFF)(iOiOFMMM平面汇交力系的合成：平面力偶系的合成：合力合力偶主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。当提到主矩时必须明确对哪一点而言。二、主矢与主矩的定义二、主矢与主矩的定义 xixixRxFFFFyiyiyRyFFFF三、主矢和主矩的计算三、主矢

2、和主矩的计算主矢大小22)()(iyixRFFF方向cos(,)ixRRFFiFcos(,)iyRRFFjF主矢的计算方法与汇交力系的计算方法相同。主矢的计算：解析法：主矢作用点：简化中心简化结果及分析简化结果及分析结果结果：平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢和一个主矩，主矢的大小和方向与简化中心的选择无关。主矩的值一般与简化中心的选择有关。分析分析：（1）若 ，则原力系简化为一个力和 一个力偶。在这种情况下，根据力的平移定理，这 个力和力偶还可以继续合成为一个合力F FR R，其作用 线离O点的距离为 ，利用主矩的转向来 确定合力F FR R的作用线在简化中心的哪一侧。00ORMF，

3、/ORdMFOF FR R MoOF FR R d OMoF FR R OF FR R d(2)若 ，则原力系简化为一个力。在这种情况下，附加力偶系平衡，主矢即为原力系的合力F FR R，作用于简化中心。（此时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）(3)若 ，则原力系简化为一个力偶，其矩等于原力系对简化中心的主矩。此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。即无论力系向哪一点简化都是一个力偶，且力偶矩等于主矩。(4)若 ，则原力系是平衡力系。00ORMF，00ORMF，00ORMF，练习练习四、平面固定端约束四、平面固定端约束固

4、定端约束:物体的一端完全固定在另一个物体上。约束反力认为Fi这群力在同一平面内;=固定端约束简化：A固定端约束简化为AxFAyFAM 平面任意力系简化主矢、主矩分解主矢固端约束力四、平面固定端约束四、平面固定端约束第三章第三章 平面一般力系平面一般力系 物体在平面一般力系的作用下平衡的充分和必要条件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。00 oRMF即3-3平面一般力系的平面一般力系的 平衡方程平衡方程一、平面一般力系的平衡条件一、平面一般力系的平衡条件)()()(22iOOyxRFMMFFF主矢和力系对任意点的主矩分别为：平面任意力系平衡的解析条件：（1）各力在两个任选坐标轴上投影的代

5、数和 分别等于零。（2）各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。000oyxMFF)()()(22iOOyxRFMMFFF因为平面任意力系的平衡方程一、平面一般力系的平衡条件一、平面一般力系的平衡条件悬臂吊车如图示，横梁AB长l2.5m；0 xF 求图示位置a2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。例题拉杆CB倾斜角450，质量不计。重量P1.2kN；载荷Q7.5kN；解：1）取AB梁为研究对象ABC2lalPQTFAxFAyFABxyPQ画受力图2）写平衡方程cos0AxTFF0yF sin0AyTFPQF 0AMF sin02TlFlPQa 3）解平衡方程sin13.2kN2TlFPQal（1

6、）（2）（3）由（3）式悬臂吊车如图示，横梁AB长l2.5m；0 xF 求图示位置a2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。例题拉杆CB倾斜角450，质量不计。重量P1.2kN；载荷Q7.5kN；解：ABC2lalPQTFAxFAyFABxyPQ2）写平衡方程cos0AxTFF0yF sin0AyTFPQF 0AMF sin02TlFlPQa 3）解平衡方程sin13.2kN2TlFPQalcos11.43kNAxFT2.1kNAyF由（1）和（2）式得（1）（2）（3）练习：如图所示为高炉加料小车。小车由钢索牵引沿倾角为a=30的轨道匀速上升，已知小车的质量G=10kN，绳与斜面平行，a=05

7、m，b=02m，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对车轮的约束力。练习练习已知：AC=CB=l,P=10kN;求：铰链A和DC杆受力。（用平面任意力系方法求解）解：练习已知：AC=CB=l,P=10kN;求：铰链A和DC杆受力。（用平面任意力系方法求解）解：取AB梁，画受力图。0 xF 0yF0cos450AxcFF0sin450AycFFP0AM0cos4520cFlPl 解得20kN,10kNAxAyFF 28.28kNCF 讨论平面任意力系平衡方程的其他形式二、平面任意力系平衡方程的三种形式二、平面任意力系平衡方程的三种形式一般式000AyxMFF二矩式000BAxMMF两个取矩点连线，不得

8、与投影轴垂直,A B三矩式000CBAMMM三个取矩点，不得共线,A B C悬臂吊车如图示，横梁AB长l2.5m；0 xF 求图示位置a2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。例题拉杆CB倾斜角450，质量不计。重量P1.2kN；载荷Q7.5kN；解：ABC2lalPQTFAxFAyFABxyPQ2）写平衡方程cos0AxTFF0yF sin0AyTFPQF 0AMF sin02TlFlPQa 3）解平衡方程sin13.2kN2TlFPQalcos11.43kNAxFT2.1kNAyF由（1）和（2）式得（1）（2）（3）悬臂吊车如图示，横梁AB长l2.5m；0 xF 求图示位置a2m时，拉杆的

9、拉力和铰链A的约束反力。例题拉杆CB倾斜角450，质量不计。重量P1.2kN；载荷Q7.5kN；ABC2lalPQTFAxFAyFABxyPQ4）其他形式平衡方程的求解cos0AxTFF 0AMF sin02TlFlPQa 求解结果相同：sin13.2kN2TlFPQalcos11.43kNAxFT2.1kNAyF 0BMF 02AylQ laPFl AB连线不能与X轴垂直练习：刚架ABCD的A处为固定铰支座，D处为辊轴支座。此刚架上有水平载荷和垂直载荷。已知F1=10 kN，F2=20 kN，a=3 m。求支座A、D的约束反力。练习：刚架ABCD的A处为固定铰支座，D处为辊轴支座。此刚架上有

10、水平载荷和垂直载荷。已知F1=10 kN，F2=20 kN，a=3 m。求支座A、D的约束反力。解：（1）取刚架整体为研究对象，画出受力图。(3)列平衡方程：(4)求解：A12D()0,20yMFF aF aFa D21A()0,20yMFF aF aFa A10,0 xxFFFA110 kNxFF A21()/25 kNyFFFD15 kNyF练习：水平外伸梁如图所示。若均布载荷q=20kN/m，F=20kN，力偶矩M=20kNm，a=0.8m，求A、B点的约束反力。解：（1）取梁为研究对象。（2）受力分析如图。例 水平外伸梁如图所示。若均布载荷q=20kN/m，F=20kN，力偶矩M=20

11、kNm，a=0.8m，求A、B点的约束反力。(3)列平衡方程：(4)联立求解：AAB24 kN,0,12 kNyxyFFFAB()0,202yaMFqaMFaFaAB0,0yyyFFFFqaA0,0 xxFF练习斜坡倾角为30例题均布荷载均匀连续分布的力叫均布荷载；均布荷载作用范围内，单位长度上承受的力叫载荷集度q.均布荷载的合力Q在均布荷载作用范围的中点（图中不画），Q的大小等于载荷集度与均布荷载分布长度的乘积。Q=q l (上图中为Q=q 2a)yx例5已知：,;P q a Mpa求：支座A、B处的约束力。解：取AB梁，画受力图。0 xF0AM 0yF0AxF4220BFaMPaqa a解

12、得3142BFPqa20AyBFqaPF解得342AyPFqa练习练习例6已知：20kN m,M 100kN,P 400kN,F kN20,mq 1m;l 求：固定端A处约束力。解：11330kN2Fql 0 xF01sin600AxFFF316.4kNAxF 0yF060cosFPFAykN300AyF0AM解得0360sin60cos1lFlFlFMMAmkN1188AM平面平行力系例题练习第三章第三章 平面一般力系平面一般力系3-4 物体系统的平衡问题3、静定和静不定问题 物体系统的平衡问题 以上讨论的都是单个物体的平衡问题。对于物体系统的平衡问题，其要点在于如何正确选择研究对象，一旦确

13、定了研究对象，则计算步骤与单个物体的计算步骤完全一样。下面举例讲解如何正确选择研究对象的问题。例8 已知图示物体系上的各力M、q、F，判断物体系是否是静定问题。解:BD杆为二力杆，力为FB，AC、CD、B杆组成物体系。cxFcyF分别画AC、CD杆的受力图。AC杆的受力图，约束力5个，CD杆的受力图，约束力3个，未知力数为6个，两个物体的平衡方程数为6个。结论：物体系为静定结构。注意作用反作用力例 9 已知:F=20kN,q=10kN/m,20mkNMl=1m;求:A,B处的约束力.解:1）取CD梁,画受力图.0cM0230cos260sin00lFlqllFB解得 FB=45.77kN解得k

14、N89.32AxF2）取整体,画受力图 0 xF030sin60cos00FFFBAxkN89.32AxF 0yF00sin602cos300AyBFFqlF解得2.32kNAyF 0AM0430cos360sin2200lFlFlqlMMBA解得kN37.10AM2）取整体,画受力图例9 已知:F=20kN,q=10kN/m,20mkNML=1m;求:A,B处的约束力.1）取CD梁,画受力图FB=45.77kN例10练习已知：OA=R，AB=l,F不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求：力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力。解:练习已知：OA=R，AB=l

15、,F不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求：力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力。解:1）取冲头B,画受力图。0yF0cosBFF解得22cosRlFlFFB 0 xF0sinBNFF解得22tanRlFRFFN2）取轮,画受力图（AB杆为二力杆）.0 xF0sinAoxFF解得22tanoxFRFFlR 0yF0cosAoyFF解得FFoy 0oM0cosMRFA解得FRM 练习已知：OA=R，AB=l,F不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求：力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力。cosABFFF练习已知:P=60kN

16、,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图;求:A,B处的约束力。练习已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图;求:A,B处的约束力。解:1）取整体,画受力图 0AM05246101221FPPPPFBy解得77.5kNByF 0yF0221PPPFFByAy解得72.5kNAyF2）取吊车梁，画受力图 0DM024821PPFE解得12.5kNEF 练习已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图；求：A，B处的约束力。解：1）取整体，画受力图77.5kNByF72.5kNAyF3）取右边刚架，画受力图

17、 0 xF0BxAxFFF解得7.5kNAxF4）对整体图1）取整体,画受力图77.5kNByF72.5kNAyF 0AM 0yF2）取吊车梁,画受力图 0DM12.5kNEF 0CM04106EBxByFPFF解得17.5kNBxF 两个相互接触的物体存在相对运动的趋势或发生相对运动时，接触面之间由于并非绝对光滑，而在接触面的公切线上存在阻碍两物体相对运动的力，这种力称为摩擦力。摩擦力的物理本质很复杂，与材料性质、表面情况、相对运动性态以及环境等有关摩擦学。摩擦有利的一面：皮带靠摩擦传递运动，制动器靠摩擦刹车，等等；摩擦不利的一面：使机件磨损甚至损坏等等。为什么滚动比滑动省力？这个问题涉及到

18、滚动摩擦与滑动摩擦。滑动摩擦是物体沿另一物体表面滑动时产生的摩擦力。滚动摩擦是物体在另一物体上滚动时产生的摩擦。它比最大静摩擦和滑动摩擦要小得多，在一般情况下，滚动摩擦只有滑动摩擦阻力的1/40到1/60。所以在地面滚动物体比推着物体滑动省力得多。人们设计出车轮，就是为了变滑动摩擦为滚动摩擦，而圆形物体最有利于滚动（圆形物体滚动中重心高度相对与地面接触点是不变的,滚动起来不需要克服重力做功),所以 轮子曾一度是人类最伟大的发明.摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦摩擦干摩擦湿摩擦摩擦力的分类：PNF如果施以水平力HFHF可能出现什么情况？F也一定会出现约束反力摩擦力F

19、一、滑动摩擦力 两个相互接触的物体，当它们之间产生了相对滑动或者有相对滑动的趋势时，在接触面之间产生了彼此阻碍运动的力，这种阻力就称为滑动摩擦力。现有一物块承受重力，在铅垂方向必有约束反力与之平衡。(1);HHFFF 较小时,物块有运动趋势,但没有发生运动,此时有max(2);HHFFFFF增大 也增大,物块运动趋势也增大,达到将动未动时,有(3)HHFFF。继续增大,物块开始滑动,摩擦力不再增大,但是此时其大小不确定,因为与力及物体的惯量,运动状态有关PNFHFF水平力作用下可能的现象有：静滑动摩擦力（静摩擦力）。临界平衡状态（最大静摩擦力）。动滑动摩擦力（动摩擦力）。静滑动摩擦力的特点：1

20、、方向：沿接触处的公切线，2、大小：max0FF3、NFfFsmax（库仑摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两 物体间的正压力成正比）与相对滑动趋势反向；max0FF可见临界摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为：sNfF，。静摩擦因数，是一个无量纲的正数它与接触面的材料，粗糙程度，润滑情况等等有关，在一般情况下与接触面的大小无关；接触物体间的正压力PNFHFF2 大小：FfF N动滑动摩擦的特点：1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；f称为动滑动摩擦系数，与接触物的材料和表面情况有关，还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。PNFHFF动摩擦力的大小与正压力成正比，比例系数为动摩擦系数。思考

21、：物体放在粗糙的桌面上，是否一定会受到摩擦力的作用？不具有，因为摩擦力的条件：1.接触且有压力;2.相互运动或具有相互运动的趋势 考虑摩擦时的平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同。几个新特点：2 严格区分物体处于临界、非临界状态；3 因 问题的解有时在一个范围内。maxFFs01 画受力图时，必须考虑摩擦力；例题：用400N的力将一个重80N的物体垂直压在墙上静止不动，摩擦系数为0.25，问该物体所受摩擦力？解答该物体所受摩擦力为80N。由于该物体静止不动，故所受力平衡。在水平方向上，物体受所施加的压力和弹力，两力大小相等，方向相反，竖直方向上同理，物体所受的重力与其所受的静摩擦力是

22、一对相互作用力，大小相等，均为80N，且两力方向相反.求：物块是否静止，摩擦力的大小和方向。030sin30cos,0oosxFPFF030cos30sin,0ooNyFPFF解：取物块，设物块平衡,N1500P已知：,2.0sf0.18,f：N400F例N1499NF物块处于非静止状态269.8N,NFfF向上。NsFfFmaxN8.299而解得：N6.403sF(向上)推力为 ，解（1）使物块有上滑趋势时，1F已知：.,sfP水平推力 的大小求：使物块静止，F例画物块受力图,0 xF0sincos11sFPF(1),0yF0cossin11NFPF(2)解得：PffFsssincoscos

23、sin11N 1SsFf F(3)（2）设物块有下滑趋势时，推力为2F画物块受力图：PffFsssincoscossin2,0 xF0sincos22sFPF(1),0yF0cossin22NFPF(2)22NssFfF(3)12sincoscossinsincoscossinFPffFPffFssss为使物块静止练习：P4622题例题练习：P4621题【本章小结本章小结】一、力线平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。二、平面一般力系的简化 主矢和主矩 一般情况下，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即 iRFF这个力偶的矩等于该力系对于简化

24、中心的主矩，即 作用线通过简化中心。niiOOFMM1)(【本章小结本章小结】三、平面一般力系简化结果0RF主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心合力偶合力偶平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关0OM0OM0OM 0OM ORMF四、平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即 0iRFF0)(1niiOOFMM平面任意力系平衡方程的一般形式为 0ixF 0iyF 0OiMF【本章小结本章小结】【本章小结本章

25、小结】二力矩式 000BAxMMF其中：A、B两点的连线不能与x轴垂直 三力矩式 000CBAMMM其中：A、B、C三点不能选在同一直线上。五、平面一般力系问题计算 在物体系的受力分析时，首先找主动力和未知力所在物体，再找二力杆。平衡方程尽量只含一个未知数，便于求解【本章作业本章作业】习题：1,6,10,13,16,17 本章结束习题1已知：尺寸如图；求：轴承A、B处的约束力。解：取起重机，画受力图。0 xF 0yF0AM 0AxBFF解得50kNAyF31kNBF 31kNAxF140kNP 10kNP 01PPFAy05.35.151PPFB习习 题题 课课习题2已知:DC=CE=CA=C

26、B=2l,R=2r=l,450P,各构件自重不计。求：A，E支座处约束力及BD杆受力。解：1）取整体，画受力图 0EM2 230AFlPl解得3 24AFP 0 xF 045cos0AExFF解得34ExFP习习 题题 课课0 xF 045cos0AExFF0yF 045sin0AEyFPF解得74EyFP2）取DCE杆，画受力图。0CM02245cos0lFlFlFExKDB解得22DBFP(拉)习题2已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,450P,各构件自重不计，求：A，E支座处约束力及BD杆受力。解：1）取整体,画受力图34ExFP 0EM2 230AFlPl3 24AFP

27、习习 题题 课课习题3 已知：q,a,M,2,Mqa且P作用于销钉B上；求：固定端A处的约束力和销钉B对BC杆、AB杆的作用力。解：1）取CD杆，画受力图0DM02CxaFaqa解得12CxFqa2）取BC杆（不含销钉B)，画受力图0ixF0BCxCxFF解得12BCxFqa习习 题题 课课3）取销钉B，画受力图0ixF0ABxBCxFF解得12ABxFqa则12ABxFqa 0iyF0AByBCyFFP解得AByFPqa则()AByFPqa 0CM0BCyMFa解得BCyFqa习题3 已知：q,a,M,2,Mqa且P作用于销钉B上；求：固定端A处的约束力和销钉B对BC杆,AB杆的作用力。习习

28、 题题 课课4）取AB杆（不含销钉B），画受力图0ixF1302AxABxFqaF 解得AxFqa 0iyF0AyAByFF解得AyFPqa0AM31302AABxaAByMqa aFFa 解得()AMPqa a习题3 已知：q,a,M,2,Mqa且P作用于销钉B上；求：固定端A处的约束力和销钉B对BC杆,AB杆的作用力。习习 题题 课课习题4已知：P=10kN,a,杆及轮重不计；求：A,C支座处约束力。解：取整体，受力图能否这样画？1）取整体，画受力图。0CM48.50AxTaFaPF a解得20kNAxF 0AxCxFF20kNCxF解得0 xF 0iyF0AyCyTFFFP解得10kNA

29、yF 25kNTFP绳索张力习习 题题 课课取BDC 杆（不带着轮）取ABE（带着轮）取ABE杆（不带着轮）2）取BDC杆（带着轮）104340BCyTTCxMaFFaFaFa解得15kNCyF习习 题题 课课习题5已知：P,a,各杆重不计；求：B 铰处约束反力。解：1）取整体，画受力图0CM20ByFa解得0ByF2）取DEF杆，画受力图0DMsin4520EFaFa解得FFE22习习 题题 课课BMo20DxFaFa解得2DxFF0AM20BxDxFaFa解得BxFF 3）取ADB杆，画受力图习题5已知：P,a,各杆重不计；求：B 铰处约束反力。2）取DEF杆，画受力图习习 题题 课课习题

30、6已知：a,b,P,各杆重不计，C，E处光滑；解：1）取整体，画受力图。0ixF0AxF0EM()0AyPbxFb解得()AyPFbxb2）取销钉A，画受力图0ixF0AxADCxFF0ADCxF解得求证：无论P在BC何处，AB杆始终受压，且大小为P。AxFAyFEF对销钉A的Y方向方程中，有2个未知数，不能直接求解。习习 题题 课课4）取ADC杆，画受力图3）取BC，画受力图0BM0CFbPx 解得CxFPb0DM022ADCyCbbFF解得ADCyCxFFPb5）对销钉A0yF0ABAyADCyFFF0ABxxFPPPbb解得(ABFP 压）习习 题题 课课人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。