自动控制原理：4-2频率特性图形表示

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1、1频率特性的图形表示幅相频率特性曲线对数频率特性曲线幅相特性曲线（极坐标图）幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线简称幅相曲线幅相曲线，又称极坐标极坐标图图。在复平面上，以角频率w为自变量为自变量，把频率特性的幅频特性模模和相频特性角角同时在复平面上表示出来的图就是幅相曲线。幅频特性是w的偶函数相频特性是w的奇函数性能分析（尤其是稳定性）时不需要绘制精确的幅相特性曲线，只需绘制大致形状即可:0:0 的曲线和的曲线关于实轴对称2112122221211121mhhiinl vlviiiiiiiiiiTjTjG jHjjjKjjj T 由图可看出放大环节 的幅频特性为常数K，相频特 性等于零度，它们都与

2、频率无 关。理想的放大环节能够无失 真和无滞后地复现输入信号。（一）放大环节（比例环节）KjG)(KsG)(放大环节的传递函数为 其对应的频率特性是 .00mIKeR图5-2 放大环节的频率响应频率特性如图所示。KjG)(0)(jG其幅频特性和相频特性分别为（二）积分环节 积分环节的传递函数为 其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 频率特性如图所示。由图可 看出，积分环节的相频特性等于 -900，与角频率无关，ssG1)(jjG1)(11)(jjG0900)(arctgjG图5-3 积分环节的频率响应eRmI0G090 表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅频特性等于 ，是

3、的函数，当由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。在 平面上，积分环节的频率特性与负虚轴重合。（三）惯性环节 惯性环节的传递函数为 其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别是1)(jG11)(TssG11)(jTjG 当 时，当 时，当 时，。当由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是正实轴下方的半个圆周，证明如下：令 2211)(TjGarctgTjG)(01)0(jG00)0(jGT1707.021)1(TjG045)1(TjG0)(jG090)(jG)(jG222211111)(TTjTjTjG)(11)(Re22uTjG 则有 这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 ，半径

4、为 。且当由 时，由 ，说明惯性环节的频率特性在 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。惯性环节是一个低通滤波环节低通滤波环节和相位滞后环节相位滞后环节。在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为90。)(1)(Im22vTTjG2222222222112111)(21)(TTTvu0,21210)(jG900)(jG 推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即时，其频率特性是圆心为 ，半径为 的实轴下方半个圆周。(四）振荡环节 振荡环节的传递函数是 其频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 1)(jTKjG0,2K2K121)

5、(22TssTsGTjTTjTjG2)1(1121)(2222.045010.5T/1 惯性环节的频率响应mI G0eR ）当 时，当 时，当 时，振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。2212)(TTarctgjG1)(jG21)(jG000)(jGT1090)(jG0)(jG0180)(jG)1(rrMMr041)(222222TTddjGdd)210(2121122nrT当阻尼比较小时，会产生谐振谐振，谐振峰值 和谐振频率 由幅频特性的极值方程解出，谐振时幅值大于大于1 12222224)1(1)(TTjG 其中 称为振荡 环节的无阻尼自然振 荡频

6、率，它是振荡环 节频率特性曲线与虚 轴的交点处交点处的频率。将 代入 得 到谐振峰值 为 将 代入 得到谐振相移r为Tn1r)(jGrM)210(121)(2rrjGMr)(jG2021arcsin9021)(arctgjGrrnnrM01/nTnr0mIr1eR G图 振荡环节的频率响应 振荡环节的幅值特性曲线如图 所示。在 的范围内，随着的增加，缓慢增大；当 时，达到最大值 ；当 时，输出幅值衰减很快。当阻尼比 时，此 时振荡环节可等效成两个 不同时间常数的惯性环节 的串联，即r0)(MrrM)(Mr11)(M0rrM 图 振荡环节的频率响应11111)(21sTsTsGT1，T2为一大一

7、小两个不同的时间常数，小时间常数小时间常数对应的负实极点离虚轴较远，对瞬态响应的影响较小较小。振荡环节为相位滞后环节相位滞后环节，最大滞后相角是1801800 0。推 广：当 振 荡 环 节 传 递 函 数 的 分 子 是 常 数 K 时，即 ，其对应频率特性 的起点 为 （五）一阶微分环节 典型一阶微分环节的传函数为 其中为微分时间常数、1为比例项因子，由于实际的物理系统中理想微分环节或纯微分环节理想微分环节或纯微分环节（即不含比例项）是不存在的，因此用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。12)(22TssTKsG)(jG000)0(,)0(jGKjG1)(ssG 幅频特性和相频特性分别

8、为 当 时，当 时，当 时，。1)(jjG1)(22jGarctgjG)(01)0(jG00)0(jG12)1(jG045)1(jG)(jG频率特性如图所示。它是一条过点（1，j0）与实轴垂直相交且位于实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。090)(jG1eR0mIG0G图 一阶微分环节的频率响应（六）二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为 其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 12)(22sssG12)(22jjG22222241)(jG2212)(arctgjG01)0(jG00)0(jG12)1(jG090)1(jG)(jG0180)(jG 二阶微分环节频率特性曲线如

9、图所示，它是一个相位超前环节，最大超前相角为180o。图 二阶微分环节频率特性图1)1(2mIeR00G11)(TssG11)(jTjG（七）不稳定环节 不稳定环节的传递函数为 不稳定环节有一个正实极点，对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 当 时，当 时，当 时，不稳定环节的频率特性 如图5-9。比较图可知，它与惯性环节的频率特性 相比，是以平面的虚轴为 对称的。11)(22TjG0()1801TG jarctgarctgT 01)0(jG0180)0(jGT121)1(TjG0135)1(TjG0)(jG090)(jG0ImRe0图 不稳定惯性环节的频率特性不稳定环节不稳定环节不稳定

10、单元11Ts11Ts11Ts以上三者的模相等，都是且与惯性环节相同，相频特性则不同，分别如下所示21()()1GjwTarg1 (090)090Ttg 180arg 180(090)18090tg T 0180 (90180)18090arctgT 不稳定环节不稳定环节幅相曲线都是半圆,分别为不稳定的振荡环节推导类似。不稳定的振荡环节推导类似。相频特性与稳定振荡环节的相频特性与稳定振荡环节的幅相特性关于幅相特性关于实轴实轴对称。对称。其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 jejG)(1)(jG度）弧度）(3.57()(jG0mIj0eR11jG图5-10 滞后环节频率特性图sesG)(

11、（八）滞后环节的传递函数 滞后环节的传递函数为 如图所示，滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时顺时针旋转的针旋转的单位圆。二、典型环节频率特性的伯德图二、典型环节频率特性的伯德图 伯德（伯德（BodeBode）图又叫对数频率特性曲线对数频率特性曲线，它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅数幅频特性频特性，后者叫对数相频特性对数相频特性。两个坐标平面横轴（轴）用对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，它表示幅值的分贝数，即 ；对数相频特性的纵轴也是线性分度，它表示相角的度数，即 。通常将这两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率

12、的幅值和相角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。)()(lg20)(dBjGL（度）)()(jG开环对数频率特性图开环对数频率特性图(对数坐标图对数坐标图或Bode图图)包括 开环对数幅频曲线 和 开环对数相频曲线横坐标为w，以对数分度，十倍频程，单位是rad/s 对数幅频特性的纵坐标为对数幅频特性的函数值，采用线性分度，单位是dB。表示为 L(w)=20lg|G(jw)|开环对数频率特性开环对数频率特性301.02lg4771.03lg602.04lg699.05lg778.02lg3lg6lg845.07lg903.02lg38lg954.03lg29lg对数分度：对数分度：)(w对数

13、相频特性的纵坐标为对数幅频特性的函数值，单位是度（。）。表示为频率w每扩大10倍，横轴上变化一个单位长度。因此，对于w坐标分度不均匀，对于lgw则是均匀的。02040-40-20)(L0.010.1110100045o90o-90o-45o)(0.010.1110100dB对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性线性分度线性分度（4）横轴（轴）用对数分度，扩展扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。用伯德图分析系统有如下优点：（1）将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；)(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)

14、()()()()()()()()(212121jGjGjGjGLjGjGjGjGjGjGjGjGnnn （2）幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘相乘变为相相加加运算，可简化计算；（3）用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；（一）放大环节（比例环节）放大环节的频率特性为 其幅频特性是 对数幅频特性为 为大于零的常数）KKjG()(KjG)(KjGlg20)(lg20当K1时，20lgK0，位于横轴上方；当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；当K1时，20lgKm时，终点在原点，进入角度为时，终点在原点，进入角度为(n-m)(-90)n=m时，终点在正实轴上某点，坐标和各参数时，终点在

15、正实轴上某点，坐标和各参数有关。有关。3）中频段：中频段：比较复杂，与比较复杂，与传函零点，时间常数，阻尼比，传函零点，时间常数，阻尼比，自振频率自振频率有关。有关。对于对于开环传递函数含有对于对于开环传递函数含有右半平面的零极点右半平面的零极点的的系统，即含有不稳定环节的系统，幅相曲线不满系统，即含有不稳定环节的系统，幅相曲线不满足上面的规律。此时要根据表达式分析，尤其要足上面的规律。此时要根据表达式分析，尤其要注意其相频特性。注意其相频特性。绘制频率特性图绘制频率特性图(Bode图图)绘制对数频率特性图 叠加法叠加法：将各典型环节的图叠加。11()()11()()()nnjjjnnG jG

16、 jeGjeGG e 12120lg20lg20lg20lgnGGGGG1nG因此一般系统的对数频率特性图可由典型环节叠加。12()()()()nG sG sG sG s设由前述，可得绘制频率特性图绘制频率特性图 分段法：第一步：确定转折频率转折频率，标注在轴上；第二步：确定低频段低频段Bode图位置，包括高度(=1,L()=20lgK)和斜率(-v*20dB/dec)。（不考虑惯性、振荡、比例微分环节）0()20lg20lgvLKj在时 有第三步：依次画转折频率以后部分，增减斜率增减斜率。斜率由积分环节决定v 0 0dB/dec v=1 -20dB/dec v=2 -40dB/dec第四步：

17、在转折频率附近转折频率附近进行修正，得到较为精确的曲线。例：已知控制系统的开环传函，绘制系统的渐近频率特性曲线12345222 22()()()()()()20lg420lg20lg 1(2)20lg 1(0.5)20lg 1(0.125)(0.05)LLLLLL24(10.5)()()(12)10.05(0.125)sG s H sssss123452()()()()()()0.0509020.51(0.125)arctgarctgarctg 1230.5,4:28转折频分成 段讨论率 32122),40db/6,d cLdBLe 开始起作用,其斜率为-20dB/dec.故L斜率为123,4

18、,51111121)20d,0,B/0().12,6.dec,L LLLdBLdBL18d截止因此=,为B 斜率-43233),d/1,b8Lc LdedB开始起作用,其斜率为+20dB/dec.故L斜0率为-2 5334),db/18,decdBLL开始起作用,其斜率为-40dB/dec.故L斜0率为-6对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性：对数相频特性：1）将积分、惯性、比例微分、振荡环节分别画出相频特）将积分、惯性、比例微分、振荡环节分别画出相频特性曲线性曲线2）确定几个点（查表等），光滑连接）确定几个点（查表等），光滑连接稳定系统特点：稳定系统特点：幅频特性曲线负斜率加大 相频特性曲线

19、负相角增加由低频向高频延伸时，每经过一个转折频率，曲线斜率就改变一次 经过积分环节 增加 20dB/dec 经过惯性环节 增加-20dB/dec 经过振荡环节 增加-40dB/dec例：已知控制系统的开环传函，绘制系统的幅频特性曲线2123410(10.4)()()(1)(10.2)10.008(0.014)1)1/2.5/5:2:/25/jG jH jjjjjjrad srad srad srad s确定转折惯性环节:微分环节惯性环节振荡环节频率:2)1=2020dB/dec3)=,-40dB/dec12.5=,-20dB/dec=,-40dB/dec=,-80dB/dec4)5235L确定

20、L起始高度和斜率起始:lg10=20dB起始:-向高频段延伸过过过过在转折频率处修正,光滑连接注意:惯性环节和微分环节 误差 dB 高度振荡环节,越斜率小,误差越大对数幅频特性对数幅频特性绘制频率特性图绘制频率特性图例例 绘制幅相曲线和对数频率特性图（说明剪切频率剪切频率）100(0.51)()(101)(0.11)(0.011)sG sssss1)讨论幅相曲线大致形状：-1ImRe 0 0,()03()221()-180)1G jG jG jG jw 当 从则从从点位置如图所示，当时，（小于解：解：系统的频率特性为100(0.51)()(101)(0.11)(0.011)jG jjjjj绘制

21、频率特性图绘制频率特性图c()90arg10arg0.1arg0.01arg0.5tgtgtgtg 2）对数频率特性图 相频特性：见下页图计算剪切频率剪切频率（精确求，另一种求法为作图法（精确求，另一种求法为作图法）定义：定义：开环幅频特性曲线（折线）过0分贝的频率。也叫剪切频率或穿越频率，记为120lg10020lg0.1240lg20lg0.12c5c0.11210-40-20wc绘制频率特性图绘制频率特性图-900-1800-270000-20-20-40-40-600.11210100c绘制频率特性图绘制频率特性图小结 一般说来，如果系统稳定且极点数多于零点数那么,如果幅频特性的斜率为如果幅频特性的斜率为当系统不含有不稳定环节时（即系统只有左半平面的零极点），系统的相频特性随幅频特性的增加（或减少）而增加（或减少）所以只需要画它的对数幅频特性图即可。精确的频率特性图是在近似图基础上，在转折转折频率频率附近描点，然后连成光滑的曲线即可20/2db dec对应的相角为(20)/2kkdB dec 对应的相角为