2014年高考(大纲全国)文科数学

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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲全国文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2014大纲全国，文1)设集合M1,2,4,6,8，N1,2,3,5,6,7，则MN中元素的个数为()A2 B3 C5 D7答案：B解析：M1,2,4,6,8，N1,2,3,5,6,7，MN1,2,6，MN中元素的个数为3，故选B.2(2014大纲全国，文2)已知角的终边经过点(4,3)，则cos ()A B C D答案：D解析：设角的终边上点(4,3)到原点O的距离为r，则，由余弦函数的定义，得，故选D.3(2014大纲全国，文3)不等式组的解

2、集为()Ax|2x1 Bx|1x0Cx|0x1 Dx|x1答案：C解析：由得，x2或x0，由得，1x1，因此原不等式组的解集为x|0x1，故选C.4(2014大纲全国，文4)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A B C D答案：B解析：如图所示，取AD的中点F，连EF，CF，则EFBD，异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角CEF.由题知，ABC，ADC为正三角形，设AB2，则，.在CEF中，由余弦定理，得，故选B.5(2014大纲全国，文5)函数的反函数是()Ay(1ex)3(x1)By(ex1)3(x1)Cy(1ex)3(xR)Dy(

3、ex1)3(xR)答案：D解析：由，得，x(ey1)3，f1(x)(ex1)3.x1，yR，即反函数的定义域为R.反函数为y(ex1)3(xR)，故选D.6(2014大纲全国，文6)已知a，b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b()A1 B0 C1 D2答案：B解析：由已知得|a|b|1，a，b60，(2ab)b2abb22|a|b|cosa，b|b|2211cos 60120，故选B.7(2014大纲全国，文7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种 C75种 D150种答案：C解析：从6名男医生中选出2名有种选法

4、，从5名女医生中选出1名有种选法，故共有种选法，选C.8(2014大纲全国，文8)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A31 B32 C63 D64答案：C解析：S23，S415，由等比数列前n项和的性质，得S2，S4S2，S6S4成等比数列，(S4S2)2S2(S6S4)，即(153)23(S615)，解得S663，故选C.9(2014大纲全国，文9)已知椭圆C：(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为，则C的方程为()A BC D答案：A解析：(ab0)的离心率为，.又过F2的直线l交椭圆于A，B两点，AF1B

5、的周长为，.，椭圆方程为，选A.10(2014大纲全国，文10)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A B16 C9 D答案：A解析：由图知，R2(4R)22，R2168RR22，选A.11(2014大纲全国，文11)双曲线C：(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A2 B C4 D答案：C解析：e2，.设焦点F2(c,0)到渐近线的距离为，渐近线方程为bxay0，.c2a2b2，.由，得，解得c2.焦距2c4，故选C.12(2014大纲全国，文12)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(

6、8)f(9)()A2 B1 C0 D1答案：D解析：奇函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，且f(0)0.f(x2)为偶函数，f(x2)f(x2)f(x2)2f(x22)f(x)f(x)，即f(x4)f(x)f(x8)f(x4)4f(x4)(f(x)f(x)f(x)是以8为周期的周期函数，f(8)f(0)0，f(9)f(81)f(1)1.f(8)f(9)011.故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13(2014大纲全国，文13)(x2)6的展开式中x3的系数为_(用数字作答)答案：160解析：由通项公式得，故展开式中x3的系数为.14(2014大纲全国，文14)函数ycos 2

7、x2sin x的最大值为_答案：解析：ycos 2x2sin x12sin2x2sin x，当时，.15(2014大纲全国，文15)设x，y满足约束条件则zx4y的最大值为_答案：5解析：画出x，y的可行域如图阴影区域由zx4y，得.先画出直线，再平移直线，当经过点B(1,1)时，zx4y取得最大值为5.16(2014大纲全国，文16)直线l1和l2是圆x2y22的两条切线若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_答案：解析：如图所示，设l1与圆O：x2y22相切于点B，l2与圆O：x2y22相切于点C，则，.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题

8、满分10分)(2014大纲全国，文17)数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式分析：本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式(1)可用定义证明bn1bn2(常数)即可(2)利用(1)的结果，求出bn的通项公式及an1an的表达式，再用累加法可求数列an的通项公式(1)证明：由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)解：由(1)得bn12(n1)，即an1an2n1.于是，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a

9、11，所以an的通项公式为ann22n2.18(本小题满分12分)(2014大纲全国，文18)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos C2ccos A，求B.分析：先由已知及正弦定理，将边的关系转化为角的关系，再由同角三角函数基本关系化弦为切，求出tan C.根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B，即可求角B.解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A.故3tan Acos C2sin C，因为，所以cos C2sin C，.所以tan Btan180(AC)tan(AC)1，即B135.19(本小题满分12分)(2014大纲全国，文

10、19)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90，BC1，ACCC12.(1)证明：AC1A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小分析：解法一：(1)由已知可证平面AA1C1C平面ABC，再由面面垂直证线面垂直，利用三垂线定理即得线线垂直(2)为利用已知，先寻找并证明AA1与平面BCC1B1的距离为A1E.再由三垂线定理，确定二面角A1ABC的平面角为A1FD.最后通过解直角三角形求出A1FD的正切值，即可得出二面角的大小解法二：建立空间直角坐标系，利用向量知识求解(1)设出A1点坐标，确定点及向量坐标，利用数量积为

11、0，证明线线垂直(2)设法向量，由已知垂直关系，确定坐标利用向量夹角公式求二面角大小解法一：(1)证明：因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC，所以BC平面AA1C1C.连结A1C.因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2)BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，.因为A1C为ACC1的平分线，故.作DFAB，F为垂足，连结A1F.由三垂线定理

12、得A1FAB，故A1FD为二面角A1ABC的平面角由得D为AC中点，.所以二面角A1ABC的大小为arctan .解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内(1)证明：设A1(a,0，c)，由题设有a2，A(2,0,0)，B(0，1,0)，则，由|得，即a24ac20. 于是，所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，则，即，.因，故y0，且(a2)xcz0.令xc，则z2a，m(c,0,2a)，点A到平面BCC1B1的距离为.又依题设，A到平面BCC1B

13、1的距离为，所以.代入解得a3(舍去)或a1.于是设平面ABA1的法向量n(p，q，r)，则，即，且2pq0.令，则，r1，又p(0,0,1)为平面ABC的法向量，故.所以二面角A1ABC的大小为.20(本小题满分12分)(2014大纲全国，文20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值分析：(1)先用字母表示各事件，再由互斥与独立事件的概率可求(2)由(1

14、)分析k的可能取值情况，比较即得结果解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，E表示事件：同一工作日4人需使用设备，F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)，P(B)0.6，P(C)0.4，i0,1,2，所以0.31.(2)由(1)知，若k2，则P(F)0.310.1.又EBCA2，P(E)P(BCA2)P(B)P(C)P(A2)0.06.若k3，则P(F)0.060.1.所以k的最小值为3.21(本小题满分12分)(2014大纲全国，文21)函数f(x)ax

15、33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围分析：(1)由于导函数的判别式含参数a，因此要根据导数值的正负判断单调性，需对a进行分类讨论当判别式为正时，导函数有两根，为比较两根的大小，需对a进行二重讨论(2)根据f(x)在(1,2)上是增函数可列出关于a的不等式，注意对a0或a0进行讨论解：(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判别式36(1a)若a1，则f(x)0，且f(x)0当且仅当a1，x1.故此时f(x)在R上是增函数由于a0，故当a1时，f(x)0有两个根：，.若0a1，则当x(，x2)或x(x1，)时f(x)0，故f(

16、x)分别在(，x2)，(x1，)是增函数；当x(x2，x1)时f(x)0，故f(x)在(x2，x1)是减函数；若a0，则当x(，x1)或(x2，)时f(x)0，故f(x)分别在(，x1)，(x2，)是减函数；当x(x1，x2)时f(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增函数(2)当a0，x0时，f(x)3ax26x30，故当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f(1)0且f(2)0，解得.综上，a的取值范围是(0，)22(本小题满分12分)(2014大纲全国，文22)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C

17、的交点为Q，且.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程分析：(1)设出Q点坐标，利用列出关于p的方程，借助于p的几何意义及抛物线的性质确定p.(2)通过题设分析判断直线l与x轴不垂直因直线l过F(1,0)，可设l的方程为xmy1(m0)直线l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1y2，y1y2关于m的表达式，借助弦长公式得(其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，同理可得(其中M(x3，y3)，N(x4，y4)由题目中的A，M，B，N四点在同一圆上得到关于m的方程，进而求出m，得到直线l的方程解：(1)设Q(x0,4)，代入y22px得.所以，.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，又l的斜率为m，所以l的方程为.将上式代入y24x，并整理得.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则，y3y44(2m23)故MN的中点为，.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于，从而，即，化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.