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1、概念的引入概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的,它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx,求求它它的的质质量量.实例实例(所谓曲面光滑即曲面上各点处所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面都有切平面,且当点在曲面上连且当点在曲面上连续移动时续移动时,切平面也连续转动切平面也连续转动.).)一、概念的引入一、概念的引入XYZiS),(iii niiiiiiiiiiiSMSMniSn10),(lim),()2,1(小小块块个个任任意意分分成成将将解解1.1.定义定义二、对面积的曲面积分的定义二
2、、对面积的曲面积分的定义存存在在若若也也用用它它表表示示面面积积小小块块分分成成将将上上有有界界在在是是光光滑滑的的设设 niiiiiiiiiiSfSSnzyxf10),(lim;),()4()()3(),()2(;)1(各小块曲面各小块曲面直径的最大值直径的最大值).(),(也也称称为为第第一一类类曲曲面面积积分分上上对对面面积积的的曲曲面面积积分分在在则则该该极极限限值值称称为为 zyxf即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 dSzyxf),(记作记作 dSxyxMMzyx),(:),(为为质质量量
3、的的光光滑滑曲曲面面面面密密度度为为连连续续函函数数2.存在条件存在条件.),(,),(存存在在对对面面积积的的曲曲面面积积分分上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲面面当当 dSzyxfzyxf面面积积元元素素记记为为为为闭闭曲曲面面时时若若0)2(),(,)1(dSdSzyxf 注三、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的性质.),(),(),(),()1(dSzyxgdSzyxfdSzyxgzyxf!分分片片光光滑滑的的情情形形有有用用特特别别在在 21),(),(),(321 dSzyxfdSzyxfdSzyxf）当当（的的面面积积）（SdS14.)(),(),()2(为常数为常数kd
4、SzyxfkdSzyxkfxyDxoyyxzz面面上上的的投投影影区区域域为为在在设设 ),(:.1 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,(),(由由曲曲面面积积分分的的定定义义三、计算法三、计算法面积元素面积元素 dxdyzzdSyx221-转化为二重积分转化为二重积分三、计算法三、计算法-转化为二重积分转化为二重积分;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(.3zyxx ：若曲面若曲面),(:.2zxyy 若曲面若曲面例例1 1积积分分曲曲面面：yz 5,解解投影
5、域投影域：25|),(22 yxyxDxydxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy dSzyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 面面。所所围围区区域域的的整整个个边边界界曲曲及及其其中中计计算算1:,)(2222 zyxzdSyx1:),(2222 yxDyxyxzxy：锥锥 平平锥锥平平锥锥)12(2)12(20102 rdrrddxdyyxdSyxxyD)(12()(2222 2)()(1,222222 yzxzyxyyzyxxxz1:),(1:22 yxDyxzxy平平例例2 2解解例例 3
6、 3 计计算算dSxyz|,其其中中 为为抛抛物物面面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数|xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz|dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1|),(22 yxyxDxy,0,0 yxrdrrrrd 102222041sincos4 drrrd21050412sin22 令令241
7、ru duuu2514141 .42015125 sincos ryrx 利用极坐标利用极坐标 计计算算 xdS,其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例4 4解解 321 其其中中1：0 z,2：2 xz,3：122 yx.,0112 xyDdxdyxxdS1:22 yxDxy投投影影区区域域1212120000coscos0 xyDxdSxdxdydrrdrdr dr 讨讨论论3 时时,将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片）3xdS 31xdS 32xdS（左右
8、两片投影相同）（左右两片投影相同）xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx,xdS 00.2222222222:RyxDyxRzRzyxz 上上下下下下上上：轴轴为为设设球球心心在在原原点点，转转动动轴轴的的转转动动惯惯量量。对对某某直直径径面面密密度度为为的的球球面面求求半半径径为为,R222222222221)()(,yxRRyzxzyxRyyzyxRxxz 例例5 5解解 DDDdyxRRyxdyxRRyxdyxRRyx 222222222222222)(2)()(433022202202232002233823222)(3224223RRRRrRRrRRdrrRRrdrrRRrdRRRR 上上下下dSyxdSyxdSyxIz)()()(222222小结小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念;dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）
高等数学竞赛培训课件：newCH10_2
