大学物理第二章质点动力学

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1、第二章第二章 质点动力学质点动力学 2-1 2-1 动量与牛顿运动定律动量与牛顿运动定律 一牛顿第一定律、惯性系一牛顿第一定律、惯性系 牛顿第一定律：牛顿第一定律：“任何物体都要保持其静止或匀任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使它改变这速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使它改变这种状态为止种状态为止”。第一定律首先表明，物体都有保持运动状态不第一定律首先表明，物体都有保持运动状态不变的特性，这种特性称为变的特性，这种特性称为物体的惯性物体的惯性。第一定律还表明，要使物体的运动状态发生变化，第一定律还表明，要使物体的运动状态发生变化，一定要有其他物体对它的作用，这种

2、作用称为力。一定要有其他物体对它的作用，这种作用称为力。第一定律还定义了一种特殊的参考系第一定律还定义了一种特殊的参考系惯性系惯性系。只有在惯性系中，不受外力作用的物体才会保持静止只有在惯性系中，不受外力作用的物体才会保持静止或匀速直线运动状态不变，而惯性定律在其中不成立或匀速直线运动状态不变，而惯性定律在其中不成立的参考系称为的参考系称为非惯性系非惯性系 常见的惯性系：常见的惯性系：研究地面附近物体运动时可选研究地面附近物体运动时可选地球地球为惯性系；研究太阳系中行星的运动时选为惯性系；研究太阳系中行星的运动时选太阳太阳为惯为惯性系；研究天体运动时，可选性系；研究天体运动时，可选多个恒星或星

3、系多个恒星或星系参考参考系为惯性系。系为惯性系。不存在绝对的惯性系。但由于相互作用与距离不存在绝对的惯性系。但由于相互作用与距离的平方成反比，只要选为参考系的星系与其它星系的平方成反比，只要选为参考系的星系与其它星系间的距离越遥远，它就是越严格的惯性系。间的距离越遥远，它就是越严格的惯性系。相对于某一个惯性系作匀速直线运动的任何物体也相对于某一个惯性系作匀速直线运动的任何物体也都是惯性系，反之相对一惯性系作加速运动的物体都是惯性系，反之相对一惯性系作加速运动的物体则不是惯性系。则不是惯性系。二、动量、牛顿第二定律二、动量、牛顿第二定律 v1、动量、动量定义：定义：质量为质量为m，速度为，速度为

4、 的的质点动量质点动量vmP2、牛顿第二定律、牛顿第二定律 物体受到外力作用时，物体的动量将发生变化，物体受到外力作用时，物体的动量将发生变化，物体所受合外力物体所受合外力F等于物体的动量随时间的变化率。等于物体的动量随时间的变化率。)(vmdtddtPdF质量质量m不变，有不变，有amdtvdmF关于牛顿第二定律，应当明确以下几点：关于牛顿第二定律，应当明确以下几点：（1）第二定律和第一定律一样只适用于惯性参照系。）第二定律和第一定律一样只适用于惯性参照系。（2）第二定律给出了力与加速度之间的瞬时关系。）第二定律给出了力与加速度之间的瞬时关系。即即F与与a同时产生，同时变化，同时消失。同时产

5、生，同时变化，同时消失。（3）第二定律概括了力的独立性原理或力的叠加原）第二定律概括了力的独立性原理或力的叠加原理：几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度理：几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度等于每个力单独作用时所产生的加速度的矢量和。等于每个力单独作用时所产生的加速度的矢量和。（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直角坐标系角坐标系X、Y轴上的分量式为轴上的分量式为：22dtxdmdtdvmmaFxxx22dtydmdtdvmmaFyyy在处理曲线运

6、动问题时，还常用到沿切线方向在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向和法线方向上的分量式，即：和法线方向上的分量式，即：dtdvmmaFtt2vmmaFnn三、牛顿第三定律三、牛顿第三定律物体间的作用是相互的。物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用两个物体之间的作用力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。分别作用在两个物体上。1221FF第三定律主要表明以下几点：第三定律主要表明以下几点：（1 1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同

7、时消是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。（2 2）作用力和反作用力分别作用在相互作用的两个）作用力和反作用力分别作用在相互作用的两个不同物体上，各产生其效果，不能相互抵消。不同物体上，各产生其效果，不能相互抵消。（3 3）作用力和反作用力是同一性质的力。）作用力和反作用力是同一性质的力。四、四、四种相互作用和力学中常见的力四种相互作用和力学中常见的力 1、自然界中的四种相互作用、自然界中的四种相互作用自然界中存在着四种最基本的相互作用，如下表自然界中存在着四种最基本的相互作用，如下表中所示：中所示：相互作用

8、相互作用 相互作用的物体相互作用的物体 力的强度力的强度 力力 程程强相互作用强相互作用 重子、介子重子、介子 1 1 1015m电磁相互作用带电粒子电磁相互作用带电粒子 10 2 无限远无限远 弱相互作用弱相互作用 大多数粒子大多数粒子 1013 1018m 引力相互作用引力相互作用 一切物体一切物体 1038 无限远无限远2、力学中常见的力、力学中常见的力万有引力万有引力:它存在于任何两个物体之间。两个质点它存在于任何两个物体之间。两个质点间的引力方向沿二者连线，大小与两质点质量的乘积间的引力方向沿二者连线，大小与两质点质量的乘积成正比，与二者距离的平方成反比：成正比，与二者距离的平方成反

9、比：2210rmmGff其中其中G 0 =6.67 10 11 Nm2 kg，为引力常数。，为引力常数。原子核中两个相邻的质子之间的万有引力原子核中两个相邻的质子之间的万有引力 10 34N 相隔相隔1m 的两个人之间的引力约的两个人之间的引力约10 7N。在宇宙天体之间，由于天体质量巨大，引力起着在宇宙天体之间，由于天体质量巨大，引力起着主要作用。主要作用。m1m2rff 重力：重力：地面附近的物体地面附近的物体由于地球的吸引由于地球的吸引而受到的力叫重力。而受到的力叫重力。在重力作用下，任在重力作用下，任何物体产生的加速度都是重力加速度。何物体产生的加速度都是重力加速度。忽略地球自转的影响

10、重力近似等于地球忽略地球自转的影响重力近似等于地球的引力的引力gm20RMmGmg 20RMGg 弹性力：弹性力：物体在发生形变时，物体在发生形变时，由于力图恢复原状，由于力图恢复原状，对与它接触的物体产生的作用力对与它接触的物体产生的作用力叫弹性力。叫弹性力。其表现形式有：正压力、支持力、其表现形式有：正压力、支持力、拉力、拉力、张力、弹簧张力、弹簧的恢复力等。的恢复力等。在弹性限度内在弹性限度内f=k x 胡克定律胡克定律k 叫劲度系数叫劲度系数静摩擦力静摩擦力:大小介于大小介于0 和最大静力摩擦力和最大静力摩擦力 fS 之间，之间，视外力的大小而定。视外力的大小而定。最大静摩擦力：最大静

11、摩擦力：f S =S N滑动摩擦力滑动摩擦力:f k=k N对给定的一对接触面，对给定的一对接触面，S k，它们一般都小于，它们一般都小于1。摩擦力：摩擦力：两个相互接触的物体在两个相互接触的物体在沿接触面相对运动时沿接触面相对运动时,或者有相对或者有相对运动趋势时运动趋势时,在接触面之间产生的在接触面之间产生的一对阻碍相对运动的力一对阻碍相对运动的力,叫做摩擦叫做摩擦力。它们大小相等，方向相反，力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。分别作用在两个物体上。vNff 流体阻力：流体阻力：物体在流体中运动时受到流体的阻力。物体在流体中运动时受到流体的阻力。在相对速率在相对速率v 较小时

12、，阻力主要由粘滞性产生，流较小时，阻力主要由粘滞性产生，流体内只形成稳定的层流。此时体内只形成稳定的层流。此时 f =-k v k 决定于物体的大小和形状以及流体的性质。决定于物体的大小和形状以及流体的性质。在相对速率较大时，流体内开始形成湍流，阻力将在相对速率较大时，流体内开始形成湍流，阻力将与物体运动速率的平方成正比：与物体运动速率的平方成正比：f =-c v2若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻力将按力将按 f v3 迅速增大。迅速增大。常见的常见的正压力、支持力、正压力、支持力、拉力、拉力、张力、弹簧的恢复张力、弹簧的恢复力、摩擦力、

13、流体阻力等，从最基本的层次来看，力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看，都属于电磁相互作用。都属于电磁相互作用。五、牛顿定律的应用五、牛顿定律的应用应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：如在直角坐标系中：在自然坐标系中：如在直角坐标系中：在自然坐标系中：222222tzmtvmmaFtymtvmmaFtxmtvmmaFzzzyyyxxxdddddddddddd dd2vmmaFtvmmaFnntt1、恒力作用的情况、恒力作用的情况这类情况中常有多个有关联的物体一起运动。这类情况中常有多个有关联的物体一起运动。解题步骤如下：解题步骤如下：分析各物体受

14、力状况，选择隔离体，画受力图。分析各物体受力状况，选择隔离体，画受力图。分析各隔离体相对一惯性系运动的加速度，并建立分析各隔离体相对一惯性系运动的加速度，并建立坐标系。坐标系。写出各隔离体运动方程分量式以及力和加速度之间写出各隔离体运动方程分量式以及力和加速度之间的关系式。的关系式。解方程组，并对计算结果作简短讨论。解方程组，并对计算结果作简短讨论。例例1、如图，质量、如图，质量 m1=1kg 的板放在地上，与地面间的板放在地上，与地面间摩擦系数摩擦系数 10.5，板上有一质量，板上有一质量 m2=2kg 的物体，的物体，它与板间的它与板间的摩擦系数摩擦系数 2=0.25。现用。现用f=19.

15、6 N 的力水的力水平拉动木板，问板和物体的加速度各是多少？平拉动木板，问板和物体的加速度各是多少？m1m2F解：本题似乎很简单，设解：本题似乎很简单，设m1 和和m2 的加速度分别为的加速度分别为a1 和和a2，受力，受力分析、列方程如下：分析、列方程如下：m2gN2f2a2a1m1gN2N1f2f1F00222221211121gmNamfgmNNamffF,代入代入222111NfNf,求出求出22212112214520smgamgmmmFa/.)(这显然是错误的！原因在于误认为这显然是错误的！原因在于误认为m1与与m2之间有相之间有相对运动，而实际上此时二者相对静止，式对运动，而实际

16、上此时二者相对静止，式 f 2=2N2 是错误的。去除此式并让是错误的。去除此式并让 a1=a2 可求出：可求出：NNNamfsmgmmFa942636312222221211./.mM 例例2、如图，质量为、如图，质量为M 的斜面的斜面放在水平面上，斜面上另一质放在水平面上，斜面上另一质量为量为m 的滑块沿斜面滑下，若的滑块沿斜面滑下，若所有的表面都是光滑的，求二所有的表面都是光滑的，求二者的加速度和相互作用力。者的加速度和相互作用力。2a解：选地面为惯性系，对二者受力分析和运动分析解：选地面为惯性系，对二者受力分析和运动分析如图，注意如图，注意 m 相对地面的加速度为相对地面的加速度为mg

17、N2 MgN2N11a 1a2aa建立坐标系建立坐标系x 轴水平向左，轴水平向左，y 轴竖直向上。列出有关轴竖直向上。列出有关运动方程运动方程sincos),cos(sin0cos,sin2122112ammgNaamNMgNNMaN求出：求出：212222222221sin)(,sincossinsin)(,sincossinsinsin)(,sincossinmMMgMmNmMmMgNmMgmMamMMgamMgmMamMmgayxOyxAmgN例例3 一曲杆一曲杆OA绕绕y轴以匀角速度轴以匀角速度转动，曲杆上套着转动，曲杆上套着一质量为一质量为m的小环，若要小环在任何位置上均可相的小环，

18、若要小环在任何位置上均可相对曲杆静止，问曲杆的几何形状？对曲杆静止，问曲杆的几何形状？解：小环在曲杆上也绕解：小环在曲杆上也绕y轴作圆周运动，受重力轴作圆周运动，受重力mg和和支持力支持力N，设小环所在位置坐标为（，设小环所在位置坐标为（x,y），切线倾），切线倾角为角为，则有，则有 02mgcosNmxsinN相除得相除得 dxdyxgtg2或或 xdxgdy2OyxAmgN积分得积分得 222xgy说明曲杆的形状为一抛物线。说明曲杆的形状为一抛物线。2、变力作用的情形、变力作用的情形当一质点受到变力作用时，其加速度也是随时变化当一质点受到变力作用时，其加速度也是随时变化的，这时要列出质点的

19、，这时要列出质点运动微分方程运动微分方程并并用积分用积分的方法的方法求解。求解。例例4、质量为、质量为m 的物体，从高空由静止开始下落，的物体，从高空由静止开始下落，设它受到的空气阻力设它受到的空气阻力 f=kv，k 为常数，求物体下为常数，求物体下落的速度和路程随时间的变化。落的速度和路程随时间的变化。mgvfyyO解：取解：取y 轴竖直向下为正，设物体由原轴竖直向下为正，设物体由原点开始下落到点开始下落到 y 处时，速度为处时，速度为 v，受重，受重力和阻力作用，其运动微分方程为：力和阻力作用，其运动微分方程为：dtdvmkvmg分离变量并作定积分，有分离变量并作定积分，有tvTdtmkv

20、vdv00其中其中kmgvT为下落的收尾速度。求出：为下落的收尾速度。求出：)(tmkTevv1再次积分得再次积分得ttmkTTtmkTevkmtvdtevy011)()(例例5、设子弹射出枪口后作水平直线飞行，受到空气、设子弹射出枪口后作水平直线飞行，受到空气阻力阻力 f=kv2，若子弹出枪口时速率为，若子弹出枪口时速率为 v0，求：（，求：（1）子弹此后速率，（子弹此后速率，（2）当）当 v=0.5 v0 时，它飞行的距离。时，它飞行的距离。解：（解：（1）子弹在飞行过程中，水平方向上仅受空气）子弹在飞行过程中，水平方向上仅受空气阻力，因而运动微分方程为：阻力，因而运动微分方程为：dtmk

21、vdvdtdvmkv22或或积分积分tvvdtmkvdv020得得tkvmmvv00积分积分2210200lnlnkmxxmkdxmkvdvxvv或或得得（2）运动方程改写成）运动方程改写成dxmkvdvdxdvmvkv或或222 单位制和量纲单位制和量纲一、基本单位和导出单位一、基本单位和导出单位 物理量除了有一定大小外，还有单位。由于各物理量除了有一定大小外，还有单位。由于各物理量之间都由一定的物理规律相联系，所以它们物理量之间都由一定的物理规律相联系，所以它们的单位之间也就有一定的联系。的单位之间也就有一定的联系。v选定少数几个物理量作为基本量，并人为地规定选定少数几个物理量作为基本量，

22、并人为地规定它们的单位，这样的单位叫做它们的单位，这样的单位叫做基本单位基本单位。v其他的物理量都可以根据一定的关系从基本量导其他的物理量都可以根据一定的关系从基本量导出，这些物理量叫导出量。导出量的单位都是基本出，这些物理量叫导出量。导出量的单位都是基本单位的组合，叫单位的组合，叫导出单位导出单位。二、二、国际单位制国际单位制基本单位和由它们组成的导出单位构成一套单位基本单位和由它们组成的导出单位构成一套单位制。如果选取不同的基本单位，就产生了不同的单位制。如果选取不同的基本单位，就产生了不同的单位制。制。1980年年11届国际计量大会通过的单位制叫届国际计量大会通过的单位制叫国际单国际单位

23、制，简称位制，简称SI。v国际单位制国际单位制的七个基本量及基本单位：的七个基本量及基本单位：长度长度 L L米米(m)(m)时间时间 T T秒秒(s)(s)质量质量 M M千克千克(kg)(kg)电流安培电流安培(A)(A)物质的量摩尔物质的量摩尔(mol)(mol)热力学温度开尔文热力学温度开尔文(K)(K)发光强度发光强度坎得拉坎得拉 (cd)(cd)v在力学中仅用到在力学中仅用到L、T、M 这三个基本量。这三个基本量。国际千克原器国际千克原器v千克是质量单位，等于保存在巴千克是质量单位，等于保存在巴黎国际计量局中的黎国际计量局中的国际千克原器国际千克原器的的质量。（第质量。（第1 1和

24、第和第3 3届国际计量大会，届国际计量大会，18891889年，年，19011901年）年）1967年第年第13届国际计量大会规定时间单位用铯届国际计量大会规定时间单位用铯-133原子的两个超精细能级跃迁所对应的辐射的频原子的两个超精细能级跃迁所对应的辐射的频率为：率为：=9192631770 Hzv 1 1秒秒=上述跃迁谱线周期的上述跃迁谱线周期的91926317709192631770倍倍并依此规定制作出了铯原子钟。并依此规定制作出了铯原子钟。v其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位如：速度如：速度 V=S/t，单位：米单位：米/秒（秒（m/s

25、）加速度加速度a=V/t，单位：米，单位：米/秒秒2（m/s2）力力 F=ma，单位：千克米单位：千克米/秒秒2(kg m/s2）1983年第年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中届国际计量大会定义长度单位用真空中的光速规定：的光速规定：c=299792458 m/s因而米是光在真空中因而米是光在真空中1 1 299,792,458299,792,458秒秒的时间间的时间间隔内所经路程的长度。隔内所经路程的长度。三、三、量纲量纲v导出物理量对基本物理量的依赖关系可以用基本导出物理量对基本物理量的依赖关系可以用基本物理量及其幂次的乘积来表示，称为导出物理量的物理量及其幂次的乘积来表示，称为导

26、出物理量的量纲量纲。v我们常用字母我们常用字母L、M和和T分别表示长度、质量和分别表示长度、质量和时间三个基本量的量纲。其他的各物理量的量纲就时间三个基本量的量纲。其他的各物理量的量纲就可用这三个字母的某种组合来表示可用这三个字母的某种组合来表示 rqPTMLA如：速度的量纲是如：速度的量纲是 LT 1 1，加速度的量纲是，加速度的量纲是 LT 2 2 力的量纲是力的量纲是 MLT 2 2v用量纲可以定出同一物理量不同单位之间的换算用量纲可以定出同一物理量不同单位之间的换算因子因子 如：如：1牛顿牛顿=1千克米千克米 秒秒2 =1000克克 100厘米厘米 秒秒2 =105克厘米克厘米 秒秒2

27、 =105达因达因 1焦耳焦耳=1牛顿牛顿 1 1米米=1千克米千克米2 秒秒2 =1000克克 10000厘米厘米2 秒秒2 =107 7克厘米克厘米2 秒秒2 =107尔格尔格v量纲法则：量纲法则：量纲服从的规律叫量纲服从的规律叫量纲法则量纲法则。量纲分析是一种常。量纲分析是一种常用的定性、半定量分析方法。用的定性、半定量分析方法。v量纲也可用来校核等式量纲也可用来校核等式 只有量纲相同的量才能相加、相减、用等号只有量纲相同的量才能相加、相减、用等号相联系。相联系。在复杂的方程中，每一项必然具有相同在复杂的方程中，每一项必然具有相同的量纲，因此校核各项的量纲，就可以明确等式的量纲，因此校核

28、各项的量纲，就可以明确等式是否正确。是否正确。20021attvxx 上式中每一项都具有长度的量纲上式中每一项都具有长度的量纲 L L，因而等式，因而等式成立。成立。v从量纲的分析，可以明确方程中某一比例系数从量纲的分析，可以明确方程中某一比例系数（实际上是一物理量）的量纲，从而定出这比例系（实际上是一物理量）的量纲，从而定出这比例系数的单位数的单位。例：由例：由万有引力公式万有引力公式2210rmmGF 可知万有引力恒量可知万有引力恒量G0 0的量纲为的量纲为M 1L3T 2；在国际单位制中，在国际单位制中，G0 0的单位为的单位为米米3 3（千克秒（千克秒2 2）。2 24 4 动量定理、

29、动量守恒定律动量定理、动量守恒定律 1、力的冲量、力的冲量力作用在物体上总会有一段时间，为描述力作用在物体上总会有一段时间，为描述力对时力对时间的累积作用间的累积作用，定义：，定义：力的元冲量：力的元冲量：力的冲量：力的冲量：dtFId)(00ttFdtFItt其中为物体在一段时间内所受的其中为物体在一段时间内所受的平均力。平均力。F一、质点的动量定理一、质点的动量定理 2、质点动量定理、质点动量定理可将牛顿第二定律写成可将牛顿第二定律写成PddtFi因而有：因而有：122121PPPddtFIPPtti 在一段时间内，质点所受合外力的冲量，等于在此在一段时间内，质点所受合外力的冲量，等于在此

30、时间内该质点动量的增量时间内该质点动量的增量质点动量定理。质点动量定理。分量表示分量表示 zzttzzyyttyyxxttxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI121212212121动量定理在碰撞及冲击问题中特别有用，此时的动量定理在碰撞及冲击问题中特别有用，此时的冲力变化很大，它随时间而变化的关系难以确定，牛冲力变化很大，它随时间而变化的关系难以确定，牛顿第二定律无法直接应用，但根据动量定理，冲力的顿第二定律无法直接应用，但根据动量定理，冲力的冲量具有确定的量值，它等于冲击（碰撞）前后动量冲量具有确定的量值，它等于冲击（碰撞）前后动量的变化。而且还可由冲量求出其的变化。而且还

31、可由冲量求出其平均冲力平均冲力。注意：动量定理也仅在惯性系中才成立注意：动量定理也仅在惯性系中才成立，在非惯性系，在非惯性系中还要加入惯性力的冲量。中还要加入惯性力的冲量。t1t2tFF例例6 一个质量一个质量m=0.14 kg 的垒球沿水平方向以的垒球沿水平方向以v1=50 m/s 的速率投来，经棒打击后，沿仰角的速率投来，经棒打击后，沿仰角=450的的方向飞出，速率变为方向飞出，速率变为v2=80 m/s 。求棒对球的冲量。求棒对球的冲量大小与方向。如果球与棒接触的时间为大小与方向。如果球与棒接触的时间为 t=0.02 s，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重量的求棒对球的平均冲力的大

32、小。它是垒球本身重量的几倍？几倍？a1vm2vm解：如图所示，设垒球飞来解：如图所示，设垒球飞来方向为方向为x 轴方向，棒对球的轴方向，棒对球的冲量的大小为冲量的大小为sNvvvvmvmvmI9.1645cos80502805014.0cos2 2221222112xI棒对球的平均冲力棒对球的平均冲力N84502.09.16tIF此力为垒球本身重量的此力为垒球本身重量的倍数倍数 F/(mg)9.8)=616设设I 与与x 轴夹角为轴夹角为 ，给出给出amvmvamvcossinarctan1802120215245cos805045sin80arctan1800000二、质点系动量定理二、质点

33、系动量定理1F2F3F12f21f由多个质点形成的质点系中的作用力有由多个质点形成的质点系中的作用力有外力外力和和内力内力，内力总是成对出现的。对每个质点写出动量定理：内力总是成对出现的。对每个质点写出动量定理：222111PddtfFPddtfFii)()(相加得相加得)()(iiPddtF或：或：1221PPdtFtti)(在一段时间内，作用在质点系上外力矢量和的冲量等在一段时间内，作用在质点系上外力矢量和的冲量等于这段时间内系统动量的增量。于这段时间内系统动量的增量。质点系动量定理。质点系动量定理。注意：注意：只有外力才会改变系统的动量，内力只会改变只有外力才会改变系统的动量，内力只会改

34、变系统内各质点的动量而不会改变整个系统的动量。系统内各质点的动量而不会改变整个系统的动量。三、质点系动量守恒定律三、质点系动量守恒定律由质点系动量定理由质点系动量定理1221PPdtFtti)(若若 0iF则则恒恒矢矢量量iivmP当作用在质点系上的外力矢量和等零时，当作用在质点系上的外力矢量和等零时，系统系统动量守恒。动量守恒。动量守恒定律动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规是自然界普遍适用的一条基本规律。无论律。无论在宏观运动的在宏观运动的经典力学经典力学、微观粒子运动的、微观粒子运动的量子力学量子力学及高速运动的及高速运动的相对论相对论中都适用。中都适用。在应用动量守恒定律时，要注意

35、以下几点：在应用动量守恒定律时，要注意以下几点：动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。应是同一时刻的动量之和。系统的动量守恒，但系统内每个质点的动量可能系统的动量守恒，但系统内每个质点的动量可能发生变化。发生变化。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，由于系统内部相互作用力远大于合外力，往往中，由于系统内部相互作用力远大于合外力，往往可忽略外力，系统动量守恒近似成立。可忽略外力，系统动量守恒近似成立。动量守恒可在某一方向

36、上成立动量守恒可在某一方向上成立:常量常量则则，若若ixixixvmPF0mM例例7、质量为、质量为m 的人从小车的一端的人从小车的一端走到另一端，小车质量为走到另一端，小车质量为M，车长，车长L，求人与车相对地面的位移。，求人与车相对地面的位移。解：可认为人与车这一系统解：可认为人与车这一系统在水平方向上不受外力水在水平方向上不受外力水平方向动量守恒。设人、车平方向动量守恒。设人、车的速度分别为的速度分别为v1 和和v2，则有，则有MV2v1x2 x1021Mvmv同乘以同乘以dt，有，有2121MdxmdxdtMvdtmv积分得：积分得：21Mxmx 又由图知又由图知MmmLxMmMLxL

37、xx2121,例例8 8 一辆停在直轨道上质量为一辆停在直轨道上质量为M 的平板车上站着的平板车上站着两个人，当他们从车上沿同方向跳下后，车获得了两个人，当他们从车上沿同方向跳下后，车获得了一定的速度。设两个人的质量均为一定的速度。设两个人的质量均为m，跳下时相对跳下时相对于车的水平分速度均为于车的水平分速度均为u u。试比较两人同时跳下和两。试比较两人同时跳下和两人依次跳下两种情况下，车所获得的速度的大小。人依次跳下两种情况下，车所获得的速度的大小。解解:人和车系统的动量的水平分量守恒。人和车系统的动量的水平分量守恒。当两人同时跳下车时，设车后退的速率为当两人同时跳下车时，设车后退的速率为

38、v1 有有mMmuvMvvum2202111,)(对两人依次跳下的情况，第一人跳下时，以对两人依次跳下的情况，第一人跳下时，以v2 表示表示车的速度，则动量守恒给出：车的速度，则动量守恒给出：随后第二人跳下时，以随后第二人跳下时，以v2 表示车最后的速度大小，表示车最后的速度大小，则动量守恒给出则动量守恒给出:222)()(vmMMvvum由此得由此得mMmMmumMvmMmuv21122)(v1和和v2相比相比，可知可知 v1v20)()(22vmMvum2 26 6 功、动能定理功、动能定理 一、恒力的功一、恒力的功rFrFAcos m1，且，且v20=0，则有，则有102201,vvvv

39、 0,2101vvv q 若若m1m2，且，且v20=0，则有，则有1021012,vvvv完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：e=0，碰后两物体不分开。，碰后两物体不分开。2120210121mmvmvmvv2102121)(2vmmmmEk正碰讨论正碰讨论 M2mv0LM1例例13质量为质量为M1 的小车，静止在的小车，静止在光滑水平轨道上，车底用长为光滑水平轨道上，车底用长为L的细绳吊有质量为的细绳吊有质量为M2的砂袋。的砂袋。现有一质量为现有一质量为m的子弹水平射入的子弹水平射入砂袋内，并测出砂袋的最大摆砂袋内，并测出砂袋的最大摆角为角为，求子弹的入射速度。，求子弹的入射速度。解：子弹射入

40、砂袋过程，解：子弹射入砂袋过程，二者动量守恒：二者动量守恒：120)(vMmmv砂袋摆角最大时与小车有共同的水平速率砂袋摆角最大时与小车有共同的水平速率v，且系统，且系统在水平方向上不受外力，动量守恒：在水平方向上不受外力，动量守恒：2210)(vMMmmv砂袋上摆过程中仅有重力做功，机械能守恒：砂袋上摆过程中仅有重力做功，机械能守恒：)cos1()()(21)(2122221212gLMmvMMmvMm求出求出12110)cos1()(2MgLMMmmMmvMmh例例14一小皮球，放在另一大皮球上，一小皮球，放在另一大皮球上，二者一起自由下落，反弹后小皮球会二者一起自由下落，反弹后小皮球会跳

41、得比原来高许多倍。试解释之。跳得比原来高许多倍。试解释之。解：大球下落后先与地面发生完解：大球下落后先与地面发生完全弹性碰撞，碰后以速率全弹性碰撞，碰后以速率ghv20向上反弹。此时，小球也正以此速率下落，与大球发向上反弹。此时，小球也正以此速率下落，与大球发生完全弹性碰撞，有：生完全弹性碰撞，有：12,0212100vvveMvmvmvMv求出求出00133vvmMmMv反弹高度反弹高度hgvH9221例例15一皮球从距地面一皮球从距地面h 的高度处自由下落，与地面的高度处自由下落，与地面相撞，恢复系数为相撞，恢复系数为e。皮球经多次反弹后停下，求皮皮球经多次反弹后停下，求皮球所经过的总路程

42、。球所经过的总路程。解：皮球第一次碰地后的反弹速率和反弹高度各为：解：皮球第一次碰地后的反弹速率和反弹高度各为：hegvegvhevv22022110122,第二次碰后则为第二次碰后则为hegvhveevv422202122,第第i 次碰后则为次碰后则为hegvhveviiiii2202,因而皮球在停下前走过的总路程为：因而皮球在停下前走过的总路程为：)1(2222222642264221eeehehhehehehhhhhSi264211)1(,10eeeeeheeS2211得得29质心质心运动定律质心质心运动定律一、质心一、质心 质点系的质心代表质点系质量分布的平均位置。质点系的质心代表质点

43、系质量分布的平均位置。设质点系中各质点的质量用设质点系中各质点的质量用mi表示，空间坐标用表示，空间坐标用(xi，yi，zi)表示，则在直角坐标系中，质心位置坐标的表示，则在直角坐标系中，质心位置坐标的表达式为：表达式为：mzmmymmxmxiiiciiiciiicz y 质心的位矢：质心的位矢：(m为总质量为总质量)mrmmrmriiiiiic对质量连续分布的物体，其质心坐标为：对质量连续分布的物体，其质心坐标为：mzdmmydmmxdmxccc/z /y /几点说明：几点说明：（1）坐标系的选择不同，系统质心的坐标也不同。）坐标系的选择不同，系统质心的坐标也不同。但对一个质点系而言，其质心

44、的位置是固定的。但对一个质点系而言，其质心的位置是固定的。（2）对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物）对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处。对于由多部分构成的固体，可先求体的几何中心处。对于由多部分构成的固体，可先求出每一部分的质心，再将各部分的质量分别集中于其出每一部分的质心，再将各部分的质量分别集中于其质心，得一质点组；然后利用质心公式求出整体的质质心，得一质点组；然后利用质心公式求出整体的质心。心。例例16 有一块匀质的薄圆板，半径为有一块匀质的薄圆板，半径为R，在这个板上，在这个板上挖一个半径为挖一个半径为r的圆孔，使圆板与圆孔的中心相距为的圆孔，使圆板与圆孔的中

45、心相距为d，求挖余部分的质心位置。，求挖余部分的质心位置。解：整个圆板可看成由两部分组解：整个圆板可看成由两部分组成，即小圆板和挖余部分。若设成，即小圆板和挖余部分。若设质量面密度为质量面密度为 ，则小圆板的质，则小圆板的质量和挖余部分的质量分别为量和挖余部分的质量分别为21rm)(222rRm由图知小圆板的质心坐标为由图知小圆板的质心坐标为 x1=d，大圆板的质心，大圆板的质心C的的坐标为坐标为 xC=0，挖余部分质心的坐标，挖余部分质心的坐标x2,根据质心的计根据质心的计算公式算公式 021221mmxmdmxc021221mmxmdmxc可得挖余部分的质心坐标可得挖余部分的质心坐标 rR

46、drdrRrdmmx222222212二、质心运动定律二、质心运动定律 1 1系统动量与质心速度系统动量与质心速度 将质心位矢将质心位矢mrmriic求导得出质心速度：求导得出质心速度：iiiiiiccvmmdtrdmmdtrdv11因而质点系的总动量：因而质点系的总动量：ciivmvmP等于其总质量与质心速度的乘积。等于其总质量与质心速度的乘积。2 2质心运动定理质心运动定理 系统所受的合外力可以写成系统所受的合外力可以写成 ：cciamdtvdmdtPdFF即，作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系即，作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。统质心加速度的乘积。质心运

47、动定律。质心运动定律。它与牛顿第二定律的形式完全相同，相当于将系统它与牛顿第二定律的形式完全相同，相当于将系统的质量全部集中于质心，在合外力的作用下，质心的质量全部集中于质心，在合外力的作用下，质心以加速度运动。因此，无论系统内各质点的运动如以加速度运动。因此，无论系统内各质点的运动如何复杂，系统质心的运动却相当简单，只由作用在何复杂，系统质心的运动却相当简单，只由作用在系统上的外力决定；内力不能改变质心的运动状态。系统上的外力决定；内力不能改变质心的运动状态。炮弹爆炸后碎片四处炮弹爆炸后碎片四处飞散，但其质心仍沿飞散，但其质心仍沿原抛物线轨道运动。原抛物线轨道运动。斧头扔出去后不断斧头扔出去后不断旋转，但其质心是旋转，但其质心是作抛射体运动。作抛射体运动。质心运动质心运动无论跳水运动员在空中无论跳水运动员在空中作多复杂的动作，其质作多复杂的动作，其质心总是沿抛物线运动。心总是沿抛物线运动。mMc对对“地月地月”这种二体系这种二体系统，其质心一定在二者球心统，其质心一定在二者球心的连线上，因而若月球绕地的连线上，因而若月球绕地球旋转，则地心也应向另一球旋转，则地心也应向另一方向运动，以保证质心处于方向运动，以保证质心处于两球心的连线上。两球心的连线上。