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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）如果实数，在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ） ABCD1（乙）如果，那么的值为（ ）A B C2 D2（甲）如果正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，那么另一
2、个交点的坐标为（ ）A B C D2（乙）在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标的个数为（ ） A10 B9 C7 D53（甲）如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） A1 B C D3（乙）如图，四边形中，、是对角线，是等边三角形，则的长为（ ）A B4 C D4.54（甲）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的倍”；小玲对小倩说：“你若给我元，我的钱数将是你的2倍”，其中为正整数，则的可能值的个数是（ ）A1 B2 C3 D44（乙）如果关于的方程 是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）A
3、5 B6 C7 D85（甲）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）A B C D5（乙）黑板上写有共100个数字每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A2012 B101 C100 D99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么的取值范围是 .6（乙）. 如果，是正数，且满足，那
4、么的值为 7（甲）如图，正方形的边长为2，、分别是、的中点，与、分别交于点、，则的面积是 .7（乙）如图，的半径为20，是上一点。以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于 8（甲）如果关于的方程的两个实数根分别为，那么的值为 8（乙）设为整数，且. 若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）2位八年级同学和位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则的值为 .9（乙）如果正数，可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数若
5、和均为三角形数，且，则的取值范围是 .10（甲）如图，四边形内接于，是直径，. 分别延长，交点为. 作，并与的延长线交于点. 若，则的长为 .10（乙）已知是偶数，且若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）已知二次函数，当时，恒有；关于的方程的两个实数根的倒数和小于求的取值范围11（乙）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，且. 已知经过，三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.12（甲）如图，的直径为，过点，且与内切于点为上的点，与交于点，且点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：12（乙）如图，的内接四边形中，是
6、它的对角线，的中点是的内心. 求证：（1）是的外接圆的切线；（2）.13（甲）已知整数，满足：是素数，且是完全平方数. 当时，求的最小值.13（乙）凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）求所有正整数，使得存在正整数，满足，且.14（乙）将任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1（甲）C解：由实数，在数轴上的位置可知，且，所以 1（乙）B解：2（甲）D解：由题设知，所以.解方程组得 所以另一个交点的坐标为.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原
7、点对称，因此另一个交点的坐标为.2（乙）B解：由题设，得.因为均为整数，所以有 解得 以上共计9对.3（甲）D 解：由题设知，所以这四个数据的平均数为，中位数为 ，于是 .3（乙）B解：如图，以为边作等边，连接. 由于，所以，.又因为，所以.在中，于是，所以. 4（甲）D解：设小倩所有的钱数为元、小玲所有的钱数为元，均为非负整数. 由题设可得消去得 ， .因为为正整数，所以的值分别为1，3，5，15，所以的值只能为4，5，6，11从而的值分别为8，3，2，1；的值分别为14，7，6，74（乙）C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负由二次函数的图象知，当时，所以，
8、即. 由于都是正整数，所以，；或，此时都有. 于是共有7组符合题意 5（甲）D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大5（乙）C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得 ，二、填空题6（甲）解：前四次操作的结果分别为，由已知得 解得 .容易验证，当时， ，故的取值范围是6（乙）7解：由已知可得7（甲）8解：连接，记正方形的边长为2. 由题设易知，所以，由此得，所以.在中，因为，所以，于是 .由题设可知，所以，.于是
9、， . 又，所以. 因为，所以.7（乙）解：如图，设的中点为，连接，则因为，所以，所以 .8（甲）解：根据题意，关于的方程有，由此得 又，所以，从而. 此时方程为，解得. 故8（乙）1610解：因为=.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时， 不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为9（甲）8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得. 又，所以. 于是 ，由此得，或.当时，；当时，不合题设.故9（乙）解：由题设得所以 ，即 .整理得 ，由二次函数的图象及其性质，得.又因为，所以.10（甲）解：如图，连
10、接，. 由是的直径知.依题设，四边形是的内接四边形，所以，所以，因此 .因为是的半径，所以垂直平分， 于是. 因此.由，知因为，所以 ，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数设，则（）若，可得，与是正整数矛盾（）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足（）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个三、解答题11（甲）解：因为当时，恒有，所以，即，所以
11、 （5分）当时，；当时，即，且 ，解得（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得因为，所以，解得，或因此（20分）11（乙）解：因为，所以由勾股定理，得.易知，因此. 于是，.设点的坐标为，由，得. 所以 ，解得. 因此为的中点，点的坐标为. （10分）因此，分别为，的两条中线，点为的重心，所以点的坐标为.设经过，三点的抛物线对应的二次函数的解析式为. 将点的坐标代入，解得. 故经过，三点的抛物线对应的二次函数的解析式为. （20分）12（甲）证明：连接，因为为的直径，所以又因为，所以是等腰三角形 （5分）设与交于点，连接，则又因为，所以 （15分）又因为分别是等腰，等
12、腰的顶角，所以 （20分）12（乙）证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知 所以 同理， .故点是的外心.连接，因为是的中点，且，所以，即.故是外接圆的切线. （10分）（2）如图，过点作于点，设与交于点. 由，知.因为，所以，所以.又因为是的内心，所以.故 （20分）13（甲）解：设（是素数），（是正整数）. 因为 ，所以 ，（5分）因为与都是正整数，且(为素数)，所以 ，.解得 ，. 于是 . （10分）又，即.又因为是素数，解得. 此时，.当时，.因此，的最小值为2025. （20分）13（乙）解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个（1）若，由，得，正十二
13、边形的12个内角都等于； （5分）（2）若，且，由，可得，即当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于， （10分）（3）若，且当时，设另一个角等于存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角由可得；由可得，且 （15分）（4）若，且，由（3）可知当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于综上，当时，的最大值为12；当时，的最大值为11；当时，的最大值为；当时，的最大值为 （20分）14（甲）解：由于都是正整数，且，所以，于是 （10分）当时，令，则 .（15分）当时，其中，令，则 综上，满足条件的所有正整数为 （20分）14（乙）解：当时，把分成如下两个数组： 和 在数组中，由于，所以其中不存在数，使得在数组中，由于，所以其中不存在数，使得 所以， （10分）下面证明当时，满足题设条件不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组此时考虑数8如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时综上，满足题设条件所以，的最小值为 （20分）14
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