左矩形求积公式课件

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1、Chapter 7 数值积分与数值微分数值积分与数值微分内容提纲（内容提纲（Outline)Outline)求积公式的代数精度求积公式的代数精度 插值型求积公式插值型求积公式 复化求积法复化求积法为什么要数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分()()()()baI ff x dxF bF aWhy do we do numerical integral?210 xedx10(arctan)x x dxx12345f(x)44.5688.57.1 代数精确度代数精确度本章讨论的是形如本章讨论的是形如的定积分的数值计算，其中为权函数，的定积分的数值计算，其中为权函数，要满

2、足要满足5.4节中所提的条件节中所提的条件.()()()baI fx f x dx()x一般把积分区间n个点xk上的函数值f(xk)加权Ak的和 作为积分I(f)的近似,即 或记 (2)1()()(,)nkkkI fA f xRf1()nkkkA f x1()()nkkkA f xI f上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数.求积系数与被积函数f(x)无关,而与求积节点、求积区间、权函数有关称公式(2)为n点求积公式，有时也称为一个n点求积公式，为求积公式的误差用此公式)求积分近似值的计算称为数值积分或数值微分1()()(,)nkkkI fA f xRf1()()nnkkkIfA f x(

3、,)Rf构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 (i)确定求积系数Ak和求积节点n；(ii)求积公式的误差估计和收敛性用什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定义定义若对任意的，求积公式(2)的误差都满足，则称该求积公式具有n次代数精确度验证一个求积公式所具有的代数精确度用定义是极不方便的，为此给出另一个定义(),nnpxP a b1(,)0nRx 定义2 若对函数，求积公式(2)精确成立，即而，则

4、称其具有n次代数精确度因为函数组 是的一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体应用时，定义2比定义1要方便的多23()1,.,nf xxxx(,)0Rf1(,)0nRx23(1,.,)nxxx,nP a b例验证求积公式具有3次代数精确度解：当而有3()()(,)()4()()(,)62baabI fIfRff aff bRf()1()1baf xI fdxba时，3()(14 1)()6baIfba(,1)0R（1）当（2）当（3）当3()()(,)()4()()(,)62baabI fIfRff aff bRf22()()2baf xxI f时，223()(22)62babaIfaabb

5、(,)0Rx332()()3baf xxI f时，2(,)0Rx443()()4baf xxI f时，344333()()()624baabbaIfab3(,)0Rx332223()()63babaIfaabb（1）当故求积公式具有三次代数精确度3()()(,)()4()()(,)62baabI fIfRff aff bRf554()()5baf xxI f时，4443()()()()64baabIfabI f4(,)0Rx7.2 插值型求积公式这一节所讨论的求积公式，都是用在区间a,b上对被积函数f(x)作插值所得插值多项式Pn(x)代替被积函数f(x)导出的公式这一类求积公式的求积节点xk

6、，就是对f(x)作插值时的插值节点，所以这类求积公式称为插值型求积公式为简便起见，这节讨论节点分布为等距并且权函数时的插值型求积公式的构造等问题()x7.2.1 Newton-Cotes求积公式求积公式一、公式的推导设将积分区间a,bn等分，求积节点为 ，那么，令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由可知由Lagrange插值基函数有而，所以,xa b0nkkx0,njxa xb xajh0,1,.,;bajn hn0,tn0,0,()()nnikkii kii kkixxtilxl athxxki0,(1)!()!n knii ktik nkbadxhdtdtn000,(1)()()()!

7、()!n knbnnkkaii kbalx dxlath hdtti dtnk nk将n次Lagrange插值多项式Ln(x)代替被积函数f(x)得记称为Cotes求积系数它与(3)式中的求积系数Ak相差一个常数b-a即()10()()(1,)()()(1,)nnnkkkI fIfRfba Cf xRf0()(1,)nkkkA f xRf()00,(1)(),0,1,.,!.()!n knnnkii kCti dt knk n nk()(),0,1,.,.nkkAba Ckn把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求积公式例如当n=4,5时，Newton-Cotes公式分别为n=0

8、,1,2三种情形，在讨论(3)式中的余项R(1,f)后再详细讨论6017345()(197550507519)288baIfffffff501734()(73212327)90baIffffff二、误差估计求积公式(3)计算出的积分I(f)的近似值In+1(f)的误差多大？若被积函数 ，记，对n次Lagrange插值余项求积，可得n+1个节点的Newton-Cotes求积公式的误差估计式为 (5)1(),nf xCa b2100|(1,)|()(1)!nnnniMRfhti dtn(1)1max|()|nna x bMfx 验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，而用直接对插值

9、余项求积的形式，即 (5)由(5)式，显而易见，当时，因可知，R(1,f)=0，所以我们所n+1点的求积公式(3)至少具有n次的代数精确度进一步可以证明，当n为偶数时，求积公式(3)的代数精确度可以达到n+1次(1)()0nf(1)1max|()|nna x bMfx()1,.,nf xxx三、几种常见的Newton-Cotes求积公式 对 n=0,1,2,按公式(3)可以得出下面三种常见的Newton-Cotes求积公式.1.n=0时的矩形求积公式分别以积分区间a,b的左、右端点和区间中点，即x=a，b，(a+b)/2为求积节点得到：左矩形求积公式：右矩形求积公式：中矩形求积公式：三个求积公

10、式的误差估计，可将函数f(x)分别在处展开到含f(x)的一阶导数的Taylor公式在区间a,b上积分推得1()()()I ff a baR3()()()2abI ffbaR3()()()2abI ffbaR,2abxa b2.n=1时的梯形求积公式按Cotes系数公式计算得故求积系数A0,A1为 ，梯形求积公式为记(6)式的几何意义如图7-2所示（见p327）容易验证公式(6)的代数精确度的次数为1.考虑梯形求积公式(6)的误差估计R(1,f)假定时，用推广的积分中植定理，将过(a,f(a),(b,f(b)点的线性插值的余项 在a,b上积分，可得其中()()()2!fxa xb(1)(1)01

11、12CC()()()(1,)2baI ff af bRf011()2AAba()()()2baT ff af b2(),f xC a b3(1,)()12hRff,hba ab也称为梯形求公式3.n=2时的Simpson求积公式按Cotes系数公式可以计算出为此，所以 (8)公式(8)称为Simpson求积公式由7.1节例1可知Simpson求积公式(8)具有次的代数精确度 Simpson求积公式(8)的误差估计R(1,f)不能直接有插值余项 利用推广的积分中值定理在a,b上积分推出原因是 在a,b上要变号(2)(2)(2)02112,63CCC021()6AAba14()6Aba3()()(1,)I fIfRf()4()()(1,)62baabf aff bRf()()()()32fabxa xxb2abx