matlab非线性参数拟合估计

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1、使用 nlinfit、fminsearch 在 matlab 中实现基于最小二乘法的非线性参数拟合(整理自网上资源) 最小二乘法在曲线拟合中比较普遍。拟合的模型主要有1. 直线型2. 多项式型3. 分数函数型4. 指数函数型5. 对数线性型6. 高斯函数型 一般对于LS问题，通常利用反斜杠运算“”、fminsearch或优化工具箱提供 的极小化函数求解。在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界 面操作。在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型。“”命令1假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x2.首先建立设计矩阵X：X二ones(size(x) x

2、 x2;执行：para=Xypara 中包含了三个参数： para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c; 这种方法对于系数是线性的模型也适应。2假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x2) 设计矩阵 X 为X=ones(size(x) exp(x) x.* exp(x.2);para=Xy3. 多重回归(乘积回归)设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是预测变量，y是响应变量。设计矩阵为 X=ones(size(x) x t %注意 x,t 大小相等！para=Xypolyfit 函数polyfit函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入

3、的数据 生成设计矩阵。1假设要拟合的多项式是：y二a+b*x+c*x2 p=polyfit(x,y,2) 然后可以使用 polyval 在 t 处预测： y_hat=polyval(p,t) polyfit 函数可以给出置信区间。p S二polyfit(x,y,2) %S 中包含了标准差y_fit,delta = polyval(p, t,S) %按照拟合模型在t处预测在每个 t 处的 95%CI 为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也适应假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)p=polyfit(x,log(y),2

4、)fminsearch 函数fminsearch是优化工具箱的极小化函数。LS问题的基本思想就是残差的平方和 (一种范数，由此，LS产生了许多应用)最小，因此可以利用fminsearch函数进 行曲线拟合。假设要拟合： y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) 首先建立函数，可以通过m文件或函数句柄建立： x=;y=;f=(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %注意向量化：p(l)=a;p(2)=b;p(3)=c;%可以根据需要选择是否优化参数%opt=options() p0=ones(3,l);% 初值 para=fminsearch(p)

5、 (y-f(p,x)2,p0) %可以输出 Hessian 矩阵 res二y-f(para,x)% 拟合残差曲线拟合工具箱 提供了很多拟合函数，对大样本场合比较有效！非线性拟合 nlinfit 函数clear all;x1=0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017;x2=0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443; x=x1 x2;y=0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309;f=(p,x)2.350176*p(l) *(ll/p(2) *(l(lx(:,l)(l/p(2).p(2

6、)2. *(x(:,l).八 (T/p(2)T). (-p(2). *x(:,1). (-1/p(2)-0.5). *x(:,2);p0=8 0.5; opt=optimset(TolFun,1e-3,TolX,1e-3);%p R=nlinfit(x,y,f,p0,opt)2.多项式型的一个例子1900-2000 年的总人口情况的曲线拟合clear all;close all;%cftool 提供了可视化的曲线拟合！t=1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000;y=75.995 91.972 105.711 123.203

7、131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220;%t 太大，以 t 的幂作为基函数会导致设计矩阵尺度太差，列变量几乎线性相依。 变换为-1 1上s=(t-1950)/50;%plot(s,y,ro);%回归线：y二a+bxmx=mean(s);my=mean(y); sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y);b=r*sy/sx;a=my-b*mx;rline=a+b.*s;figure; subplot(3,2,1 2)plot(s,y,ro,s,rline,k);%title(多项式拟合)； set(gc

8、a,XTick,s,XTickLabel,sprintf(%d|,t);%hold on；n=4；PreYear=2010 2015 2020；%预测年份 tPreYear=(PreYear-1950)/50；Y=zeros(length(t),n)； res=zeros(size(Y)；delta=zeros(size(Y)；PrePo=zeros(length(PreYear),n)；Predelta=zeros(size(PrePo)；for i=1:np S(i)=polyfit(s,y,i)；Y(:, i) delta(:, i)二polyval(p,s,S(i);%拟合的 YPre

9、Po(:,i) Predelta(:, i)=polyval (p, tPreYear, S(i) ；%预测 res(:,i)=y-Y(:,i);% 残差end% plot(s,Y);%2009a自动添加不同颜色%legend(data,regressionline,1stpoly,2ndpoly,3rdpoly,4th poly,2)% plot(tPreYear,PrePo,);% hold off% plo t(Y,res,o);% 残差图r二corr(s,Y)2 %R“2%拟合误差估计 CIYearAdd=t;PreYear; tYearAdd=s;tPreYear;CFtit = 一

10、阶拟合，二阶拟合，三阶拟合，四阶拟合;for col=1:n subplot(3,2,col+2); plot(s,y,ro,s,Y(:,col),g-);% 原始数据和拟合数据 legend(Original,Fitted,2);hold on; plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),r:);%95% CI plot(s,Y(:,col)-2*delta(:,col),r:); plot(tPreYear,PrePo(:,col),);% 预测值 plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col);% 预测 95% CI plot

11、(tPreYear,PrePo(:,col)-2*Predelta(:,col);axis(-1.2 1.8 0 400); set(gca,XTick,tYearAdd,XTickLabel,sprintf(%d|,YearAdd); title(CFtitcol);hold off;endfigure;%残差图for col=1:n subplot(2,2,col); plot(Y(:,i),res(:,i),o);end一个非线性的应用例子（多元情况）要拟合 y=a*xnl+b*x2n2+c*x3n3 %注：只是作为应用，模型不一定正确！%x2=x3!y=1080.94 1083.03

12、1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.051299.03 1298.30 1440.22 1641.30 1672.21 1612.73 1658.64 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07;x1=1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2;x2=1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.2

13、50 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5;x3=1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.3251.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5; x=x1 x2 x3;f=(p,x) p(l) *x(:,l).p(2)+p(3) *x(:,2).p(4)+p(5) *x(:,3).p(6); p0=ones(6,1);p二fminsearch(p)sum(y-f(p,x).2,p0) res=y-f(p,x

14、);res2二res.2 %失败的模型Matlab 自定义函数 自定义函数的途径：M 文件函数(M file function) 在线函数(Inline Function) 匿名函数(Anonymous Func tion)1.M 文件函数 范例function c=myadd(a,b)%这里可以写函数的使用说明，前面以%开头%在工作区中，help myadd将显示此处的说明 c=a+b;%end %非必须的第一行function告诉Matlab这是一个函数，a,b是输入，c是输出，myadd是 函数名。以m文件定义的函数必须保存为函数名的形式，上例中，函数应保存为 myadd.m。要使用my

15、add函数，该函数必须在Matlab的搜索路径中。调用方式：在 Matlab 命令符后输入 a=1;b=2;c=myadd(a,b)2.在线函数(Inline Func tion)通常作为参数传递给另外一个函数。比如 fminsearch， lsqcurvefit 等函数需要 以函数作为参数。在线函数从字符串表达式创建函数，例如：f二inline(x2,x);创建了函数f(x)二x2。要计算f(3),在工作区输入f(3)即可。f(2 3 4)计算 在 x=2 3 4 时的值f=inline(x+y,x,y)创建了二元函数f(x,y)=x+y,工作区输入f(2,3)计算2+3,等同于f(f,2,

16、3)。3.匿名函数(Anonymous Func tion) 匿名函数使用函数句柄来表示匿名函数,定义形式为函数句柄=(变量名) 函数表达式例如：f=(x) x.2定义了函数f(x)=x2, f(2)计算在x=2处的值。匿名函数可以调用 Matlab 函数,也可以使用工作区中存在的变量,例如 a=2;f=(x) x.2+af(2) %计算时引用了变量 aa=0;f(2) %仍然引用的是 a=2匿名函数也可以由 Matlab 的内置函数或 M 文件函数创建,例如f=sin %f(x)=sin(x)f(pi/2) %sin(pi/2) functions(f) %查看函数信息利用单元数组可以创建多个函数的句柄,例如f=sin cosf1(pi/2) %计算 sin(pi/2) f2(pi) %计算 cos(pi)函数句柄的另一个重要特征是可以用来表示子函数、私有函数和嵌套函数。Matlab 7 以后,建议以匿名函数取代在线函数！在创建匿名函数时，Matlab记录了关于函数的信息，当使用句柄调用该函数的 时候, Matlab 不再进行搜索,而是立即执行该函数,极大提高了效率。