刘土光 华中科技大学研究生院教材基金资助 第三章应

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1、第三章 应变状态第三章 应变状态理论 在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原

2、因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。3.1 位移与线元长度、方向的变化1.1坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴()上的投影为()，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(、)，这些位移分量可看作是坐标()的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即 (3.1-1)上式中函数、以及它们对坐标()的偏导数假设是连续的，则式(3.1-1)确定了变量()与之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式(3.1-1)是单值的，所以式(3.1-1

3、)可看成是坐标的一个变换。 如果在(3.1-1)中，假设，则由(3.1-1)式可得如下三个方程 (3.1-2)式(3.1-2)决定了一条曲线，曲线上各点，在物体变形前为平行于轴的直线()上(图3.1)。由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说，如果用没有变形状态的坐标()末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。 由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange法Euler法。Lagrange描述法是用变形前的坐标 ()做自变量，而

4、Euler法则是用变形后的坐标做自变量。 在固体力学中，通常物体的初始形状、固定情况以及载荷是一定的，需要确定的是物体各点的位移、和应力。对于小变形一般采用Lagrange坐标法；而对于大变形有时用Euler法。在数值计算中，通常采用矢量来表示，因为要计算变形前后两次应变的变化，所以用Euler法比较方便。在以后的讨论中，我们采用Lagrange坐标法。 图 3.1 变形表示法1.2 变形体的应变 设物体中变形前相距十分近的两点，变形后移位至。变形前的坐标分别为，变形后的坐标分别。那么，矢量所表示的线元在物体变形后由矢量表示线元。那么，和的平方为 (a) (b)根据(3.1-1)式，点在方向有

5、 (c)此处是因两点所产生的增量，将其在()处展开为Taylor级数，即 (d)略去(d)式中的高阶微量(，并将(d)式代入(c)式，则可得 由(3.1-1)式知，,所以 (3.1-3a)同理可得 (3.1-3b) (3.1-3)式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。我们的目的是为了计算与之差，于是由(a)式和(e)式可得 (f)式中 (3.1-4)式(3.1-4)实际上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的。如果知道了变形体各点的位移，则可由该式求得各点的应变分量，式(3.1-4)可采用张量表示为 (3.1-5)1.3线元的长度变化 引入符号 (3.1-6)是点和N间由

6、变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的比我们把这个量称作点在点N方向的相对伸长度。根据式(a)和式(f)，并注意(3.1-2)式，则可得伸长度的表达式为 = (3.1-7)式中 ，是矢量的方向余弦。如果在(g)式中令，那么有 (3.1-8a)此处表示点在x方向的相对伸长度。类似有点在y、z方向的相对伸长度为 (3.1-8b)因此，应变分量、描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长度，它们称为正应变。1.4线元方向的变化 变形物体中的线段，在变形时不仅长度要改变，而且方向也会发生变化。矢量与坐标轴(X，Y，Z)形成的方向余弦分别为、；而矢量与坐标轴夹角的方向余弦分别为 (3.1-9)利用(

7、3.1-6)式解得=，并注意到(3.1-3)式可得 (3.1-10)式(3.1-10)表示任意线元在变形后的方向，即变形后的方向余弦可以用变形前的方向余弦表示。如果变形前线元与X轴平行，则该线元的方向余弦为，那么由(3.1-10)式知，该线元变形后的方向余弦为 (3.1-11)此处是变形前与X轴平行线元的伸长度。由上式可以看出，对于任意线元，因各个方向的位移、不相同，因此方向要改变(图3.2)；同时各个方向的伸长度也不相同，方向也要改变。 因为线元在变形后成为已变形物体上坐标曲线上的线元，所以式(3.1-11)实际上给出了点上坐标曲线的切线方向的方向余弦。类似地可以由 (3.1-11)式得出已

8、变形物体上坐标曲线和的切线的方向余弦。如果用、表示点在坐标切线方向的三个单位矢量，那么该三个单位矢 图3.2 线元的方向余弦量相对于笛卡尔坐标的方向余弦可由(3.1-11)式如同线元那样得到类似的(3.1-11)式。具体列于表3.1。 类似于(3.1-9)的方法也导出用的方向余弦表示变形前的方向余弦，读者可自行推导。表3.1 变形后相对于笛卡尔坐标的方向余弦XYZ 1.5剪切度与切应变 Z 如图3.3所示，设变形前物体中经过 点的两条任意纤维和，此两纤维在点 的切线的方向余弦分别为、和、 、；变形后，物体中的点移动到， 纤维和变成纤维和， 纤维和的 Y方向余弦也变为、和、。 由前面可知，变形后

9、两纤维的方向余弦可用 X变形前的方向余弦表示，同时由解析几何知 图3.3 剪切变形 (3.1-12) 则可求得变形后纤维和之间夹角的方向余弦。将(3.1-10)式代入上式，并注意(3.1-5)式，则可得 (3.1-13)注意，式中纤维和的伸长度和由(3.1-7)确定，但必须用变形前物体的纤维和的方向余弦、和、。 由(3.1-13)显然可知，当知道了6个应变分量、和变形前经过物体中任意一点处的两纤维的方向余弦后，则可由(3.1-7)式和(3.1-13)求得该两纤维变形后的夹角。 如果变形前物体中纤维和分别平行于轴和轴，则，其余的方向余弦为，且变形后物体中纤维和的切线方向分别与单位矢量、重合，则根

10、据(3.1-7)式和表达式(3.1-8)可知 在变形前，纤维和的夹角为直角，令为变形后纤维引起的夹角减少量，那么由上式可得 (3.1-14a)类似可得分别与轴和轴平行的两纤维夹角的减少量和为 (3.1-14b)称角、和为剪切度。由以上分析可知，、和表示了切应变，当它们均为零时，则纤维之间的夹角变形后保持不变。 由以上的分析可知，在(3.1-4)式中，应变所出现的量不外乎下面9个分量 (3.1-15)称为相对位移张量。因此，当知道了位移对坐标的偏导数，则可根据(3.1-4)式计算出应变分量，从而也就知道了任何一根线段在任何方向的伸长(由(3.1-7)式)，同时还可计算出原来与坐标轴平行的两线段角

11、度的减少量，更一般地还可计算，因此充分地表示了应变。如果=0，则意味着没有变形，仅有刚体移动或转动；如果已知应变分量，则不能求得一根线段的绝对角度变化，因为这时并不知道(3.1-15)中的任何值，所以也无法由(3.1-10)式求得等，反过来也不知道、等，所以无法求出。3.2 应变张量与转动张量 一般来说，物体中各点的变形由(3.1-5)式中的6个分量可完全确定，因为知道了这6个分量就等于知道了伸长度和剪切度。 在变形理论分析中，通常还需引入9个参数，即 (3.2-1)这样，位移的所有一阶偏导数都于由这(3.2-1)式的9个参数表示为 (3.2-2)2.1微元体的转动为了研究微元体的转动，首先阐

12、述的几何意义。为此，设垂直于轴的线元为，利用(3.2-2)，并注意此时，则(3.1-3)式成为 (3.2-3) 在图3.4中表示出平面，线段是变形前线元的长度，而线段是变形后在平面上的投影。根据图3.4显然有 ， (3.2-4)再根据(3.2-3)式和分子分母均除原长，则有 (3.2-5) 图3.4 线元角度的变化变形物体在变形过程中，由前节已经知道，线元不仅产生尺度变化，而且线元的方向也发生变化。但是在变形时起变化的不仅线元的相对方向，而且还有它的绝对方向，因为从初始状态的物体中割离出来的无限小微元体，到终了状态时，除了产生形变外，还有些转动。把这术语应用到微元体上(它在产生位移过程中不仅位

13、置要发生改变，而且还改变了大小和形状)，意指所有属于微元体的许多个线元转动的平均值。同时，约定作为绕轴的转动角，此处轴是变形前和线元垂直的轴，是线元 (在变形前的位置)和它在变形后在垂直轴平面上投影之间的夹角(图3.5)因此因变形产生绕轴的转动角为 (3.2-6)由(3.2-5)、(3.2-6)和三角函数关系式可得从上式可解得 图3.5 线元绕轴角度变化取从到间隔中的平均值(即取所有垂直于轴的线元的的平均值)， 其中 令，则积分可化为 而积分可化为 = (a)式中 由以上可得 (b)因为所求得的 ()且多值函数，所以结果不定，但这种不定性可以揭示出来。如果考虑到使趋近于零时，从(a)式可知积分

14、必然趋近于，据此在 (b)式中必须使 (c)于是得到的表达式为 (3.2-7a)用类似的方法可以写出和为 (3.2-7b) 三个参数，表征出包围点的无限小体积的转动，它们分别和，成正比，而且在后者等于零时也等于零。因此，如果它们在任一坐标系等于零，那么它们在任何其他坐标系中都等于零。因此可得出结论，在物体上任一点，如果有 (3.2-8)则表示通过该点的线元对于通过这点的任意轴平均来说没有转动。所以，等式(3.2-8)是物体上点周围任意无限小微元体没有转动的条件。2.2应变张量与转动张量在直角坐标系下，式(3.1-5)称为Green应变张量。虽然是在直角坐标系中导出的，但它们所描述的几何关系与坐

15、标系的选择无关，因此适用于任意正交坐标系。从数学角度出发，Green应变张量属对称二阶张量。对于式(3.1-4)，如果忽略高阶微量，则(3.1-4)式中将成为 (3.2-9)将其写为张量形式为 (3.2-10)在直角坐标系中，称(3.2-10)式为Cauchy应变张量，它也是二阶张量。 由张量分析知，任何一个二阶张量都可唯一地分解成一个对称张量和一个反对称张量。因此(3.1-15)式可写成 (3.2-11)其中的元素为(3.2-10)式，而的各元素为 (3.2-12)根据(3.2-1)式，上式也可写为 (3.2-13)由(3.2-7)知，反映了包围某点无限小微元体的转动，因此称为转动张量。2.

16、3物体变形的描述与简化以上的讨论阐述了已知位移、决定物体任意一点无限小区域的位移、转动和纯应变三个因素，这些因素确定了假想从物体中切割出来的无限小微元体受载后的终了位置和终了形状。 但是必需指出，整体位移和微元体的转动并不是微元体变形的特征，变形是由应变所决定的。但是，如果说整个物体的变形，则其具有特征的是物体上各点的位移和各纤维的转动角。如梁的变形通常是指梁的挠度(即位移)，而轴的变形是指轴的一端相对于另一端的扭转角(即转动角)。因此从这个观点出发，位移和转动是整个物体变形的特征，而伸长度和剪切度是物体在无限小微元体变形的特征。这两个特征具有实际意义，前者决定承力构件或物体的刚度，后者决定承

17、力构件或物体的强度。 由上面的叙述可知，“小变形”这一术语就产生二种解析，“小形变”可以了解释为小伸长度和小剪切度(同1相比)；或者可以解释为小位移(同物体的尺度相比)和小转动角(同1相比)必须指出，小变形的经典理论实际上是建立在小位移和小转动角的假设基础上的。但是这一情况很少用应有的明确程度加以说明。因此，习惯于将变形的概念联想到应变分量，以为是指小伸长度和小切应变。应孩强调的是关于小位移和小转动角的假投，比之小应变分量的假设，很大程度地限制了论述的普遍性、并且前一假设的结果也服从后一假设，但反过来则并不肯定。其次必须指出，在必须表明小位移时，常常没有预先说明它应和什么比较是微小的，其实这样

18、的预先说明是十分必要的，因为位移是具有量纲的量。 今后使用“小变形”这一术语时，始终是指小伸长度和小剪切度(同1相比)。 此外，如果所研究的问题同时又有小位移和小转动，总是预先加以说明。 直到现在，还没有对伸长度和剪切度的大小加以任何限制。但是在弹塑性力学的论述中这样的普遍性照例是没有必要的，因为只有很少的材料(例如橡皮)才在颇大的相对应变的情况下还保留它的弹性的性质，大多数应用在工程上的材科(例如所有的金属和合金)仅在同1相比很小的伸长度和剪切度下才是弹性的。例如钢的弹性变形区域大概在相对伸长度的数值是10-3到5这一量级，钢的弹性切应变的最大数值也在类似的量级上。有色金属(及其合金)，数字

19、稍有不一样，但它们的弹性变形区域也限制在很小的伸长度和切应变内。 从上面可见，弹塑性力学应用于金属结构时，略去同1比较起来很小的伸长度和剪切度以简化公式是很自然的而且是合理的。由此，小应变理论提供了最大的实际兴趣。当忽略同1相比很小的伸长度和剪切度来简化前面己求得的公式，则对于 (3.1-8)实行简化，得到： ， ， 而根据(3.1-14)式得到 ， ， 因此在小应变的情况下，应变分量可以与相应的伸长度等同看待，而应变分量可以与相应的剪切度等同，但因它们仍需用式(2.1-4)计算，所以小应变仍属非线性。 应当指出，如果转动很大，而剪切度却很小，那么在决定变形后线元的方向时，同转动相比可以略去剪

20、切度(这里是指可一般略去剪切度；在有剪切度但不同时有转动的式子中，就不能略去剪切度)。材料力学梁的理论中的平面假设、和板理论中的Kirchhoff假设，就是这种简化处理可变形物体线元方向的例子，两者都是是假定同转动相比可以略去剪切度而作出结论的。 如果应变和转动角都很小，此时同1相比微小的不仅仅是应变分量，而且在(3.2-7)中还可略去与转动角相关的平方项高，从而可以获得 ， 当伸长度、剪切度和转动角同1相比都很小时，利用(3.2-1)式可将(3.1-4)改写为 (3.2-14) 在应变分量公式(3.2-14)中包括了以下项：(a)参数的线性项；(b)参数彼此相乘的项；(c彼此相乘的项和(d)

21、参数与的乘积项。 当和同1相比很小时，则有两种可能性，则有两种可能性：(1) 与同阶或更高阶的微量；(2) 与同阶或更高阶的微量。 对于第一种情况，(3.2-14)式中只需保留线性项，因此应变分量用(3.2-10)式计算，即为Cauchy张量。对于第二种情况，在(3.2-14)式中只需保留(a)和(c)形式的项，简化后可得应变分量为 (3.2-15) 式(3.2-14)和式(3.2-15)应用很广，式(3.2-14)用于小应变分量和小转动分量，而且两者属同一量级时，则就是通常指的小变形情况。式(3.2-15)用于小应变和小转动，但转动仍比应变大很多，因此适合柔性构件问题，如细长杆、板壳等，这种

22、情况通常称为大变形小应变。而(3.1-4)式属大变形大应变问题。总之，Cauchy应变张量属于线性问题，其余均为非线性问题。3.3主应变和应变不变量3.1应变张量的坐标变换 同一个变形可在不同的坐标系中研讨。在所有各种情况下，可以用前面所确定的六个应变分量把变形的特征充分地表示出来，但这六个应变分量的值却随坐标轴方向的选择而变更。设原有的坐标系为、，另坐标系为、，它的各轴的方向对第一个坐标系各轴的方向余弦如表3.2所示。表3.2 新旧坐标系之间的方向余弦 因为二个坐标系均为直角坐标，因此表3.2所列方向余弦之间有下面的关系： (3.3-1a)上式也可写为 (3.3-1b) 如果线段在第二个坐标

23、系、各轴上的投影是，那么在第个坐标系、各轴上的投影是： (3.3-3)注意3.1节中的式(f)左边是表示点和之间距离的平方因变形而引起的变化，由于这两点的选择与坐标无关，该式左边也应与坐标选择无关，因此在坐标变换过程是应是不变量。于是将(3.1-7)式右边的用矢量在新坐标上的投影，的(3.3-3)代入，将有 (3.3-4)其中 (3.3-5)由以上可见，式(3.3-4)与式(3.1-7)在形式上相类似，因此式中所含的各系数在坐标系、中的意义与系数在坐标系、的意义一样。显然，式(3.3-5) 就是坐标轴变换时应变分量的变换规律。3.2主应变和应变不变量 现在讨论在那一个方向伸长度会具有极值。设取

24、轴平行这个方向，那么根据(3.3-4)式有 或 (3.3-6) 由上式可见，求的极值归结为求的极值，也即要确定的值，使得在该方向上使(3.3-5)式中的第一式有极值。由(3.3-1b)式于知，之间存在如下关系 (3.3-7)那么，假设一函数为 式中为Lagrange乘子。现将上式分别对求偏导数，并使其等于零，则得如下线性方程组 (3.3-8) 由于条件式(3.3-7)的存在，不可能同时为零，因此(3.3-8)是关于的线性齐次方程组。根据齐次方程组有非零解的条件，(3.3-8)式中的系数行列式必为零，即 (3.3-9)它至少有一个实根，将它记为。注意到(3.3-5)中的表达式还可写为 将上式括号

25、中的式子用(3.3-8)中的值代入，并注意到(3.3-7)式，将发现，即的极值就是。当分别设平行于伸长度具有极值的方向时，采用类似的方法可分别得到关于和关于的类似于(3.3-8)式的线性齐次方程组，且其系数行列式与(3.3-9)式完全一样。将(3.3-9)式展开该式得 (3.3-10)其中 这三个参数分别称为第一、第二、第三应变不变量。方程式(3.3-10)有三个实根。设这三个实根分别为、。则由根与系数关系，有 (3.3-11)称、为主应变，所在方向称之为主方向。另外，注意到应变分量和可以写为将上面两式中括号内的式子用(3.3-8)代入，则有 由(3.3-1a)可知，。因此，如果在轴方向的伸长

26、度是极值，那末应变分量，也就是变形发生时，在方向和方向之间的直角以及方向和方向之间的直角没有变化。由此可见，不论在物体上任何点的变形怎样，总可以找出通过物体的三条纤维，它们在变形前是互相垂直的，而在变形后仍然还是互相垂直。 将代入(3.3-8)式，则可求得，从而可确定的方向，即主方向。如果将(3.3-8)式中的分别用和代替，以及别将用和代替，则可求得和，从而确定主应力和的主方向。 完全类似地还可求得最大切应变为 以及八面体的切应变为 (3.3-12)应变偏量及其不变量分别为 (3.3-13) (3.3-14)34 应变率张量和应变增量张量4.1应变率张量在小变形条件下，应变张量可简写为 (3.

27、4-1)而当介质处在运动状态时，以表示质点的速度，表示速度的三个分量，以时间作为起点，则经过无限小时间段以后，位移为，由于很小， 及其对坐标的导数也很小，因此可以应用小变形公式，即 (3.4-2)如果令，则有 (3.4-3)称为应变率张量，上式定义不论大小都成立，但要求是对每一瞬时状态进行计算，不是按初始位置计算。因为，在一般情况下当按初始位置计算时 只有在小变形条件下才有 (3.4-4)由(3.4-2)和(3.4-4)式可知 (3.4-5)于是应变对时间的变化率为 (3.4-6)将上式写为张量形式为 (3.4-7) 4.2应变增量张量应当指出，对于固体材料，当温度不变时或变形是缓慢的，则其力

28、学行为与应变率关系不大，只有在受到动载荷时，因变形速率很快，材料的力学性质才会与应变速率有关，这类材料通常称为应变率敏感材料。因此，根据第一章中的基本假设，时间因素对物体的弹塑性力学行为不发生影响(即不考虑粘性效应)，而且这里的并不代表真实的时间，仅仅代表加载变形的过程。于是，对于这里所讨论的问题主要关心的不是应变速率而是应变增量。于是采用应变增量代替应变率更能表示不受时间参数选择的特点。 以代表位移增量，则(3.4-3)式成为 (3.4-8)在小变形条件下 (3.4-9) 这说明在小变形时、按瞬时状态计算与按初始状态计算(近似地)没有什么区别。类似地、应变增量张量的应变增量偏量为 (3.4-

29、10) 注意，在求应变增量时，每一次都应从瞬时位置计起，而不是从初始位置算起。例如在简单拉伸时，轴向应变增量为 此处是拉伸时的瞬时长度(为了不与相混淆，令)。一般情况下应变增量的累计值的物理意义并不明显，但是当应变张量的主方向不变时，它们的积分才有明确的物理意义。对于简单拉伸问题有 (3.4-11)这就是对数应变，又称为真应变。4.5小变形的应变协调方程 对于一个连续的物体，按某一应变状态变形后必须既不出现开裂，又不会出现重叠，即保持其连续性。此时所给定的应变状态是协调的，否则是不协调的。这就要求位移函数在所定义的域内为单值连续函数。一旦出现了开裂，位移函数就会出现间断；出现了重叠，位移函数就

30、不可能为单值。因此、为保持物体变形后的连续性，各应变分量之间必须有一定的关系。 在小变形情况下，6个应变分量是通过6个几何方程与3个位移函数相联系。若已知位移分量，则由(3.4-1)求得各应变分量。若给定一组应变，(3.4-1)式是关于未知位移函数的微分方程组，它包含6个方程，仅三个未知函数，方程的个数超过了未知数的个数，若任意给定，则方程(3.4-1)不一定有解，仅当满足某种可积条件，或称为应变协调关系时，才能由方程(3.4-1)积分得到单值连续的位移场。 在小变形条件下，应变的计算式为(3.2-9)。将(3.2-9)式中的6个应变分量分为两组。第一组为(3.2-9)式中的前三式，将该式中前

31、两式分别对和求二阶偏导数，得 ， 将上面两式相加，得 这就是我们需要的应变之间的一个关系式将上式内各字母循环替换，就得到另外二式，第一组中共有三个关系式。 第二组为方程(3.2-9)中的后三式，将它们分别对、和求偏导得 ， ， 将上式中的第二和第三式相加，并减去第一式，然后再对求导，则有 将上式各字母循环替换，就得到另外二式。第二组也共有三个关系式。 于是第一组和第二组的6个关系如下 (3.5-1)上列应变分量之间的6个微分关系式，称为应变协调方程，又称变形连续方程(圣维南恒等式)。 当弹塑性变形固体在外界因素影响下，物体中产生应力与应变，如能先求得位移，对于小变形问题则可由式(3.4-9)可

32、计算应变分量，这时应变协调方程(3.5-1)自然满足，因应变协调方程本是由式(3.4-9)所导得。但是，如先求出应力，然后再求应变，则所求的应变分量必须同时满足应变协调方程(3.5-1)，否则，应变分量之间可能互不相容，因此也就不能用式(3.4-9)求得正确的位移。 式(3.2-2)可以视为位移分量的微分方程，如果应变分量和转动分已知，则求式(3.2-2)的积分，就可求得位移分星，进步可证明，在求上述积分时、必须满足应变协调方程。3.6正交曲线坐标中的应变几何方程 在求解具有曲线或曲面边界的弹塑性力学问题时，一般选用正交曲线坐标系比笛卡儿直角坐标系更为方便。6.1正交曲线坐标 设以三个独立变量

33、()来定义的三个独立标量函数()为 , , (3.6-1)如果()表示笛卡尔坐标，则对任何一组()，变量()都是空间坐标。那么在一规则区域内，独立标量函数与独立变量之间存在唯一解，即 (3.6-2) 如果()为常值()，则方程(3.6-2)给出 ， ， (3.6-3)方程定义一个坐标面。当取不同的值，就得到与对应的一族坐标面。类似地，方程和给出另外两族坐标面。两个坐标面的交线定义一坐标线。如和的交线定义一条坐标线，沿这条线只有在变化，该交线称为坐标线。类似的面和的交线定义出坐标，而和的交线定义出坐标。一般来说，坐标线均为曲线。因此，变量()称为曲绒坐标。 通常三个坐标面在空间相交于一点，因此空

34、间中的一点与三线的交汇点()有关。如果通过任何点()的曲线坐标线相互垂直，则称它为正交的，其曲线坐标系称为正交曲线坐标系。如柱坐标系和球坐标系均属正交曲线坐标系。 在直角坐标系()中，一点()的位置矢量可以写作，其中分别为坐标方向的单位矢量。因此，一个曲线坐标系()可以用矢量方程定义，如果令分别是对()的偏导数(以下各式中的下标均分别表示对的偏导数)，则它们分别是对()坐标线的切向矢量。对于正交坐标系有 (3.6-4)注意，此处“”为标量积符号。两相邻点之间的距离可以由确定，而，根据方程(3.6-4)可得 (3.6-5)其中 ， , (3.6-6)因为分别是对()坐标线的切向矢量，所以相对于坐

35、标()的单位切向矢量定义为 , , (3.6-7) 因为是对坐标线()的正交矢量，所以()也是对坐标线()的正交矢量，于是其它任何矢量都可用它们线性地表示出。如对的二阶偏导数可以表示为 为了计算系数()，可以分别取与的标量积，结果得 ， , (3.6-8)为了求得标量积等，可以将方程(3.6-4)和(3.6-6)对()求导，并利用方程(3.6-7)。典型结果为 (3.6-9)由方程(3.6-7)、(3.6-8)、(3.6-9)可得 ， ， 类似地，的其它二阶偏导数可由的线性组合表示。完整的关系式如下； (3.6-10)6.2应变几何关系 设()是相对于物体未变形状态时的正交曲线坐标，令是物体内

36、点()的位移矢量通过点()的坐标线切线上的投影。因与坐标线相切的单位矢量是由方程(3.6-7)定义，所以最初位于点()的一质点的位移矢量可由位置矢量来定义，即 (3.6-11)物体变形后，最初在点()的质点移动到由位置矢量所确定的点。因此，根据方程(3.6-11)，最初处于点处的质点其最终位置矢量为 + (3.6-12)方程(3.6-5)确定了线元()的初始长度，该线元的最终长度由下列关系式确定： (3.6-13)利用方程(3.6-10)，可以由方程(3.6-2)计算出偏导数)，于是得到 (3.6-14)另外，导数可以由矢量对局部坐标线的方向余弦来表示，因为, , (3.6-15)如同在直角坐

37、标系那样，本章第一节中的式(f)定义了应变分量，所以将方程(3.6-14)、(3.6-15)代入式(3.6-13)得到 (3.6-16a) (3.6-16b)方程(3.6-16)是应变分量准确几何表达式，也就是说它们不是二次近似。对于小变形理论，()中的二次项被赂去，于是方程(3.6-16)简化为应变分量与位移分量间的线性关系。对于特殊的正交曲线坐标系，应变几何方程可作专门研究。例如，对于笛卡儿直角坐标，。，则方程(3.6-16)简化为方程(3.2-9)。 对于小变形理论，方程(3.6-16)还具有下列特殊形式： 对于柱坐标系()，则应变几何方程简化为 (3.6-17)而球坐标(r,)，其应变分量为 (3.2-18)对于极坐标()，则应变与位移之间的几何关系为 (3.6-19)取适当的值，对其它的正交曲线坐标系也可以得到类似的结果。64