高等数学竞赛培训课件：newCH12_8

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1、问题的提出问题的提出型型)()(xPexfmx 型型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 二阶线性微分方程应用举例二阶线性微分方程应用举例一、问题的提出一、问题的提出),)(1()(:为为常常数数一一般般形形式式qpxfqypyy )2(0 qypyy对应的齐次方程：对应的齐次方程：2211:)2(9ycycY 可可设设的的通通解解我我们们已已会会求求由由:)1(8的的通通解解通通解解的的结结构构定定理理，方方程程由由的的任任一一特特解解。是是)1(*y y的的一一个个特特解解问问题题：求求方方程程)1(*yYy )()()()1(是是常常数数 xmexPxf 次次多多项项式式ma

2、xaxaxaxPmmmmm 1110)(),(sin)(cos)()()2(为为实实常常数数 xxPxxPexfnlx )0()(),(其其中中有有一一个个可可为为次次多多项项式式次次与与的的是是nlxxPxPnl的的两两种种形形式式讨讨论论说说明明：只只就就自自由由项项)(xf*:y待待定定系系数数法法来来求求方方法法)(法法不不用用积积分分而而用用代代数数的的方方xxxfPPinl sincos)(1)，)()(0)xPxfim axmexPxfaiii)()()实实数数 imexPxfiiv )()()xxPxfPiinl sin)()(0)xxPxfPiiiln cos)()(,0)0

3、)2(的的特特形形形形式式xmexfxPii )(1)():)1(的特形的特形形式形式*)(yxPeqypyymx的的一一个个特特解解求求 )()(*AexQyx 型型二、二、)()(xPexfmx 设设.)(的的多多项项式式是是其其中中：xxQ系系数数应应怎怎样样确确定定。次次数数应应是是几几呢呢那那么么?)(xQ）（3)()()()()2()(2 xPxQqpxQpxQm 0:)2()12 qp 的的特特征征根根不不是是若若)()(xQxQm,)(:210mmmxbxbxbbxQ 其其中中),(10待定待定mbbb)()()()(*BxQxQeyx )()()(2)()(2*CxQxQxQ

4、eyx )()(*AexQyx 令令xmexQy)(*()()(1):xACe代入方程消去得0,)2()22 qp 即即的的特特征征单单根根是是方方程程若若)()()2()()3(,02xPxQpxQpm 方程方程而而)()(xxQxQm 令令xmexxQy)(02,0,)2()32 pqp 必有必有的重根的重根是方程是方程若若)()()3(xPxQm 方方程程)()(2xQxxQm 令令xmexQxy)(2 同同次次的的多多项项式式与与系系数数待待定定)()(xPxQmm具具有有如如下下形形式式的的解解：方方程程综综上上所所述述xmexPqpyy)(,是特征重根是特征重根是特征单根是特征单根

5、不是特征根不是特征根 210kxmkexQxy)(*其中其中:)(的的步步骤骤求求解解xmexPqpyy xmkexQxy)(.3*)(,),1,0(,)()()()()2()()()(.22xQmibxPxQqpxQpxQxQxxQmimmk得得求出求出比较同次幂的系数比较同次幂的系数代入代入设设 征根征根相对应的齐次方程的特相对应的齐次方程的特求与求与)1(.1代代入入所所给给方方程程得得，令令,22)(2212210byxbbyxbxbby *21yxyy的的一一个个特特解解求求 12 xy110021 bbb1)(,0,)()(2 xxPexPxfmxm 型型是是不不是是特特征征根根而

6、而，特特征征根根特特征征方方程程 00012irr12222102 xxbxbbb例例1解解2)()()(xxPexPxfmxm是是的通解的通解求求xxeyyy223 )121(xxQxexxy2*)12(1211202:01101bbbbb比比较较系系数数xxbbbxxbbb )2(2)2)(3(22(2101101化简得，化简得，)(2,1023212单单根根特特征征根根特特征征方方程程 rrrr例例2解解2201011()()(2)2(3)xxyx bb x eQ x eQbb xQb设代 入xxececY221:齐齐次次方方程程的的通通解解为为xxxexxececy2221)12(:原

7、原方方程程通通解解为为xexxy2*)12(特特解解为为xxbbxxQxbbxQbxxbxQ462,4)()3(,62)(32)(1010120 即即得，得，代入代入xxeyyy42 求求 32460021100bbbb即即xxexexccy32132)(:故故通通解解xxexy322*14)()()(xxPexPxfmxm型型是是 )(10122二二重重特特征征根根特特征征方方程程rrr例例3解解xxexQexbbxy2102)()(设设)!,(系系数数多多项项式式是是实实实实数数这这里里nlPP ieexeexixixixix2sin;2cos xinlxinlxixinxixilxnlx

8、eiPPeiPPieePeePexxPxxPexf)()()22()22(22sin)(cos)()(型型三、三、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx xixiexPexP)()()()().,max()(),(nlmmxPxP 次次多多项项式式是是系系数数互互为为共共轭轭的的)()()(),()()()(,)()(2112)(2)(1xfxfxfxfxfexPxfexPxfxixi 且且 令令有有 不不是是特特征征根根是是特特征征根根可可求求得得自自由由项项属属于于第第一一种种形形式式对对于于 iikexQxyexPxfiximkxi01)(,)()()(*1)(1ximkexQ

9、xy)(*2)(的的特特解解是是对对应应可可以以证证明明对对于于)()()()()2*1*2)(12xfyyexPxfxfiixi )()(21*2*1*xfxfqypyyyyy 是是故，故，sin)(cos)()sin(cos)()sin)(cos()2()1(xxRxxRexxixxQxixxQexmmxkmmxk sin)(cos)(sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexyxxPxxPeqypyymmxknlx 的特解形式：的特解形式：综上所述，综上所述，ximkximkexQxexQxy)()(*)()(即即 不是特征根不是特征根是特征根是特征根 iik01,max nlm

10、 代代入入原原方方程程sin2cos2cos)(sin)(sin)(cos)(sin)(cos)(cossinsincos0000000000*00000000*xbxdexbdxbdxbdxbdeyxbdxbdexdxbxdxbeyxxxx 的的一一个个特特解解xeyyyxcos23 1,0)(,1)(,1 xPxPnl2,121 rr特特征征方方程程的的根根)sincos(00*xdxbeyx 设设例例4解解xexdxbexbdxbdexbxdexxxxcos)sincos(2sin)(cos)(3sin2cos200000000 obdbdeibbdbbbdd0000000000001.

11、,.02)(212)(32xxdbdbxbbddcossin2)(2cos2)(3200000000 21,21,12000 dbb)sin21cos21(*xxeyx 代代入入原原方方程程)4()22(sin)4()22(cossin)2(cos)2(22*22*dxxcbadxbxxadcbxyxbxxadcxdxxcbay 的的通通解解求求微微分分方方程程xxyysin4 0,4)(,1,0 lnPxxP irr 特特征征根根：特特征征方方程程,01:2sin)(cos)(*xdxcxbxaxy 令令xxbxadxxdxcbsin44)(2sincos4)(2 11000cbacbd x

12、xbaddxcb4)4()22(0422例例5解解xxxxxxxxxysincossincos)(2*xxxxxcxcycossinsincos:221 通通解解 11000cbacbd的的特特解解是是由由例例)(sin4cossin,522*2xfxxyyxxxxy xxxxxxcxcycossin1sincos:2221 通通解解的的特特解解是是故故1sin4cossin1222*2*1 xxxyyxxxxxyy的的特特解解是是由由例例)(11,1122*1xfxyyxy 的的通通解解求求微微分分方方程程1sin42 xxxyy)(1xf)(2xf例例6解解思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式.思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y*1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22,1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2（重根）（重根）*2y*1*yy CBxAx 2.22xeDx