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1、习题课12微分方程概念，初等积分方法一一选选择择题题（1 1）微微分分方方程程xyxydxdytan 的的通通解解是是（）（A A）Cxxy sin1；（B B）xCxy sin；（C C）Cxxy sin；（D D）Cxyx sin。CB解：解：)(2)(xfxf ，0)(2)(xfxf，xCexf2)(，代入代入2ln)0(f，得，得2ln C，xexf22ln)(。（2 2）若连续函数）若连续函数)(xf满足关系式满足关系式 2ln)2()(20 dttfxfx，则，则)(xf等于（等于（）。）。（A A）2ln xe；（B B）2ln2 xe；（C C）2ln xe；（D D）2ln2
2、 xe。二填空题二填空题解解：yyexydydx 1 ，ydyyydyyyecyCeyeex 11。yyecyx （2 2）方程）方程321yxxyy 的通解为的通解为 。解解：原原方方程程变变形形为为23xyyxdydx ，为为伯伯努努里里方方程程.令令1 xz，dydxxdydz2 ，则有，则有3yyzdydz ，13 Cdyeyezxydyydy22223 Cdyeyeyy)(2222222222222 CdyeeyeCedyeyyyyy即即原原方方程程的的通通解解为为12222 xxyCxey。12222 xxyCxey（3）微分方程）微分方程02 yyy，满足初始条件，满足初始条件
3、10 xy，210 xy的的 特特 解解 为为 。解：解：yyyy ，1lnlnlnCyy ，yCy ，代代入入初初始始条条件件10 xy，210 xy，得得21 C。由由yy21 ，得，得dxydy 2，22Cxy ，代入初始条件代入初始条件10 xy，得，得12 C，12 xy。12 xy三三解解答答题题（1）求初值问题）求初值问题 0)0(0)(122xyxxdydxyxy的解。的解。解：原方程化为解：原方程化为xyxydxdy22 ，进一步变形，化为进一步变形，化为2)(1xyxydxdy ，令令uxy，则则 uxy，dxduxudxdy ，代代入入原原方方程程得得 21 uudxdu
4、xu ，两两端端积积分分得得：12lnln 1 lnCxuu ，从从而而Cxuu 12，即即222 Cxyxy ，将初始条件代入将初始条件代入01 xy代入，得代入，得 1 C，故故初初值值问问题题的的解解为为222 xyxy ，化化简简为为21212 xy。即即xdxudu 21，（2）解方程）解方程 1(0),0)0(0)1(2yyyxyx.解解：令令yz ，yz ，则则0)1(2 xzzx，当当012 x时，即当时，即当),1()1,1()1,(x时，时，有有dxxxzdz21 ，两两端端积积分分得得：Cxzln1ln21ln2 ，21lnlnxCz ，211 xCz ，由由初初始始条条
5、件件10 ,0)0()(yy可可知知，应应有有)1 ,1(x，所以所以211 xCz ，把初始条件把初始条件1(0)y代入，得代入，得11 C，故故211xyz ，22arcsin11Cxdxxy ，再再把把初初始始条条件件0)0(y代代入入，得得02 C，故原初值问题的解为故原初值问题的解为1)1(,arcsin xxy。的特解。的特解。分分离离变变量量，积积分分之之，得得142Cyz ，即即14Cyz （负负值值舍舍去去）。代代入入初初始始条条件件10 xy，10 xy得得01 C，于于是是有有2ydxdyz 。解：令解：令zy ，则，则dydzzy ，原方程化为，原方程化为32ydydz
6、z，分分离离变变量量，积积分分之之，得得21Cxy ，再代入初始条件再代入初始条件10 xy，得，得12 C，故故原原方方程程的的特特解解为为xy 11。（4 4）求微分方程）求微分方程0)2(dxyxxdy的一个解的一个解)(xyy，使得由曲线使得由曲线)(xyy 与直线与直线 1 x，2 x以及以及轴轴 x所所 围成的平面图形绕围成的平面图形绕轴轴 x旋转一周的旋转体体积最小。旋转一周的旋转体体积最小。解解：原原方方程程化化为为12 yxdxdy，则则22221CxxCxxCdxeeydxxdxx 。由曲线由曲线2Cxxy 与直线与直线 1 x，2 x以及以及 x 轴所轴所 围成的平面图形
7、绕围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积为轴旋转一周的旋转体体积为 dxxCCxxdxCxxCV 2142322122)2()()(),37215531(5213 2215243 CCxCCxx 令令0)215562()(CCV，得得12475 C。又0562)(CV，故故12475 C为为唯唯一一极极小小值值点点，也也是是最最小小值值点点。212475)(xxxyy 。解解：0 yx令令，得得)0()0(1)0()0()0(fffff 0)0(1)0(2 ff.0)0(fyxfyxfxfy)()(lim)(0 yxfyfxfyfxfy)()()(1)()(lim0 )()(1)()()
8、(lim20yfxfyyfxfyfy )()(1)(1)(lim20yfxfyxfyfy )()(1)(1lim)(lim200yfxfxfyyfyy )()(1)(1lim)0()(lim200yfxfxfyfyfyy ).(1)0(2xff 令令)(xfy，则有，则有)1)(0(2yfdxdy ，两两端端积积分分得得Cxfy )0(arctan，代代入入0)0(f，得得0 C，故故xfy)0(arctan ，从而从而)0(tanxfy ，即，即)0(tan)(xfxf 。分离变量得分离变量得dxfydy)0(12 ，0.()=cos2+()sin .xy xxy tt dt四求解方程：co
9、scos()4(cos1)xxy xeCxe-2sin2sin,=-sin,=-2sin2,yxx ypxqx解：cos(0)1,1.4(cos1).xyCyex又因为：所以10.(1,),(0)1,1()()()0.1(1)();(2):0,()1.xxfCffxf xf t dtxfxxef x 五设且求证明 当时0(1)()()1()21-1-.11xxfff t dtffxffffxfxx解：求导得：（）化简得：1(ln|)-1-,1|()|-ln(1),(0)-1,0,1()-.(1)xfffxfxxxCfCfxexQ即：积分得：ln所以 0-00()(0)(),11 1-1-.(1)()1.xxxxttf xfft dtdtdteetef x另外容易看到.)()()(),f xTy xky xf xkT六设（是周期为 的连续函数，证明方程为常数存在唯一的以 为周期的特解，并求出它。-0:()xkxktyeCf t e dt证明求解得0()(0)(),.-1TktkTf t e dtyy TCe令得*(),()*()-*(),Cyxu xyxTyx记取此 的特解为并记则()()0,(0)0.()0u xku xuu x解之得：，得证。
高等数学：微分方程概念初等积分方法
