函数逼近的插值法

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1、4.4 三次样条插值n前面我们根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f(x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f(x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。4.4.1 分段插值2,)1,(,1,)(,.,1,0,2010111jxujxuxxxjxuxuxxxfxxxnjyxjjjjjj取若，则外插也选若，即取，若计算机上实现。上的现性插值函数表示用则判断）已知（分段线性插值)/()()/()(,1111111111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxxxxyxx

2、xxyxxyyxuyuxux这是因为则线性插值函数为一般的，分段线性插值则如果做对于输入插值点做按输入算法：jiixumkniyxn1,2,.,j(2)u(1),.,2,1.2),.,1,0(,.1分段线性插值),()(.),()(),()()(,2)/()(11212101011110nnnjjjjjjxxxxIxxxxIxxxxIxIvuxxyyxuyv分段插值函数输出)/()(11111111jjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxxxxyxxxxI其中n缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在。足够小才能较好的逼近max11jjjnjxxhh分段三次Hermite插值n上述

3、分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段三次Hermite插值2221112122111111131)()()()()(21()()(21()()()()()()(,jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhxuxuuBhxuxuuBhxuhxuuAhxuhxuuAfxfxyxyxxHxxxHermite令时插值三次分段三次Hermite插值算法。输出则计算如果做对于输入插值点计算插值）；（输入算法：vufBfBfAfAvBBAAxunjunjffxjjjjjjjj,.3;,.,2,1)2(

4、;)1(.2,.,1,0,.12112112121jjjjfBfByAyAv211211则例题222122222110)1)(2()2)(1()1)(32()1)(2(21()2)(12()2)(1(21(112,2,11)2(1)1(3)2(2)1(xxBxxBxxxxAxxxxAhxxHermiteffff则解：插值多项式。求满足条件的，设例例题5983)1)(2()2)(1()1)(32(3)2)(12(2)(2322223xxxxxxxxxxxxH所以得4.4.2 三次样条插值的三次样条函数。对应于划分为区间则称有连续的二阶导数）上在开区间（三次多项式；是不超过上在每个小区间）（满足条

5、件如果函数：上给出一个划分，在区间，上的二次连续可微函数是区间设函数定义,)(,)(,)3()(),.,2,1(,)2();,.2,1,0()()(1)(.,)(1110baxsxsbaxsnjxxnjxfxsxsbxxxxababaxfjjjjnn三次样条插值1,.,2,1)0()0()0()0()0()0()1()2(,.,1,0)()(1.,.2,1),()()(,)(1231 njxsxsxsxsxsxsnnjxfxsdcbanjxxxdxcxbxaxsxsxxxsjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj条件：内节点处连续及光滑性）；（）（为：为待定常数，插值条件其中上有表达式在每个

6、子区间设三次样条函数三次样条插值nnnjjjjmxfxsmxfxsnnnjdcba)()()()(244,.2,1.,000已知两端点的一阶导数第一类以下三类：条件称为边界条件，有给出两个个，还缺两个，因此须而插值条件为个未知系数，即对于待定系数三次样条插值 )0()0()0()0()()(0)()()()(.0000000nnnnnnnxsxsxsxsxsxsMMMxfxsMxfxs第三类：周期边界条件时为自然边界条件当已知两端点二阶导数第二类：三次样条插值,)(,)(,)(),.2,1,0()(!1111 iiiiiiiiiiiixxxxxMMxsxxxsxxxsniMxs项式，故有上是一

7、次多在是三次多项式，所以上在。因为令条插值函数用三弯矩阵构造三次样三次样条插值)1()(6261()()(!3)(!2)()()(!3)(!2)()(!3)()(!2)()()()(111121121111311232iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijiiiiiiiiixxMMxxyyxsxxMMxxMxxxsyyxxxxxxMMxxMxxxsyxxxsxxxsxxxsxsxsTaylor 解得得令展示有于是由三次样条插值iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhxxhxxMMxxyyxxMMxxyyxsxxMMxxyy

8、xsxx111111111111111111)(6162()(6261(21)()2()(6162()(,记）即（）连续，所以（因为上讨论得同理在三次样条插值),(6)(2),(6)2()2)2(61,)2(61,1111111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfMhMhhMhxxfxxfhMMhMMhMMxxfhMMxxf也就是（即则上式为1,.2,1,62,62)(111111111111111nixxxfMMMxxxfMhhhMMhhhhhxxxxxxiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii即得得两边同除三次样条插值

9、,62)(6261()(0)1()()()()(1001001010101000 xxxfMMxxMMxxyyxsixfxsxfxsnn既有得式中令第一类边界条件：三次样条插值,621,.,2,1,62,62,62)2(1111111001011nnnnniiiiiiiinnnnnxxxfMMnixxxfMMMxxxfMMxxxfMMni）（即有得式中令同理三次样条插值2,.,3,2,62,62,62)()(,)()(11221111101210211 00 0 niMxxxfMMxxxfMMMMxxxfMMMxfxsMxfxsnnnnnnnniiiiiiiinnn同理可得第二类边界条件三次样

10、条插值1,.,3,2,62,62,2111111112101211nixxxfMMMxxxfMMMxxxfMMMnnnnnnniiiiiiiin三弯方程周期函数边界条件下的例题n例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.91743 0.831600.73529。并计算函数三次样条)2.0(),(64879.0)60.0(,0)0(sxsssn解 做差商表(P111),由于是等距离节点,21,214,3,2,115.01111iiiiiiiiiiihhhhhhixxhn由第二类边界条件得01234215.8

11、66670.520.55.142600.520.53.367980.520.51.3974010.26880nMMMMaM n解方程得n将Mi代入式4.4.14)得08418.0,43716.0,13031.1,77757.1,04462.243210MMMMM323232320.296721.022311,0,0.150.719181.212420.028510.99858,0.15,0.30()0.770171.258310.042280.99720,0.30,0.450.579271.000590.073701.014610.45,0.60 xxxxxxxs xxxxxxxxx0.200

12、.15,0.30由于 故 33(0.20)0.71918 0.21.21242 0.20.02851 0.2 0.99858 0.96154s45 曲线拟和的最小二乘法n插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.4.5.1 最佳平方逼近n定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积.其中 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:(),(),f x g xC a bbaxxgxfxgfd)()()(),()(),(xgxf)(x,.2,1,

13、0d)(2,0)()1(ixxxxbabai存在，）（零点；并且最多只能有有限个上，在容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.内积的性质是等号成立。切当且仅当性质性质性质性质0,0),(4);,(),(),(3;),(),(2);,(),(12121fffgfgfgffRgfgffggf函数的欧几里得范数n定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.(),(),f x g xCab),(2fff函数的欧几里得范数性质。性质性质；时有，当且仅当性质22222223;20001gfgfRfffff线性相关的函数系n定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为

14、零的数 使(),(0,1,2)kxC a bknk0011()()()0nnxxx 成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.0()nkx0()nkx线性相关的函数系的判定n定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式0()nkx00010101110101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)(,)nnnnnnnG n不难证明 在R上线性无关.n定理的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 .()(0,1,2,)kkxxkn0()nkx01(,)0nG最佳平方逼近n定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性

15、无关.记 为连续函数空Ca,b的子空间,如果存在元素 满足(),f xC a b(),(0,1,2,)kxC a b kn01,nSpan*0()()nkkksxx 22*2220infinf()()()(4.5.5)nbkkasskfsfsxf xxdx 则称 为f(x其中 是法方程唯一的一组解.*()sx*0()()nkkksxx*01,n 02()()()()0(0,1,2,)nbkkjakxf xxx dxjn n令 则误差为*()()f xsx2*22*20(,)(,)(,)(,)(,)(,)nkkkfsfsfsffs sf fsfff特例n取则法方程为其中()(0,1,2,),()

16、1,0,1kkxxknxa b001111121111(4.5.10)3221111221nnnnnnn10()(0,1,2,)kjx f x dxkn例题n例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式.n解 设 由于(),0,1,xf xex01()s xx11000(,)1xfe dxe 11110(,)1xfxe dx n故法方程为解得11e10312121101*4100.873127313,6(3)1.69030903()0.873127313 1.69030903ees xxn平方误差为06277.00039402234.0)3(6)1)(104(210211

17、002222所以eeedxefx4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法n曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.n在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.),.2,1,0(),(miyxii)(.)()()(*1*10*0*xxxxsnnn设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令0()nkx0011()()()()(4.5.11)n

18、ns xxxx 记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即()(0,1,2,)iiis xyim01,ni220120(,)()mniiiIx()0 x达到极小值,这里 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有002()()()()0(0,1,2,)mnikkiijiikjIxxf xxjn n用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为0(,)(0,1,2,)njkkjkjn0000010111011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(4.5.14)(,)(,)(,)nnnnnnnn 01,nn其中0(,)()()

19、()mjkijikiixxx),.2,1,0()()()(),(0njxxfxfijmiiijj由于向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式 01,n01(,)0,nG n故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解n其平方误差为*01,n*0011()()()(),nnsxxxx TmkkkkTmnkkknkkkxxxyyyffff)(),.,(),(,),.,(),(10100*220*2222这里特例miniimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiimikkxyxyyxxxxxxxxnkxxx00010020100102

20、00001),.,2,1,0()(1)(最小二乘的法方程为时，当例题n例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718iixiyn解 由式(4.5.16)可得n解方程组得n所以拟合二次函数为08612.5433.6479.105664.18.12.28.12.232.2362100121.006321428,0.862589295,0.84241070421.0063214280.8625892950.842410704yxxn平方误差为01755

21、.01007893.3242211002222所以fn例4.5.3 地球温室效应问题n下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高7oC年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08Ct0Ct0n解解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,

22、3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1(P119)n从图可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系n为决定参数,将上式改写成ntelnlnttn记 则有n这是已知数据相应地变为如下表所示ln,ln,yt x n abbxayn1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32tylnn由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:116521.4509507865506164.2174248abab1.

23、1436951080.307292969aeb所以,307292969.0,134264343.0ban相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为n就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求0.3072929691.143695108teln(/1.143695108)/0.3072929661870 10ntNnn以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得:N(7)=2078(年)7oC4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解n设矛盾方程组n这里mn,记1 111 22112 112 22221122(4.5.1 8)nnnnmmm nnmxxxbxxxb

24、xxxb1122(),ijm nnnxbxbAaxbxbn则上式可简记为Ax=b.n矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足22*22min AxbAxbn引理 设 则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵.,m nTARBA ATBA An定理4.5.2 设 且各列向量线性无关,则(1)矛盾方程组(4.5.19)的法方程组 恒有解;(2)设x*是法方程组 的解,则x*是矛盾方程组(4.5.19)的最小二乘解.nmRATTA AxA bTTA AxA bn定理指出:实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方程组的最小二乘解.),.2,1,0(),(miyxii00011000001111110011()()()()()()(4.5.17)()()()nnnnmmnnmmxxxyxxxyxxxy