P、PI、PID控制器的性能比较

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1、目录1 系统整 体 分析 12 由参考输入决定的系统类型及误差常数 22.1 P 控制器作用下的参考输入分析 22.2 PI 控制器作用下的参考输入分析 32.3 PID 控制器作用下的参考输入分析 42.4 三种控制器的比较 53 由扰动输入决定的系统类型和误差常数 73.1 P 控制器作用下的扰动输入分析 73.2 PI 控制器作用下的扰动输入分析 73.3 PID 控制器作用下的扰动输入分析 83.4 三种控制器的比较 94 在 Matlab 中的仿真与验证 104.1 未加控制器的系统响应 104.2 加入 P 控制器后的系统响应 124.3 加入 PI 控制器后的系统响应 144.4

2、 加入 PID 控制器后的系统响应 164.5 控制器的性能总结 18参考文献 20p、pi和pid控制器性能比较1系统整体分析二阶系统的结构图如图 1所示：WRY图 1 二阶 系统的结构 图可知系统对象模型为G(s) = 1，系统为单位反馈的情形，D (s)为控(s + l)(5s + 1)i制器单元，G(s)为系统对象模型。可求得系统的输出方程和控制器输出方程分别为:(1)(2)进而得到系统的误差方程为：(3)由已知条件可将系统的传输函数和控制器函数分别写为：(4)D (s) = 191(5)D (s) = 19 + 1/2s2(6)D3(s) = 19 + 1/2 s + 4 s/19(

3、7)2 由参考输入决定的系统类型及误差常数如图 1，如果考虑系统的输入只有参考信号，即令 W=0 ，那么系统的误差方程为：(8)大部分情况下，参考输入不会是常数，但是如果考虑时间足够长以至系统能够充分进入稳定状态，那么参考输入可以近似地表示成多项式的形式，然后研究不同次数的多项式输入信号对系统的性能影响。这样，误差常数根据参考输入的次数的不同对应有：阶跃输入下的静态位置误差系 数和 加速度 输入 下的静 态加 速度误 差系 数。一般分子阶次为 m， 分母阶次为 n 的开环传态速度误(9)为为：平面坐 标原点 上式中，K为开环增益；T和t为时间 ij的极点的重数，它表示系统的类型，即v =0，系

4、统为0型系统；v =1，系统为I型系统；v =2，系统为II型系统。当v 2时，除复合控制系统之外，使系统稳定是相当困难的。因此，III型及III型以上的系统一般不采用。对于原系统(加入控制器前)， 由传递函数 G(s) 计算可得系统的稳态误差为0.5， 判定系统为 0 型系统。2.1 P 控制器作用下的参考输入分析当系统加入 P 控制器(即比例控制器)时， D(s)= K =19。系统的开环传递函 p 数和系统误差传递函数分别为：1)2)3)s T 00。sT0KKp=19。1 + K 20p当参考输入为单位阶跃函数,即r(t)二E (t)时:稳态误差 e = lim SE (s) = 0.

5、ss当 参考输入为单位斜坡函数，即 r(tsss T 0稳态误差e = lim当参考输入为加速度函数稳态误差e = lim SE (s)=数 K =0 。ss由式(10) 知，系统在加入入时的稳态误差为 0.05 。2.2 PI 控制器作用下的参考输入分析当系统加入PI控制器(即比例-积分控制器)时，D(s)=19+l/2s。系统的开环传递函数和系统误差传递函数分别为：G (S ) D (S) = 19+1/2S(12)(13)E(S)5S 3 + 6S 2 + S0 (s)=e R (S)5 S 3 + 6 S 2 + 20 S + 0.51)当参考输入为单位阶跃函数,即r(t)二E (t)

6、时:r ( s )=丄 n lim se ( s ) = limSsT02)3)g 0=2=0.55 S 3 + 6 sT06 S + 1+ 25 S 3稳态误差e = lim SE (s) = 0，位置误差系数s T 0ss当 参考输入为单位斜坡函数，即 r(t)=t 时r ( s )=丄 n lim se ( s ) = limS25S3sT 0sT0稳态误差 e = lim SE(s) = 2，速度误差sT0ss当参考输入为加速度函数，即r(t)5 S 2 + 6 S + 1(5S 3 + 6S 2 + 20 S + 0.5)S=gr ( s ) = 1 n lim se ( s ) =

7、 limS3s T 0s T 0稳态误差e = lim SE (s) = g，加速度误差系数Ka=0。sssT0由式(12)知，系统在加入PI控制器后系统类型为I型系统。系统单位入时的稳态误差为 2。2.3 PID 控制器作用下的参考输入分析当系统加入PID控制器(即比例-积分-微分控制器)时，D(S)=19+4S/19+1/2S,系统的开环传递函数和系统误差传递函数分别为:1)2)3)(14)(15)=0.5当参考输入为加速度函e稳态误差e = lim SE (s)s T 0稳态误差e = lim SE (s) = 8 ,加速度误差系数Ka=0。sT0当参考输入为单位阶跃函数,即r(t)二E

8、 (t)时:稳态误差 e = lim SE(s) = 0，位置误差系sT0ss当 参考输入为单位斜坡函数，即 r(t)=tssss由式(14)知，系统在加入PID控制器后系统类型为I型系统。系统单位输入 时的 稳态误 差为 2。2.4 三种控制器的比较综合上述计算可知，P控制器的加入没有改变系统的类型，PI和PID控制器的加入使系统变为I型系统。在单位阶跃输入时，三种控制器都减小了系统的稳 态误差，其中P控制器单位阶跃响应时稳态误差为0.05，PI和PID控制器均使系 统稳态误差趋近于 0。 在斜坡函数输入时，有 PI 和 PID 控制器加入的系统稳定性 有明显改善，且稳态误差都趋于 2。可以

9、得出：P控制器在连入电路后，可以提高系统的开环增益，减小系统 的稳态误差，从而提高系统的控制精度。PI控制器可以给系统增加一个位于原 点的开环极点， 同时也增加了一个位于 S 左半平面的开环零点。位于原点的极点 可以提高系统的型别， 以消除或减小系统的稳态误差， 改善系统的性能；而增加 的负实部零点则可以减小系统的阻尼程度。与PI控制器相比，PID控制器除了 同样具 有提高系 统稳 态性能的优点 外， 还多提供了 一个负 实部 零点 ， 因此在 提高 系统动态性能方面具有更大的优越性。由稳态误差常数可以看出， 没有控制器的系统无论是稳定性还是跟踪性能都 不是很好。 分别加入这三种控制器后， 系

10、统性能依次有了很好的提高， 其中 PID 的控制作用较其他两个最好。3 由扰动输入决定的系统类型和误差常数同参考输入，扰动输入也可以近似的用多次多项式表示。如果只考虑系统的干扰为参考信号，即令R=0 ,则系统的误差方程和误差传递函数可分别表示为：(16)于是，可以有类似于第 2 部分对三种控制器的分析计算。入控制器时的稳态误差为 0.5， 为 0 型系统。(17)同 样 地， 系统 未 加3.1 P 控制器作用下的扰动输入分析当加 入 P 控制器 (即 比例控 制器 )时， D(出：1)当扰动输入为单位阶跃函数，即r(t)= e稳态 误差 e2)= lim SE ( s ) =sT0当扰动输入

11、为单位斜坡函数？即r(t)= t时:ss=19。120稳态误差e = lim SE (s) = 8，速度误差系数KsT0ss=0 。v考 输 入可 以依3)当扰动输入为加速度函数，即r( t)=兰时:2稳态误差e = lim SE (s) = 8，加速度误差系数Ks T 0ss=0 。a同样，系统加入了 P 控制器后的系统类型为 0 型系统，单位阶跃输入时的稳态误 差 是 0.05 。3.2 PI 控制器作用下的扰动输入分析当系统加入 PI 控制器(即比例-积分控制器)时， D(s)=19+1/2s 。同参考输入可 以依 此推出 ：1) 当扰动输入为单位阶跃函数,即r(t)= g (t)时:稳

12、态误差e = lim SE (s) = 0， 位置误差系数K =8。ssps T 02) 当扰动输入为单位斜坡函数， 即 r(t)=t 时：稳态误差e = lim SE (s) = 2，速度误差系数Kv=0.5。sssT03) 当扰动输入为加速度函数，即r(t)=匕时：2稳态误差e = lim SE (s) = 8，加速度误差系数Ka=0。sssT0系统在加入PI控制器后的系统类型为I型系统，单位斜坡输入时的稳态误差为 2 。3.3 PID 控制器作用下的扰动输入分析当系统加入PID控制器(即比例-积分-微分控制器)时，D(S)=19+4S/19+1/2S。同参考输入可以依此推出：1) 当扰动

13、输入为单位阶跃函数,即r(t)= g (t)时：稳态误差e = lim SE (s) = 0，位置误差系数。sssT02) 当扰动输入为单位斜坡函数， 即 r(t)=t 时：稳态误差e = lim SE (s) = 2，速度误差系数Kv=0.5。sssT0K3) 当扰动输入为加速度函数，即r(t)=二时：2稳态误差e = lim SE (s) = 8，加速度误差系数Ka=0。sssT0系统在加入PID控制器后的系统类型为I型系统，单位斜坡输入时的稳态误差为 2。3.4 三种控制器的比较由上述计算分析可知，仅有扰动输入时的系统类型、稳态误差与仅有参考输 入时基 本一样。对于扰动信号的分析，我们知

14、道扰动信号与参考信号最大的不同 是 它只 是 偶 尔 输 入系 统 的 一 种 干扰 信 号 ， 并 不是 每 时 每 刻 都存 在 。 而 且 ，在 不 同 时刻的 扰动也不一定相同。一般我们可以近似的认为扰动信号为单位脉冲信号， 通过分析系统受干扰后恢复原样的能力来判断系统的扰动能力。计算表明，未加 入控制器之前，系统受干扰后很难回到原来的稳定状态，而加入控制器可以尽量 减少受 干扰后的稳态 与原稳态之间 的差值，有的控制器甚至可以在一定时间后使 这个差 值趋近于 0。控制系统将差值减得越小，则系统的抗干扰能力越强， 比如 PID 控制 器。4 在 Matlab 中的仿真与验证为了简单有效

15、的反应控制器和系统性能，仿真时输入信号采用单位输入信号 和单 位脉 冲信号 ，而 扰动信 号则 以单位 脉冲 输入。4.1 未加控制器的系统响应1对于原系统(未加入控制器)，其闭环传递函数为：(S) = 5S2 + 6S + 2。在Matlab 中依次输入下列程序，可分别得到系统的阶跃响应曲线、脉冲响应曲线和扰动响 应曲线如下：1，阶跃响 应程序：num=1den=5,6,2G=tf(num,den)step(G)输出曲线如图1 所示：图 1 未加控制 器系统的阶 跃响应曲线2，脉 冲响 应程 序 ：num=1den=5,6,2G=tf(num,den)impulse(G)输出曲线如图2 所示

16、OJpn 七Q.LUV41o.-8:c32图 2 未加控制器系统的脉 冲响应曲线3)扰动响 应程序：num=-1 den=5,6,2G=tf(num,den) impulse(G)输出曲线如图3 所示：OJpn 七-dlllv图 3 未加控制器系统的扰 动响应曲线41 o.-4.2 加入 P 控制器后的系统响应系统加入P控制器后，其闭环传递函数为：(S)=。在Mat lab中5 S 2 + 6 S + 20依次输入下列程序， 可分别得到系统的阶跃响应曲线、脉冲响应曲线和扰动响应 曲线如下：1) 阶跃响应程序：num=1den=5,6,1G=tf(num,den)kp=19P=kpSys=fee

17、dback(P*G,1);step(Sys)输出曲线如图4所示：图4加入P控制器系统的阶跃响应曲线2) 脉冲响 应程序 num=1 den=5,6,1 G=tf(num,den) kp=19 P=kpSys=feedback(P*G,1);impulse (Sys)输出曲线如图5所示:4图5 加入 P 控制器系 统的脉冲响应曲线 3)扰动响 应程序：.2142o O-040.-60.-num=-1den=5,6,20G=tf(num,den)impulse (G)输出曲线如图6所示：图 6 加入 P 控制器系 统的 扰动响 应曲 线034.3 加入 PI 控制器后的系统响应系统加入PI控制器后

18、，其闭环传递函数为：(s)= 竺=S + .R(S)5S 3 + 6S 2 + 20 S + 0.5在Matlab中依次输入下列程序，可分别得到系统的阶跃响应曲线、脉冲响应曲线和扰动响应曲线如下：1) 阶跃响 应程序：num=19,0.5den=5,6,20,0.5G=tf(num,den)step(G)输出曲线如图7 所示：图 7 加入 PI 控制器 系统的 阶跃 响应曲 线.S.640.G.0.OJpnuduJV.20.2) 脉冲响 应程序：num=19,0.5den=5,6,20,0.5G=tf(num,den)impulse(G)输出曲线如图8 所示：wpnu-dujv.6图 8 加入

19、 PI 控制器 系统的 脉冲 响应曲 线3) 扰动响 应程序：num=-1den=5,6,20,0.5G=tf(num,den)impulse(G)输出曲线如图 9 所示：QJpnuduJV:eTime i&c250图 9 加入 PI 控制器 系统的扰动响应4.4 加入 PID 控制器后的系统响应E (S)0.21S 2 + 19 S + 0.5系统加入PID控制器的闭环传递函数：e(s)=莎=5 S 3 + 6.21 S 2 + 20 S + 0.5。 在Matlab中依次输入下列程序，可分别得到系统的阶跃响应曲线、脉冲响应曲线 和扰动响应曲线如下：1) 阶跃响 应程序：num=0.21,1

20、9,0.5den=5,6.21,20,0.5G=tf(num,den);step(G)输出曲线如图10 所示：2pn:yQ.LUV图 10 加入 PID 控制 器系统 的阶 跃响应 曲线.2 O2) 脉冲响 应程序：num=0.21,19,0.5den=5,6.21,20,0.5 G=tf(num,den);impulse(G) 输出曲线如图11 所示：wpnlUJVImpulse Response1GTime (sec)图 11 加入 PID 控制 器系统 的脉 冲响应 曲线3) 扰动响 应程序：num=-1den=5,6.21,20,0.5 G=tf(num,den);impulse(G)

21、输出曲线如图12 所示：50100150Time (sec)200250图 12 加入 PID 控制 器系统 的扰 动响应 曲线4.5 控制器的性能总结1）P控制器（比例控制器）：P控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。 该控制器在信号变换的过程中，只改变信号的增益而不影响其相位。在串联校正 中，加大控制器的增益可以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提 高系统的控制精度，展宽系统的通频带，提高系统的快速性。 但同时比例系数的 增大会降低系统的相对不稳定性，甚至可能造成闭环系统的不稳定，这些从图 4 和图 5 可以看出。从曲线图还可以看出，系统的快速性提高了，对输入信号的跟 踪性也明

22、显的比未加入 P 控制器前好得多。 而将图 6 与图 2 比较可以看出，系统 的抗干扰能力也有所加强，缩短了系统受干扰后恢复原来的稳态的时间，也加强 了抑制噪声的功能。但是，在选用P控制器时，如果Kp选得比较大以得到合适的 稳态误差， 那么阻尼系数可能太低而不能获得满意的瞬态响应。 其次， 由于单独 采用 P 控制器往往得不到理想的控制性能， 所以一般与其他控制规律组合使用。 但 P 控制器必须存在，否则就破坏了自动控制系统是按照偏差来调节的基本原则2）PI控制器（比例-积分控制器）：我们首先分析一下I控制器，采用积分控 制器后系统的型别至少为V=1，可以消除由阶跃信号引起的稳态误差，从而使系

23、统 的稳态性能得以提高。 由于积分控制器只能逐渐跟踪输入信号， 会降低系统响应 的快速性。 因此，单纯的积分环节将会降低系统的动态性能。 所以积分控制器通 常结合比例控制器构成比例积分控制器 PI。 PI 控制器相当于在系统中增加了一个 位于原点的开环极点， 同时增加了一个位于 S 左半平面的开环零点。 位于原点的 极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能 而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度，缓和PI控制器极点对系统稳定性 及动态过程产生的不利影响。由图 7 可以看出，系统的快速性和跟踪性能较未加 控制器及加入P控制器时有了相当大的提高。将图9与图2和图6比

24、较可以看出， 系统的抗干扰能力有了进一步加强， 系统受干扰后恢复原来的稳态的时间更多地 被缩 短了 。3）PID 控制器（比例-积分-微分控制器）：首先我们再讨论一下 D 控制器，它 能够根据偏差的变化趋势去产生相应的控制作用。 由频率法的角度分析可知， 由 于微分环节具有高通滤波作用， D 控制器只有在偏差变化过程中才起作用，偏差恒 定或变化缓慢时将失去作用， 控制器无输出。 因此它常用来提高系统的动态性能， 对稳定精度不起作用，也有放大输入端高频干扰信号的缺点。综合后，PID控制器 比例项为基本控制作用， 有效的反应控制系统的偏差信号；微分项会反应偏差信 号的变化趋势， 引入一个早期修正信

25、号， 使带宽增加， 加快系统地瞬态响应， 改 善平稳性；积分项主要用于消除静差，提高系统的无差度，可改善系统稳态特性 所以， PID 控制器的加入相当于提供了一个积分环节与两个一阶微分环节。 由图 10、图 11 和图 12 可以发现系统地跟踪能力和抗扰动能力明显加强。三种控制规律各负其责， 灵活组合，可以满足不同的要求。 通常，我们使 I 部分发生在系统的低频段， 以提高稳态性能；使 D 部分发生在中频段，以改善系 统的动态性能。 所以， PID 控制器的性能决定了它的用途最广， 使用的地方最多。参考文献1 胡寿松.自动控制原理（第四版）.北京:科学出版社,2001.22 胡寿松.自动控制 原理（第三 版）.北京:国防工业出版 社,19943 许必熙.自动控制 原理.江苏:东南大学出版 社,2007.54 王正林,郭阳宽.过程控制与 Simulink 应用.北京:电子工业出版社,2006.75 张静.MATLAB在控制系统中的应用.北京:电子工业出版社,2007.5