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1、43多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求n阶方阵A的特征值就是求代数方程甲（九）=| A 九/|= 0的根。9（九）称为A的特征多项式。上式展开为（P （九）Xn + p 九 + p 九 +p1 n 1 2 n 2n其中厶，P2Pn为多项式9（九）的系数。从理论上讲，求A的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式| A 九1 |求出多项式9（九）； 第二步 求代数方程9 （X） 0的根，即特征值。4.3.1)(4.3.2)对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不 适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrie
2、r）方法求特征方程（4.3.2）中多项式9（八）的 系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确 定矩阵A的特征多项式9（九），所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。记矩阵A= （aj）nxn的对角线元素之和为trA a + a +.+ a1122nn（4.3.3）利用递归的概念定义以下n个矩阵Bk（k 人2n）B A,1B A(B P I),211B A(B P I),322p trB11p trB222=1 trB33p3pkB A(B pI),kk 1k 1IB A( B PI),nn 1n 1-丄 trBnn4.3.4)可以证明,（4.3.4）式中
3、pkk =人2n，即是所求A的特征多项式9 （九）的各系数。用（）式求 矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L方法。相应特征方程为：(1) n (九n p 九 n1 p 九 n 一 2 p ) 012n而且可证矩阵A的逆矩阵可表示为1A-1 (B p I)pn 1n 1n例 1 求矩阵324A =2024234.3.5)(4.3.6)的特征值与 A1.解 用 F-L 方法求得32p1=trB = 6111p2=A( B pl)=1111=2 叫=15=A(B -pl)=22p3=trB = 8 33所以A的特征方程为(1)3(九3 6九2 15九-8)二 0此方程的根,即特征值为九=&九=1,九
4、=11231_214121471412141_2从例1中的计算结果可知B3 卩31. Faddeev曾经证明：对n阶矩阵几按(4.3.4) 式计算出的 Bn 总有#(4.3.7)B = p Inn4.3.2 特征向量求法当矩阵A的特征向量确定以后，将这些特征值逐个代入齐次线性程组(A一九1 )x=0中，由 于系数矩阵A 一九1的秩小于矩阵A 1的阶数n,因此虽然有n个方程n个未知数,但实际 上是解有n个未知数的相互独立的r个方程(rn).当矩阵A的所有特征值互不相同时,这样的 问题中要解的齐次方程组中有 n-1 个独立方程,其中含有 n 个特征向量分量,因此特征向量分 量中至少有一个需要任意假
5、设其值,才能求出其他特征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组 n 个方程简化为 等价的一组 n-1 个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之 间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免 主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性 ,我们总是用主元素措 施把绝对值最大的系数放于主元素位置.例如,假设矩阵 A 为其特征方程为4 九-5-422_A=532241223 九2-241 九=0展开后为（九一1）（九一2）（九一5）二 0故特征值分别为九=1,九 =2,九=5123下
6、面求特征向量，将九1代入方程组(A f 1 ) X二0中，得3 x + 2 x 2 x = 0123 5 x + 2 x + 2 x = 01232 x + 4 x + 0 x = 0123以-5 为主元素,交换上式第一与第二个方程得5 x + 2 x + 2 x = 0123 3 x + 2 x 2 x = 01232 x + 4 x 0 x = 01234.3.8)(4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的x1，并把主元素所在行调到最后，得0 x + x x = 01525 3(4.3.10)再以165为主元素，消去它所在列中的x2，并把主元素所在的行调到最后，得0 x + 0 x
7、 + 0 x = 0123424_x1212x2424x3(4.3.14)应用一次高斯-若当消去法,得000_x1000x211/21x3(4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为001/2(4.3.16)因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于九=一1有两个线性无 关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由()式 可看出，一般总是选择X2 =1 X3二0求一个特征向量;选择X2二0, X3 = 1求另一个特征 向量;这样有两个线性无关的特征向量计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式
8、的 B 中,把第一列中第一个 0 元素用-1代替,第二列中第二个0 元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行 的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线 性无关的特征向量。对应于九=一1的全部特征向量为1/2丁k1+k01021其中1与k2是任意常数，且不同时为零。为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A为2108401241其特征方程为(九一2)九(九一1)二 0特征值为九=2,九=0,九=1123对应于九=2的特征向量可由解下列方程组而求得-4-8-12_X1124x=0200-1X3(4.3.17)-12-8-4_
9、X3421X=02-100X1(4.3.19)用一次高斯-若当消去法，得(4.3.18)若不进行列交换，则下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找 最大主元素，而它们都是零，我们不得不对(4.3.17)式进行列交换，即交换未知数之间的次 序，之后再进行消去过程.对(4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为其中未知数列矩阵中X占X3也进行了交换，这样才能保证(4.3.17)式与式等价，对式进行 次高斯-若当消去法，得0 - 2/302/312/3再进行一次消去过程，得-1/31/31/3x3X = 02(4.3.20)000 _X3100X2=0011/2X11(4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵0B =0(4.3.22)1/2将(4322)式中的列矩阵B中第一个0元素用-1代替，并随即调到最下面一行，便得到01/2-(4.3.23)这就是对应于方程组(4.3.19)的解，在计算机程序中应把原来进行列交换的列号次序记住， 重新把式中各分量排列一下，即交换第一行和第三行的元素，就得到对应于九=2的特征向-11/20对应于的全部的特征向量为-11/20其中k为不等于零的任意常数.
43多项式方法求特征值问题
