品质管理全套资料qm07

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1、 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!致 遠 管 理 學 院 工 業 管 理 學 系課 程：實 驗 設 計主 講 人：林 東 成 助理教授時間：2002/9/* 2003/1/*參 考 資 料1. Douglas C. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, 5th Edition, John Wiley & Sons, Inc.2. 黎正中 譯，實驗設計與分析，高立圖書有限公司。3. 白賜清 編著，工業實驗計劃法，中華民國品質學會發行。4. 吳玉印 著，新版實驗計劃法，中興管理顧問發行。5. 陳耀茂 譯，田口實驗計劃法，滄海書局。

2、6. 吳柏林 著，現代統計學，五南圖書出版公司。7. 陳順宇、鄭碧娥 著，統計學，華泰書局。8. 王文中 著，Excel於資料分析與統計學上的應用，博碩文化股份有限公司。授 課 目 錄第1章 簡 介第2章 簡單比較性的實驗第3章 一因子實驗：變異數分析第4章 隨機化集區，拉丁方陣，與相關設計第5章 因子設計簡介第6章 2k因子設計第7章 2k因子設計的集區劃分與交絡第8章 2水準部份因子設計第9章 3水準與混合水準因子和部份因子設計第10章 配適迴歸模式第11章 反應曲線法與其他製程最佳化法第12章 有隨機因子之因子實驗第13章 套層及分裂圖設計第14章 其他設計與分析題目第7章 2k因子設計

3、的集區劃分與交絡Chap 7. Blocking and Confounding in the 2k Factorial Design7-1 簡介 (Introduction)有多種情況實驗者無法在均一的條件下進行2k因子實驗的所有試驗，如原料不足、或故意改變實驗條件，以確保處理於實際上可能遇到的狀況能一樣地有效(i.e., 即穩健的)。此種情況用到的設計技巧是集區劃分(Blocking)，本章集中於2k因子設計的一些特殊的集區劃分技巧。7-2 集區劃分一個反覆的2k因子設計(Blocking a Replicated 2k Factorial Design)假設2k因子設計反覆n次，此情況與

4、第5章討論的完全相同，每一種不同的條件就是一個集區，而每個反覆就在集區內，在各個集區(或反覆)的試驗以隨機順序進行。*範例 7-115% (低)a = 10036+32+32B因子A因子1 lb(低)25% (高)2 lb(高)ab = 9031+30+29b = 6018+19+23(1) = 8028+25+27考慮在6-2節所描述一反應濃度(Reaction Concentration)和觸媒量(Catalyst)對化學反應過(製)程合格率效果的研究。假設單一批原料只容納4次試驗，所以，需要3批原料來進行3次反覆，其中每一原料批對應到一個集區， 集區1集區2(1)=28a=36b=18a

5、b=31集區3(1)=27a=32b=23ab=29(1)=25a=32b=19ab=30B1=113B2=106B3=111SSblock= Bi2/4 - y2/12 = 6.50由ANOVA分析，集區效果不顯著。*7-3 2k因子設計的交絡(Confounding in the 2k Factorial Design)許多情況是在一個集區裡進行一次完整的2k因子設計是不可能的。交絡(Confounding)是一個設計技巧，可安排一個完整的因子實驗到數個集區，其中集區的大小是小於一次反覆中處理組合的個數，此技巧造成某些處理效果(通常指高階交互作用)的資訊成為無法區分於(In-disting

6、uishable from)或交絡於(Confounded with)集區效果。本章集中於2k因子設計的交絡系統。7-4 2k因子設計交絡於2個集區(Confounding the 2k Factorial Design in Two Blocks)假設進行一個未反覆的2k因子設計，22= 4種處理組合均需要一些原料，而每一批原料只夠試驗2個處理組合，因此共需2批原料，倘將原料批視成集區，則須指訂4種處理組合中的2種到每一個集區裡。=集區1試驗A+B-+-=集區2試驗集區1集區2(1)abab(a) 幾何上視之(b) 置於2集區裡的4個試驗圖7-1 2集區之2k因子設計上圖(a)顯示相對對角的

7、處理組合被安置到不同的集區，圖(b)視出集區1包含處理組合(1)與ab、集區2包含處理組合a與b，當然，在集區裡處理組合的試驗順序是隨機決定的，且隨機決定集區順序。則A與B的主效果(與似無發生集區般)為，A = ab+a-b-(1)/2B = ab+b-a-(1)/2A與B均無受到集區劃分的影響，因為上式中各有來自每個集區的一個正的與一個負的處理組合，亦即，集區1與集區2之間的任何差異均被抵消矣。續考慮AB交互作用效果AB = ab+(1)-a-b/2因2個正號的處理組合ab與(1)在集區1裡、而2個負號的處理組合a與b在集區2裡，集區效果與AB交互作用效果是完全相等的，亦即，AB是交絡於集區

8、。此理由可從2k設計的正負符號表明顯視出，處理組合因子效果IABAB(1)+-+a+-b+-+-ab+這作法可用來交絡任何效果(A，B或AB)於集區。如(1)與b指訂到集區1及a與ab指訂到集區2，則A的主效果將被交絡於集區。一般是將最高階交互作用效果交絡於集區。上述作法可用來交絡任何2k設計於2個集區。建構集區的其他方法(Other Methods for Constructing the Blocks)此為利用線性組合，L = a1x1+ a2x2 + + akxk(7-1)其中xi是出現在處理組合中第i個因子的水準，與ai是要被交絡的效果中第i個因子的冪次(Exponent)。對2k系統

9、，ai = 0或1，及xi= 0 (低水準)或xi= 1 (高水準)。式(7-1)稱之為定義對比(Defining Contrast)，會產生相同L(Mod 2)的可能值只有0與1，如此指訂2k個處理組合正好到2個集區裡。茲考慮23設計而且交絡ABC於集區，在此x1對應A、x2對應B、x3對應C，與a1 = a2 = a3 =1，因此，對應於ABC的定義對比為，L = x1+ x2 + x3 因此處理組合(1)在(0,1)的符號表示下為000；所以，L = 1(0)+1(0)+1(0)= 0 = 0 (Mod 2)同理，處理組合a為100；所以，L = 1(1)+1(0)+1(0)= 1 =

10、1 (Mod 2)故(1)與a將分屬不同的集區。對於其他的處理組合，b:L = 1(0)+1(1)+1(0)= 1= 1 (Mod 2)ab:L = 1(1)+1(1)+1(0)= 2 = 0 (Mod 2)c: L = 1(0)+1(0)+1(1)= 1= 1 (Mod 2)ac: L = 1(1)+1(0)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)bc: L = 1(0)+1(1)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)abc: L = 1(1)+1(1)+1(1)= 3 = 1 (Mod 2)所以，(1), ab, ac, bc屬於集區1；a, b, c, abc屬於集區2，這與用正負符號

11、表所產生的設計完全相同。另一種建構這些設計的方法，包含處理組合(1)的集區稱之為主集區(Principal Block)，在此集區裡的處理組合有一個很有用的群理論性質(Group-Theoretic Property)，即它們以乘法Mod 2的運算而形成之一”群”(Group)，此意謂著主集區內的任何元素除(1)外可由主集區內任2個元素(處理組合)相乘法的Mod 2得到，如ABC交絡之23設計在2個集區的主集區，ab ac = a2bc = bc；ab bc = ab2c = ac； ac bc = abc2 = ab因此主集區的元素為(1), ab, ac, bc。而另一集區，可由一個非主集

12、區的元素(處理組合)乘以主集區的每一個元素Mod 2產生。其中，b是在另一集區裡，故另一集區的元素為，b (1) = b；b ab = ab2 = a；b ac = abc；b bc = b2 c = c其結果與先前得到的一致。誤差的估計(Estimation of Error)當因子數目很小時(2k，LevelFactor)，如k = 2或3，通常有必要反覆實驗以獲得一個誤差估計值。如23因子實驗必須以2個集區來進行且ABC被交絡，實驗者決定反覆設計4次，如下圖，集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆1集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆2集區1集區2(1)acabbcab

13、cabc反覆3集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆4圖7-3 反覆4次ABC被交絡之23設計此設計總共32個觀測值和31個自由度，有8個集區即7個自由度，此7個自由度分解為FA= FB= FC= FAB= FBC= FAC= FABC= 1，而誤差平方為反覆與因子效果(A, B, C, AB, AC, BC)之二者交互作用。考慮視交互作用為零且將其均方作為誤差估計值的作法是成立的，此均方誤差可以檢定主效果與2-因子交互作用效果。ANOVA-反覆4次且交絡ABC之23設計 變源自由度反覆3集區(ABC)1ABC的誤差(反覆集區)3A, B, C, AB, AC, BC各1誤差(反覆效果

14、)18總和31倘實驗資源允許反覆的交絡設計，較佳方式是稍微以不同方式來設計各個反覆的集區，此方式包括在每個反覆中交絡不同的效果，使得所有的效果都能有一些資訊，此法稱之為部分交絡(Partial Confounding)。倘k 不算太小，即k 4，且只一次反覆時，實驗者常假設高階交互作用效果是可忽略的，並將其平和合併為誤差。範例7-2回顧再續範例6-2，一個化學產品於一壓力槽內生產，在實驗工廠進行因子實驗來研究產品的過濾比率(Filtration Rate)，4個因子為溫度(A)、壓力(B)、甲醛濃度(C)、與攪拌速度(D)，各因子均有2水準，單次反覆。有興趣於極大化過濾比率。用此實驗來說明一個

15、未反覆設計集區劃分與交絡的概念，假設24 = 16種處理組合無法利用一批原料進行所有的試驗，實驗者由一批原料可以試驗8個處理組合，所以一個24 交絡於2個集區的設計是適當的，且交絡最高階交互作用效果(ABCD)於集區。-+DABC集區1集區2(1)=25ab=45ac=40bc=60ad=80bd=25cd=55abcd=76a=71b=48c=68d=43abc=65bcd=70acd=86abd=1044*假設二批原料中有一批的品質低劣，造成所有的反應值均比用另一批原料所得值低20，即原始反應值減去20，低劣品質原料是集區1與良好品質原料批為集區2。計算結果， 4個主效果、6個2-因子交互

16、作用效果、4個3-因子交互作用效果的估計值均與無集區效果的例6-2所得之效果估計值完全相同。當劃出這些效果估計值的常態機率圖時，因子A、C、D與AC、AD交互作用為顯著重要效果。 ABCD交互作用效果的估計值原為1.375，但在此實驗其估計值為-18.625，因ABCD交絡於集區，ABCD交互作用效果的估計值是原1.375加上區集效果(-20)，即ABCD = 1.375+(-20)= -18.625。集區效果亦可由二個集區平均反應差得之，即集區效果 = =406/8 555/8 = -18.625所以，此效果真正估計= 集區 + ABCD 此實驗倘非以集區方式進行，且前8次試驗均減去20，則

17、結果可能會非常不同。7-5 2k因子設計交絡於4個集區(Confounding the 2k Factorial Design in Four Blocks)建構一個交絡於4個集區而每個集區有2k-2個觀測值的2k因子設計是有可能的，這種設計對於因子個數k 4而集區大小卻相當小時特別有效。茲考慮25設計，如每個集區只能容納8次試驗，則需要4個集區，選出2個效果交絡於集區，如ADE與BCE，此二個效果所對應之定義對比為，L1 = x1+ x4 + x5 L2 = x2+ x3 + x5 則每一個處理組合會產生一個L1 (Mod 2)與L2 (Mod 2)的特定成對值，即(L1 , L2)= (0

18、, 0), (0, 1), (1, 0),或(1, 1)，產生相同的(L1 , L2)值的處理組合將被指訂至同一集區，如，L1 = 0, L2= 0 (1), ad, bc, abcd, ab, ace, cde, bde L1 = 1, L2= 0 a, d, abc, bcd, be, abde, ce, acde L1 = 0, L2= 1 b, abd, c, acd, abce, ae, bcde, deL1 = 1, L2= 1 e, ade, bce, ab, abcde, bd, ac, cdL1 = 0L2 = 0(1) abcad acebc cdeabcd bdeabed

19、 abdeabc ce bcd acdeBlock 1L1 = 1L2 = 0Block 2L1 = 1L2 = 1b abceabd aec bcdeacd dee abcdeade bdbce ac ab cdBlock 4L1 = 0L2 = 1Block 3圖7-5 交絡ADE, BCE與ABCD之4個集區之25設計仔細思量，除了ADE與BCE外，尚有另一個效果被集區交絡，因4個集區有3個自由度，而ADE與BCE各有1個自由度，明顯地另有一個1個自由度的效果亦被交絡矣，此即ADE與BCE的廣義交互作用(Generalized Interaction)，其定義為ADE與BCE的乘積Mod

20、 2，因此，ADE與BCE的廣義交互作用為(ADE)(BCE) = ABCDE2 = ABCD ，且亦交絡於集區。注意，對某個特定集區裡的任何2個效果的符號相乘(e.g., ADE與BCE)帶來該集區另一個效果的符號(即ABCD)。因此，ADE，BCE與ABCD都是交絡於集區。由25設計的正負符號，可知處理組合被指派至集區如下處理組合在ADE的符號BCE的符號ABCD的符號集區1-+集區2+-集區3-+-集區4+在上節7-4中提及之主集區的群理論性質仍成立，主集區裡的2個處理組合的乘積產生主集區裡的另一個元素，亦即，如，ad bc = abcd；abe bde = ab2de2 = ad要建構

21、另一集區，則選一個不在主集區裡之處理組合(如b)與主集區裡的處理組合乘以b，則，b (1) = b；b ad = abd； b bc = c；b abcd = acd如此會產生集區3裡之8個處理組合。實務上，主集區可以從定義對比與群理論性質得到，而其他集區之處理組合由上述方法決定。建構一個4集區的2k設計的一般步驟： 選擇2效果與集區交絡，自然會有第3個效果(即是前2個的廣義交互作用)與集區交絡， 利用2個定義對比(L1 , L2)與主集區的群理論性質來建構所要的設計， 在選擇交絡於集區之效果時務必謹慎，以免有興趣的效果被交絡。犧牲3因子交互作用的資訊比犧牲2因子交互作用更合意(ADE 與BC

22、E ABCD；ABCDE與ABD CE)7-6 2k因子設計交絡於2p個集區(Confounding the 2k Factorial Design in 2p Blocks)上述方法可擴至建構一個交絡於2p( p k )個集區，而其中每個集區恰有2k-p個處理組合的2k因子設計，實驗者選出p個獨立要交絡之效果，此處獨立意指所選出的效果非其中任2個效果之廣義交互作用，這些集區可以利用所對應的p個定義對比產生。另外，恰有2p-p-1個其他效果亦被交絡，即初選之p個獨立效果的廣義交互作用，當然，選出p個獨立交絡效果時須謹慎，以免一些有興趣之效果被交絡矣。這些設計之統計分析，即所有效果平方和的計算如

23、無集區劃分般，而集區平方和則為被交絡效果平方和之和。假設建構一個26設計而交絡在23 = 8個集區，且每個集區有8個試驗，茲選ABEF, ABCD, 與ACE作為p = 3個獨立將被集區交絡之效果，同時亦有2p-p-1=23-3-1=4效果被交絡，即這些為3個(ABEF, ABCD, 與ACE)之廣義交互作用，則為，(ABEF)(ABCD)= A2B2CDEF= CDEF(ABEF)(ACE)= A2BCE2F = BCF(ABCD)(ACE) =A2BC2DE = BDE(ABEF)(ABCD)(ACE)=A3B2CDE2F = ADF7-7 部份交絡(Partial Confounding

24、)除非實驗者有一個誤差的事先估計值，或假設某些交互作用可忽略，否則必須反覆設計以得到一個誤差的估計值，如23因子實驗必須以2個集區來進行且ABC被交絡，實驗者決定反覆設計4次，如下圖，集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆1集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆2集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆3集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆4圖7-3 反覆4次的ABC被交絡之23設計由上圖(7-3)與其ANOVA表知，交互作用ABC的資訊是完全喪失，因每次反覆中ABC均與集區交絡，此稱之為完全交絡(Completely Confounded)。交絡ABC(1)a

25、bacbcabcabc反覆1交絡AB(1)cababcabacbc反覆2交絡BC(1)abcabcbcabac反覆3交絡AC(1)bacabcacabbc反覆4圖7-6 部份交絡之23設計如上圖(7-6)，仍是23因子實驗，反覆設計4次，但每次反覆所交絡的交互作用卻不一樣，如， 反覆1交絡ABC、反覆2交絡AB、反覆3交絡BC、反覆4交絡AC， ABC的資訊可由反覆2, 3, 4資料得知、AB的資訊可由反覆1, 3, 4資料得知、AC的資訊可由反覆1, 2, 4資料得知、AC的資訊可由反覆1, 2, 3資料得知。稱此可得到3/4資訊的交互作用，因為4次反覆中有3次反覆無被交絡，Yates(19

26、37)稱比值3/4為交互作用的相對資訊(Relative Information for the Confounded Effect)，此設計稱之為部分交絡(Partial Confounding)。另其ANOVA表如下，ANOVA-反覆4次且比值3/4交絡之23設計變源自由度反覆3反覆內的集區或ABC(rep. 1)+ AB(rep. 2)+ BC(rep. 3)+ AC(rep. 4)4A, B, C各1AB(從反覆1, 3, 4)1AC(從反覆1, 2, 3)1BC(從反覆1, 2, 4)1ABC(從反覆2, 3, 4)1誤差17總和31*範例 7-3- 一個部份交絡之23設計考慮範例 6-1，探討有關碳酸百分比(A)、操作壓力(B)、速度(C)，對碳酸飲料充填高度影響之研究，假設每一批糖漿只能測試4種處理組合，因此，每一次23設計之反覆須在2個集區裡進行，計反覆2次，反覆 I 交絡ABC、反覆II 交絡AB，其資料如下，交絡ABC(1)= -3ab= 2ac= 2bc= 1a =0b= -1c= -1abc =6反覆 I交絡AB(1) =-1c= 0ab= 3abc= 5a= 1b= 0ac= 1bc= 1反覆II經ANOVA分析，三個主效果均顯著的。* 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!