利用极坐标计算二重积分

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1、利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分教学目的：教学目的：利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分教学重点：教学重点：二重积分化为极坐标形式二重积分化为极坐标形式教学难点：教学难点：用极坐标表示平面区域用极坐标表示平面区域由扇形面积公式可知其中第由扇形面积公式可知其中第i个小区域的面积为个小区域的面积为AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,c

2、os(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图,).()(21 r例题例题区域特征如图区域特征如图,).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r例题例题AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd区域特征如图区域特征如图,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分二重积分化为二次积分 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd 区域特征如图区

3、域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0二重积分化为二次积分二重积分化为二次积分例例 1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11|),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd例题例题例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区

4、域的圆周所围成的闭区域.解解在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0，20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 例题例题例例3 3 求求广广义义积积分分 02dxex.解解|),(2221RyxyxD 2|),(2222RyxyxD 0,0 yx0,0|),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD ,022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2例题例题又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re

5、同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 例题例题当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4,所求广义积分所求广义积分 02dxex2.,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 例题例题例例 4 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D为由圆为由圆yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03

6、xy例题例题例例 5 5 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为其中积分区域为41|),(22 yxyxD.解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分，注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性.Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd.4 14DD 1D例题例题例例 6 6 求曲线求曲线)(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(22222

7、2yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D例题例题由由 arar 2cos2,得得交交点点)6,(aA,所所求求面面积积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a例题例题基本解法基本解法：先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解界区域时取极限求解.解解 先考虑圆域先考虑圆域|),(222RyxyxD DyxdRI )1()(22例例 1 1 求广义二重积分求广义二重积分.1,)1(22 DyxdI D是整个是整个xOy平面平面 广义二重积分广义二重积分 2002)1(Rdrrrd 1)

8、1(1112 R当当1 时时 1)(lim RIR 则则 1 I 当当1 时时 )(limRIR 则则原原积积分分发发散散 例题例题例例 2 2 设设),()(),(,|0|21)(yxyxfaxaxax DdyxfzF,),()(其其中中,|),(zyxyxD 求求).(zF 解解 区域区域 D D 可以表示为可以表示为 ,|),(xxzyyxD,故故 xzdyyxfdxzF),()(xzdyyxdx)()(xzdyydxx)()(例题例题所所以以 dxxzxzF)()()(aadxxza)(21 令令xzt ,则则有有 azazdttazF)(21)(于是有于是有:(1 1)az2 时时,

9、0)(zF (2 2)02 za时时,242)(aazzF (3 3)az20 时时,242)(azazF (4 4)az2 时时,0)(zF 例题例题1.二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）2.广义二重积分基本解法广义二重积分基本解法：先在有界区域内积分，然后令有界先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解区域趋于原无界区域时取极限求解.小结小结一、一、填空题填空题:1 1、将将 Ddxdyyxf),(,D为为xyx222 ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分,为为_._.2 2、将将

10、Ddxdyyxf),(,D为为xy 10,10 x,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题练习题练习题练习题练习题练习题练习题一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(；2 2、1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、sec2034)(rdrrfd；4 4、sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、2cossin0401rdrrd,12.二、二、1 1、)12ln2(4 ；2 2、414a；练习题答案练习题答案练习题答案练习题答案 3 3、)34(33 R；4 4、25.三、三、4420)sin,cos(drrfrdrIa araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(.四、四、405.五、五、4323a.六六、1 p时时收收敛敛于于1 p,1 p时时发发散散 练习题答案练习题答案