高等数学竞赛培训课件：newch10_4

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1、格林格林(Green)(Green)公式公式曲线积分与路径无关的定义曲线积分与路径无关的定义二元函数的全微分的求积二元函数的全微分的求积D 设设D D为平面区域为平面区域,如果如果D D内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围成的部分都属于成的部分都属于D D,则称则称D D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域D一、格林公式一、格林公式1、区域连通性的分类、区域连通性的分类连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在

2、他的左边.2LD1L2L1LD:的的正正向向的的边边界界曲曲线线规规定定LD2 2、格林、格林(Green)(Green)公式公式定理定理1 1 设设闭闭区区域域D由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线L围围成成,函函数数),(),(yxQyxP及及在在D上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则有有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(1 1)其其中中L是是D的的取取正正向向的的边边界界曲曲线线,公公式式(1 1)叫叫做做格格林林公公式式.),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐标轴的直线和坐标轴的直线和L至

3、至多交于两点多交于两点.),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx AB dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(LDdyyxQdxdyxQ),(LD证明证明(2)(2)两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将将

4、D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ1L2L3L1D2D3Dl1l2l3若区域若区域D由按段光滑的闭由按段光滑的闭曲线围成曲线围成.如图如图,321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 332211lLlLlLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx),(32,1来来说说为为正正方方向向对对DLLL 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLD1L2L3L1D2D3Dl1l2l3D3L2LGFCE1LAB证明证明(3)(3)若区域不止由一条闭曲若区

5、域不止由一条闭曲线所围成线所围成.添加直线段添加直线段ABAB,CECE.则则D的边界曲线由的边界曲线由ABAB,2L,BA,BA,AFC,CEAFC,CE,3L,ECEC及及CGACGA构成构成.由由(2)知知 DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32,1来来说说为为正正方方向向对对DLLL便于记忆形式便于记忆形式:LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的实实质质:沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.上上有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数在

6、在的的正正方方向向取取区区域域封封闭闭曲曲线线下下几几点点：使使用用格格林林公公式式要要注注意意以以D),(),()3(D)2()1(yxQyxPLL 注、格格林林的的简简单单应应用用：3计计算算平平面面图图形形的的面面积积。化化简简二二重重积积分分；计计算算曲曲线线积积分分；)3()2()1(DDLdyxdxyydxxdyxy )()(222222的的正正向向闭闭路路是是沿沿圆圆周周计计算算xyxLydxxdyxyL2:2222 22,xyPyxQ 23cos42222244cos203 ddrrd例例1解解yxPxyQ22 23168sinsin8sin)sin1(2sin)cos2cos

7、31()sin(sin)cos1(cossin)cos1(402220220222202222 dttttdtttdtttdtttttttydxxdyxyL 20:sincos1 ttytx又解又解222222222)(:yxyxxQyPyxxQyxyP 用用格格林林公公式式例例2解法二解法二点点处处不不连连续续在在)0,0(,QPCxyo1222,0DCCCDCDCyxCo围围成成的的区区域域为为与与围围成成的的区区域域。记记由由为为取取顺顺时时针针，：作作一一圆圆周周为为半半径径为为圆圆心心以以 C)(1:222222逆逆时时针针计计算算 byaxCyxxdyydxIC.sin,cos:t

8、bytax 令令直直接接计计算算解法一解法一0)(1 DCCdxdyyPxQQdyPdx由由格格林林公公式式得得 CC 222 Cyxydxxdy 2:322 Cyxydxxdy得得又又由由第第二二节节例例CxyoC。所所围围的的区区域域为为的的连连续续封封闭闭曲曲线线分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点是是无无重重点点其其中中小小结结：DLLyxydxxdy,:L22 0D)0,0()1(22 Lyxydxxdy，则则若若 2D)0,0()2(22 Lyxydxxdy，则则若若的的弧弧段段到到点点经经正正弦弦曲曲线线为为从从点点计计算算)0,(sin)0,0(,)(sin)cos2(:A

9、xyOOAdyyyedxyeOAxx )1(511)1()1(510sin00 eeedxeydyedxydxdyexxxOADxAOOAOOA例例3解解格林公式格林公式:LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21.取取,0 xQP 得得 LxdyA取取,0,QyP 得得 LydxA-计算平面面积计算平面面积)(cossin3)(),sin(cos3)(22ttatyttatx 所所围围成成的的图图形形面面积积。用用曲曲线线积积分分计计算算星星形形线线 taytaxL33sincos:tdttaxdyyd

10、xSL22202sincos32121 例例4解解832sin8322022 adtta LDbaxdyydxSdSdxxfS211)(:曲曲线线积积分分：二二重重积积分分：定定积积分分：求求面面积积方方法法 Gyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关,2LQdyPdx1L2LBA 否否则则与与路路径径有有关关.二、曲线积分与路径无关二、曲线积分与路径无关GLLBAGBAGyxQyxPG 21,),(),(,的的任任意意两两条条曲曲线线及及从从点点对对任任意意给给定定的的有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,内内具具在在是是一一个个开开区区

11、域域点点设设定义定义1、曲线积分与路径无关的定义、曲线积分与路径无关的定义为为任任一一条条封封闭闭曲曲线线内内与与路路径径无无关关在在CQdyPdxGQdyPdxCL,0 定理定理,曲曲线线为为任任一一条条封封闭闭设设C证明证明GyxoBAc2L1L 221LLL021 LL0,C即即BAC,上任取两点上任取两点在在GyxoBA2L1L021 CLL的任意两条光滑曲线的任意两条光滑曲线为从为从设设BALLGBA 2,1,21LL 21LL即即 设设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域,函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则曲曲线线积积分分 L

12、QdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关（或或沿沿G内内任任意意闭闭曲曲线线的的曲曲线线积积分分为为零零）的的充充要要条条件件是是xQyP 在在G内内恒恒成成立立.定理定理2、曲线积分与路径无关的条件、曲线积分与路径无关的条件.由由格格林林公公式式是是显显然然的的 证明证明xQyPGM 处处设设在在用用反反证证法法)(.02),0(/0 yPxQKMMMK上上恒恒有有在在02)(KdxdyyPxQQdyPdxxQyPGQdyPdxC 内内要要证证在在已已知知,0,0)(0 MyPxQ不不妨妨设设内内连连续续在在GxQyP ,有有的正向边界的正向边界是是设设,K!0相矛盾相矛盾的面积与的面积与

13、为为 LQdyPdxK yPxQ (1)开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域.(2)函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有 一一阶阶连连续续偏偏导导数数.两条件缺一不可两条件缺一不可 CCyxCyxxdyydxI 21:2222如如注02),(441:12222 yxGLGyxyPxQyxG但但在内部在内部的任一闭路不包含原点的任一闭路不包含原点.)2()(.)2,1()0,0(的的值值且且计计算算面面内内与与路路径径无无关关证证明明曲曲线线积积分分在在整整个个平平 dyyxedxxeyy.2与与路路径径无无关关 xQeyPyxeQxePyyyM(1,2)(0,0)(1,0)

14、xy例例 5解解.)2()(.)2,1()0,0(的的值值且且计计算算面面内内与与路路径径无无关关证证明明曲曲线线积积分分在在整整个个平平 dyyxedxxeyyM(1,2)(0,0)(1,0)xy 2010)2,1()0,0()2()1()2()(dyyedxxdyyxedxxeyyy272202102)1(2 eyeyx例例 5解解:)0,1(B)0,1(A,沿沿曲曲线线到到是是由由计计算算 LxydxL例例 6单单位位圆圆的的下下半半圆圆弧弧轴轴的的直直线线段段沿沿单单位位圆圆的的上上半半圆圆弧弧:)1(x:)2(:)1(321LLL 321LLLxydxxydxxydx验验证证：是是否

15、否与与积积分分路路径径无无关关？思思考考：Lxydx(1)若积分与路径无关，若积分与路径无关，可自由选择路径；可自由选择路径；一般选择平行于坐标轴的折线段一般选择平行于坐标轴的折线段注(2)若积分与路径无关，若积分与路径无关，是指从起点到终点的是指从起点到终点的任何任何 路径积分都相等路径积分都相等.若有若有有限有限条路径积分相等条路径积分相等,也未必与路径无关也未必与路径无关(3)也可用全微分法也可用全微分法dyyfdxxfdzyxfz ),(:前前面面讲讲过过).,()2(;),()1(,),(),(:yxuyxudyyxQdxyxP如如何何求求出出的的全全微微分分它它是是某某一一函函数数

16、在在什什么么条条件件下下已已知知反反过过来来的的问问题题 三、二元函数的全微分的求积三、二元函数的全微分的求积 设设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域,函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则dyyxQdxyxP),(),(在在G内内为为某某一一函函数数),(yxu的的全全微微分分的的充充要要条条件件是是等等式式xQyP 在在G内内恒恒成成立立.定理定理 ),(),(0),(),(),(yxyxodyyxQdxyxPyxu.),(:),(:3,000内内与与路路径径无无关关的的曲曲线线积积分分在在终终点点，起起点点由由定定理理内内有有设设在在

17、单单连连通通区区域域GyxMyxMxQyPG xQyPxQxyuyPyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdu22),(),(),(),(),(则，设证明证明 ),(),(00),(),(),(),(yxyxLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(0),(:),(.,yxyxoQdyPdxyxuyxuyx记记为为的的函函数数是是起起点点固固定定时时),(),(:的的原原函函数数称称为为下下面面将将证证明明QdyPdxyxuQdyPdxyxdu ),(),(yxQyuyxPxu 即即yOxGM0(x0,y0)M(x,y)N(x+x,y)xyxuyxxuxux ),()

18、,(lim0事实上，事实上，xyxyxMNyxyxxoo ),(),(),(),(000limxyxyxyxxyxxoo ),(),(),(),(000limxdxyxPxxxx ),(lim0),(),(lim0yxPxxyPx xQyP 若若 ),(),(00),(yxByxAQdyPdxyxu则则dyyxQdxyxPyyxx),(),(000 ),(0yxC),(yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(000 或或.:22并并求求出出一一个个这这样样的的函函数数函函数数的的全全微微分分是是某某个个面面内内在在整整个个验验证证ydyxdxxyxoy.22是是

19、某某个个函函数数的的全全微微分分ydyxdxxy 2202202020),()0,0(2000),(yxydyxydyxxydyxxdxyxuyyxBAAyx XB(x,y)A(x,0)yO(0,0)平面平面整个整个xoyyxyQxyyPyxQxyP ),(222例例 7解解积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ 由由0)0(，知知0 c 2)(xx .故故 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)(cxx 2)(10100ydydx.21 小结小结1.1.连通区域的概念连通区域的概念;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3.3.格林公式的应用格林公式的应用.格林公式格林公式;LDQdyPdxdxdyyPxQ)(4.4.与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1(CDCQdyPdx闭闭曲曲线线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题