数据、模型与决策课件：第十二章 系统优化决（Ⅱ）：线性规划的扩展模型及其应用

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1、授课目的：了解线性规划扩展模型及其应用要求：1.掌握非线性最优化问题的应用 2.掌握目标规划的方法以及目标控制力度的 调整 3.利用线性规划最优化知识用于优化指数平 滑预测模型的平滑系数 非线性最优化问题的一般化与应用目标规划指数平滑预测模型系数的最优化系统优化决策非线性最优化目标规划指数平滑预测模型系数的优化第一节 非线性最优化截止到目前我们讨论的模型都属于线性最优化，即无论是目标函数还是约束条件都是线性的。如果模型中目标函数或是约束条件至少有一个是非线性的，该模型就属于非线性最优化问题。蔼娑软件公司（Add-In Software）开发出来一个给现行办公自动化系统添加功能的软件。影响其营销

2、的是两个重要因素价格（P：美元）和广告（Ad：百万美元）支出。以往类似产品的业务记录使得管理者对销售量（Q：百万件）与上述两变量的关系有了较为理性的认识：销售量倚价格呈负直线回归；销售量倚广告支出呈正向然而影响渐弱的二次曲线回归；同时价格与广告支出之间又存有交互影响广告支出对销售量的影响在价格水平较低时强于价格水平较高时。两变量与销售量的关系可以用下述公式表示 PAdadAdPQ003.00011.01.16.01002软件单位生产成本（CU：美元/件），包括刻制光盘、印制说明书和包装，是15美元。辅助成本（CS：美元）与经济规模有关，也是二次函数 出于多方面考虑，价格限制在250美元以内，广

3、告限制在300百万美元以内。另外辅助成本不得超出3000美元。公司以净收益最大化为目标，问价格和广告支出各应是多少？201.025200QQCs在EXCEL工作表构建本模型初始解。提交运行，在优化求解对话框中输入有关内容后，点击“选项（O）”，进入次级对话框，不选“采用线性模型（M）”。点击“确定”，退出对话框，即可得到最优解。投资者不但关心预期回报，也关注相应的风险。哈里马克维茨（Harry Markowitz）和威廉夏普（William Sharpe）开创了使用非线性规划确定最佳投资组合的方法，为此获得1990年诺贝尔经济学奖。利投资公司的投资组合仅包含3支股票：STOCK 1，STOCK

4、 2和STOCK 3。问：在预期回报率一定的情况下，三支股票在投资组合中各占多大比例才能使风险最小？.例题数据例12-2.xls第一步，首先在A3:D12区域复制各股趋势量数表和相关系数矩阵。第二步，在G9:J12区域构建协方差（方差）矩阵。这个函数是 =HLOOKUP（$G10,$B$4:$D$6,3）*HLOOKUP(H$9:J$9,$B$4:$D$6,3)*B10。这个函数先在H10使用，然后复制到整个H10:J12区域。HLOOKUP的功能在这里是从3个标准差中查找到适宜的一个参加乘法运算第三步，在B16:E16区域（可变单元格）构建个股投资比例第四步，在B21:D21区域构建回报率约

5、束条件。实际回报率是组合投资比例和个股回报率平均数的函数，即B21=SUMPRODUCT(B16:D16,B5:D5)。令实际回报率（B21）（C21）设定回报率（D21）。第五步，在B22（目标单元格）和B23构建组合方差和组合标准差。计算组合方差，该公式在EXCEL中由下式实现组合标准差=SUMPRODUCT(MMULT(B16:D16,H10:J12)，B16:D16)。我们需要小幅度变换设定回报率，以便观察组合方差及组合比例的变化称这样的过程为“试解”。为此设计了一个机制：将E21单元确定为“试解序号”。令D21=0.1+0.005*（E21-1）。第二节 目标规划第十一章讨论的系统优

6、化，只涉及一个目标函数。但是在实际问题中，所遇到的问题，往往不只一个目标。这些目标不存在简单的函数关系，而且可能是互相矛盾的，无法简单地协调。对于这样的决策问题，称为多目标决策，也可能称为多准则决策。这类决策问题有多种解决思路。本书讨论使用系统优化模型来决策，这种方法叫做目标规划（goal programming GP）。目标规划目标规划存在一个以上的、可能相互制约的目标，解题中不要求这些目标都必然达到，而是允许对其有所偏离。将（单一）目标作为目标函数一般线性规划一般线性规划只有一个目标，对其实施单方向优化（通常是利润最大化或成本最小化）将多个目标作为约束条件，将实际到达的数值与目标数值的总偏

7、差作为模型的目标函数，找到满足其最小化的题解变量。需要引入偏差变量的概念。将要完成的目标（实耗资源量）的实际到达数值与设定目标数值（可供资源量）对照；u实际数值超过目标（可供）数值表述为超额量，用d+代表；u实际数值没到达目标（可供）数值表述为不足量，用d-代表。d+和d-都是非负数。如果要求某目标正好完成，即对超额量和不足量给予双向控制，目标函数中需要含有min(d+d-)的成分；如果允许某目标超额完成，不允许不完成，则只对不足量进行控制，目标函数中需要含有min(d-)的成分；如果允许某目标不能突破，但允许结余，则只对超额量额进行控制，目标函数中需要含有min(d+)的成分。接续例11-1

8、，两产品产量组合决策，最优解是产品A生产600件，B400件，可获得最大利润64元。现在考虑多种情况，管理层提出三个控制目标：总利润大于58元；A产品在500件以上；第一台实耗机时在20以内。这三个目标全达到最好，否则希望实际执行结果对三个目标的总偏差尽可能地小。设置决策模型的目标函数是要找到一种方式来表述决策者对不同方向偏差的关注程度，这可以通过给每个目标的不同方向的偏差赋予不同的权数来解决。对于关注程度大的偏差，赋予大于0的权数。对于不甚关注的偏差赋予0或小于0的权数。但是具体权数多大，没有一个优化的办法，只能试做。不存在一个优化权数的机制。如果决策者还想偏重于任何偏差变量的任何方向的偏差

9、，他既可以调整权数，也未必非1即10。总之，他可以在各个目标控制程度上进行妥协，直到找到满意的方案。戴维斯麦基昂在南卡罗来纳州莫特尔海滨开有一家度假酒店，依靠夏季的高出租率，酒店维持盈利。戴维斯希望扩建酒店，增加会议室，来招揽顾客在其他季节入住，从而增加盈利。据他雇请的一家市场调查公司研究，要达到招揽顾客的目的，需要至少扩建5间400平方英尺的小会议室、10间750平方英尺的中会议室和15间1050平方英尺的大会议室。该公司还建议扩建总面积达到25000平方英尺，使其成为该地区最大的会议中心，这将产生广告效应。戴维斯又与建筑师讨论了扩建成本问题，他期望为每间小会议室付出$18000，为每间中会

10、议室付出$33000，为每间大会议室付出$45150。整个扩建工程的成本在$1000000左右。第三节 指数平滑预测模型系数的优化第八章关于使用指数平滑法用于预测的讨论，给出了具体方法和对预测误差的测度量数。究竟平滑系数取多少为佳，当时只是尝试性地取数。可以将线性规划最优化知识用于确定指数平滑法预测模型的平滑系数，使预测误差最小化。仍然使用均方误差作为预测误差的量数。这里抄录原有的A,B,C三列数据进入电子表格，即取平滑系数=0.9，生成预测值，计算得均方误差作=21674.4。然后打开规划求解的对话框，以均方误差为目标单元格（C85）令其最小化；以指数平滑系数为可变单元格（C70），规定该系数取值在01之间。运行优化程序，得到最优解：平滑系数=0.92。此时均方误差是21657.1。这个结果与当初我们为平滑系数试取值出入不大。这里抄录原AG列数据进入电子表格，即取平滑系数=0.8，生成预测值，计算得均方误差作=3.32606。然后打开规划求解的对话框，以均方误差为目标单元格（D46）令其最小化；以指数平滑系数为可变单元格（E29），规定该系数取值在01之间。运行优化程序，得到最优解：平滑系数=0.74。此时均方误差是3.14634。这个结果与当初我们为平滑系数试取值出入也不太大。