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1、将定积分概念加以推广到多元函数将定积分概念加以推广到多元函数重积分重积分 积积分分区区域域为为空空间间一一区区域域域域积积分分区区域域为为平平面面上上一一区区),(),(zyxfuyxfzy=f(x)积分区域为区间积分区域为区间重积分与定积分区别在于被积函数中自变量重积分与定积分区别在于被积函数中自变量个数与积分区域个数与积分区域这这就就是是重重积积分分的的概概念念 问题的提出问题的提出二重积分的概念二重积分的概念二重积分的性质二重积分的性质曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.上上连连续续且且在在顶顶是是曲曲面面轴轴的的柱柱面面而而
2、母母线线平平行行的的边边界界为为准准线线面面是是以以侧侧为为底底的的有有界界闭闭区区域域面面上上以以曲曲顶顶柱柱体体指指DyxfzzDDxoy)0(),(:,:oxyzDz=f(x,y)柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.取取极极限限来来解解此此问问题题求求和和近近似似代代替替分分割割以以平平代代曲曲样样，类类似似于于曲曲边边梯梯形形面面积积那那解解决决的的方方法法,:.,:在在变变高高顶顶是是曲曲的的现现在在的的问问题题在在于于D),(ii i z=f(x,y)iiiifV ),(.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积oxyz),(iif xyo
3、设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM ),(iiiiiiiM ),(定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函数，上的有界函数，将闭区域将闭区域D任意分成任意分成n个
4、小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，也表示它个小闭区域，也表示它的的面积，在每个面积，在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ，),2,1(ni，并作和并作和 iiniif ),(1，二、二重积分的概念二、二重积分的概念如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零时时，这这和和式式的的 极极限限存存在在，则则 称称此此极极限限为为函函 数数),(yxf在在闭闭区区域域 D D 上上的的二二重重积积分分，记记为为 Ddyxf),(，即即 Ddyxf),(iiniif ),(lim1
5、0.(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.二重积分的几何意义二重积分的几何意义曲曲顶顶柱柱体体体体积积当当 Ddyxfyxf),(0),(.),(,),(柱柱体体体体积积的的代代数数和和若若干干部部分分为为负负在在若若干干部部分分为为正正上上，当当在在 DdyxfyxfD 曲顶柱体体积的负值曲顶柱体体积的负值当当 Ddyxfyxf),(0),(注 DDDdddyxfyxf 1),(1),(:时时当当思思
6、考考题题以以D为底面积，为底面积，高为高为1的柱体体积的柱体体积D的面积的面积 （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质 DDDDDdyxgdyxfdyxgyxfdyxfkdyxkf ),(),(),(),()2(),(),()1(:.1 线线性性性性质质 21),(),(),()(,:.221DDDdyxfdyxfdyxfDDD 个个部部分分由由有有限限条条曲曲线线分分成成有有限限分分为为对对区区域域的的可可加加性性0),(,0),()1(:.3 DdyxfyxfD 则则上上若若在在比比较较性性质质 DDdyxfdyxf ),(),
7、()3(DDdyxgdyxfyxgyxfD ),(),(),(),()2(则则上上若在若在),(),(),(yxfyxfyxf MdyxfmMyxfmD ),(),(:.4设设估值性质估值性质 ),(),(),(1:fDMdyxfmD上上至至少少存存在在一一点点在在证证明明 ),(),(),(,),(:.5fdyxfDDDyxfD 一一点点至至少少的的面面积积为为上上连连续续在在有有界界闭闭设设中中值值定定理理例例 1 1 估计估计 DxyyxdI16222 的值，的值，其中其中 D：20,10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)
8、0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2,1(yx 故故4252 I.5.04.0 I解解例例 2 2 比比较较积积分分 Ddyx)ln(与与 Ddyx 2)ln(的的大大小小,其其中中 D 是是三三角角形形闭闭区区域域,三三顶顶点点各各为为(1,0),(1,1),(2,0).解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln(yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx)ln(Ddyx 2)ln(.oxy121D ),(),(0),(),(),(2),(1yxfyxfyxfyxfdyxfdyxfDD当当当当则
9、则 1.D关于关于x轴对称（轴对称（x轴上方部分为轴上方部分为D1)2.D关于关于y轴对称（轴对称（y轴右边部分为轴右边部分为D1),(),(0),(),(),(2),(1yxfyxfyxfyxfdyxfdyxfDD当当当当则则 3.D关于关于x轴、轴、y轴均对称（第一象限部分为轴均对称（第一象限部分为D1),(),(),(0),(),(),(4),(1yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfdyxfdyxfDD，或或当当，当当则则 二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）小结小结
高等数学竞赛培训课件：NEWCH9-1
