线性代数课件：第2章 矩阵

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1、-1-2.2 可可逆矩阵逆矩阵2.3 分块分块矩阵矩阵学习要点学习要点1.熟练熟练掌握矩阵的代数运算：矩阵的加法；掌握矩阵的代数运算：矩阵的加法；矩阵的数乘；矩阵的乘法；矩阵的转置等。矩阵的数乘；矩阵的乘法；矩阵的转置等。2.掌握逆矩阵的定义、可逆矩阵的性质、矩阵掌握逆矩阵的定义、可逆矩阵的性质、矩阵可逆的充分必要条件。可逆的充分必要条件。3.熟练掌握逆矩阵的求法熟练掌握逆矩阵的求法-初等行变换法。初等行变换法。4.掌握分块矩阵的运算，了解矩阵常用的分块掌握分块矩阵的运算，了解矩阵常用的分块方法。方法。-3-矩阵的加法矩阵的加法nmijnmijbBaA )(,)(mnmnmmmmnnnnbab

2、abababababababa221122222221211112121111BA def 矩阵的数乘矩阵的数乘RkaAnmij ,)(Ak mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211defkA-4-A mnmmnnijaaaaaaaaaa212222111211)(defdef)(BABA 特别特别-5-5 1 AA()6AA()()()7AAA()()8ABAB()()ABBA 交交换换律律：)1(CBACBA )2(结合律：结合律：OAA )4(AOA )3(-6-例例1,501431,312201 BABA23 求求 936603 134261 10028

3、62 BA23解：解：-7-njmi,2,1;,2,1 smijaA )(nsijbB )(nmijcC )(skkjiksjisjijibabababa12211defijcnssmBA defnmC smmsmjmisijisjaaaaaaaaaA 111111nssnsjsinijinjababbbbbbB 111111 矩阵的乘法矩阵的乘法-8-222263422142 C22 16 32 816?106861985123321不存在不存在 123321 132231 .10 21322 12 22 12 22 13 23.634242 例例2-9-例例3 0321,1111,1111

4、CBA 11111111AB 11111111BA 03211111AC2Adef AA 11111111 2222 0000 2222 0000?BAAB?CBACAB OBA?orOAOB?2OAOA -10-例例4 321321,xxxxxx232221xxx 321321,xxxxxx 232313322212312121xxxxxxxxxxxxxxx：上式：上式=0的充要条件是什么？的充要条件是什么？-11-4333731120854121111 44431111731120854121 43731120854121 43731120854121 例例5)(AEEAEAAEnnmnm

5、m ：E在矩阵乘法中的作用在矩阵乘法中的作用-12-有了矩阵的乘法，有了矩阵的乘法，方程组的矩阵表示形式方程组的矩阵表示形式对应可以用矩阵形式表示为对应可以用矩阵形式表示为 AX B，其中，其中B 。b1b2 bmA ，a11a21 am1a12a22 am2 a1na2n amnX ，x1x2 xn(|)AA B 称为方程组的称为方程组的增广矩阵增广矩阵对应齐次方程组可用矩阵形式表示为对应齐次方程组可用矩阵形式表示为 AX O)1(22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa)2(000221122221211212111 nmnm

6、mnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa-13-BCACAB 1 ,3ACABCBA CABAACB BABAAB 2证证(1):记记qpijpnijnmijcCbBaA )(,)(,)(qnijpmijvVBCuUAB )(,)(矩阵矩阵都是都是与与qmBCACAB)()(pkkjnllkilpkkjikcbacujiCAB111)(),()(元元的的元元的的),()()(111jiBCAvacbanlljilnlpkkjlkil -14-方阵的幂方阵的幂设设A是是n阶方阵，阶方阵，定义定义111121,AAAAAAAAkk 规定规定EA 0mmAaAaEaAf 10)(称称 为为A的

7、的m次多项式次多项式。mmxaxaaxf 10)(设设 为为x的的m次多项式，次多项式，lklkAAA kllkAA)()()()()(AfAgAgAf-15-例例6举例说明举例说明222)()1(BAAB 2222)()2(BABABA )()3(22BABABA 0110,0001BA 000000100010)(2AB 0001000100012A 001001100001AB 1001011001102B 0001222ABAABBA 010000010110因因下一例题说明下一例题说明(2)(3)不成立。不成立。-16-例例72222)()1(BABABA )()2(22BABABA

8、 成立的充要条件是成立的充要条件是(即即AB=BA)。2222)()1(BABABA 222)(BABABABA 2222BABABABBAABA BAAB )()2(22BABABA BAABBBAABABA 2222-17-100,001001AA求求设设 例例8 0001000100100100102BOB 0100100001003BEA 010010-18-nnnnnnnnBACBACBACBA01100)(nnnnnnnnnCCC 000112211当当A与与B可交换时，有下面二项展开式可交换时，有下面二项展开式称为称为数量矩阵数量矩阵，它与任何方阵可交换。，它与任何方阵可交换。E

9、 0000000002211nnnnnnnCnn 222110)()()()(BECBECECBEAnnnnnnnn -19-矩阵的转置矩阵的转置 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做矩阵，叫做A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作AT。,65432132 A23635241 TA,321 x).3,2,1(Tx如如 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB-20-,102324171,231102 BA .TAB求求例例9 102324171231102AB 1013173140 1031314170TAB TTTABAB 213

10、012131027241.1031314170 !)()(3323无意义无意义 TTBA-21-例例10 1021A 312101B 210112CBAABCTTTT )2(求求BABACBAABCTTTTTT 2)2(3121011201210112BACT 304011514101210112-22-例例11TTTA ,)2,1,2(,)1,2,1(101A求求 2124242122,1,2121A )(2TTATT )(TTTA )()(101 T)(T 21212,1,2 T100ATT1001002)()(-23-(1)TnTnbbbaaa),(,),(2121 nnnnTbabab

11、abbbaaa 22112121,TTTTT )(是一个数，从而是一个数，从而 nnnnTbababaaaabbb 22112121,(2)TTTTTTTTA )()()()(2?-24-例例 已知已知100111222,.333AA 求求提示提示:111122221113333A T 方法同上可得方法同上可得100999911166222.333TA-25-.601086160为对称阵为对称阵例如例如 A设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 A=AT,即即,则称则称 A 为为.),2,1,(njiaajiij 假设假设 A,B 都是都是 n 阶对称矩阵，显然阶对称矩阵，显然

12、kA,A+B 都是对称矩阵。但都是对称矩阵。但 AB 不一定是对称矩阵。不一定是对称矩阵。例如例如 0022,1111,1111ABBA对称阵的元素以对称阵的元素以主对角线为对称主对角线为对称轴对应相等轴对应相等-26-例例141证明证明且且设设,1,),(21 TTnxxxTEH2 .EHHT 是对称矩阵，且是对称矩阵，且例例12 设设 ，证明，证明 和和 分别是分别是n阶和阶和m阶阶nmA AATTAA对称矩阵。对称矩阵。AAAAAATTTTTT )()(HEEEHTTTTTTTT 2)(2)2()2)(2(2TTTEEHHH EETTTT )(422-27-反对称矩阵反对称矩阵:如果如果

13、则矩阵则矩阵A称为称为。,AAaaTjiij 即即-28-2.2 可可逆矩阵逆矩阵2.3 分块分块矩阵矩阵-29-对于对于n阶矩阵阶矩阵A,如果有一个如果有一个n阶矩阵阶矩阵B,使得使得则说矩阵则说矩阵A是是的的,并把矩阵并把矩阵B称为称为A的的.EBAAB 例例 设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB例例 设设2003A 11/2001/3A 一、可逆矩阵的定义一、可逆矩阵的定义-30-naaaA21 112111naaaA1200A 它的逆矩阵存在吗？它的逆矩阵存在吗？结论结论-31-假设假设结论：结论：,abAcd 若若 ，则，则A可逆且可

14、逆且0adbc11dbAadbcca 0112A如如可可逆逆Abdac 01 211021101A-32-设设B、C都是都是A的逆，则的逆，则B=BE=BAC=EC=CAB=BA=E AC=CA=E从而，从而，如果如果A可逆，则可逆，则A的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。证明：证明：-33-AAAA 111)(,)1(且且可逆可逆可逆可逆111)(,0,)2(AkkAkAkA且且可逆可逆可逆可逆111)(,)3(ABABABBA且且可逆可逆同阶可逆同阶可逆TTTAAAA)()(,)4(11 且且可逆可逆可逆可逆(P34)二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质-34-注：注：111)(BABA1

15、11)(1002,0002,200110011001 CACACACABABACBA可逆，但可逆，但可逆，可逆，不可逆不可逆可逆，但可逆，但，例如：例如：BAX 有惟一解，且解可表示为有惟一解，且解可表示为 阶方阵，阶方阵，n设设 A是是如果如果A可逆，可逆，则线性方程组则线性方程组.1BAX 定理定理2.2-36-;5104023211120111112 X .1125103241230111111120111113 X ;412341511 X解矩阵方程解矩阵方程例例-37-例例1证明证明 A 和和 A+2E 都可逆都可逆,并求其逆并求其逆.设方阵设方阵 A 满足满足,22OEAA EEA

16、AOEAA2)(22 )(21)(211EAAEEAA EEAAAOEAA4632222 EEAEAA4)2(3)2(EEAEA4)2)(3()3(41)2(1AEEA -38-法二法二(待定系数法待定系数法)2CAE令令2ACE带入方程可得带入方程可得2(2)(2)20CECEE1(5)4CECE1(2)(3)4AEEAE)3(41)2(1AEEA -39-把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为行变换得到的矩阵分别称为。E),(jiEjirr 记号记号)(kiEirkE)(,(kjiEjikrr E三、用初等变换法求逆矩阵三、用初

17、等变换法求逆矩阵-40-1000100013kr k000100013kc 100010001)(3(kE 10001000113krr 10010001k31kcc 100010001)(1,3(kE 10001000131rr 001010100 10001000131cc)3,1(E-41-初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。同一种初等矩阵。),(),(1jiEjiE )()(11kiEkiE )(,()(,(1kjiEkjiE?010100001010100001?1000/1000110000001 kk?100100011001000

18、1 kk可作如下验证：可作如下验证：-42-计算计算1112121222313231 0 0(1)000 0 1nnnaaakaaaaaa 111212122231323nnnaaakakakaaaa 11122122313210(2)010001kaaaaaa111213212223313233100(3)001010bbbbbbbbb111312212322313332bbbbbbbbb 32123111kaakaa 2212aa2313aa-43-()P36 20082008100010101987654321100001010 720089674200865412008321计算计算-

19、44-n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A可经过有限次初可经过有限次初等行变换化成单位矩阵。等行变换化成单位矩阵。即即n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A行等价于单位行等价于单位矩阵矩阵E。定理定理2.3-45-设设 即有初等矩阵即有初等矩阵 使得使得EArlPPP,21EAPPPl 12问问 1A?-46-.,343122321 1 AA求求设设 解解 103620012520001321 100343010122001321EA213123rrrr 3212r rr r 例例2-47-111100012520011201 111100563020231001.1

20、11253232311 A10013235010322001111 132325rrrr 23(2)(1)rr -48-练习练习：用初等行变换求可逆矩阵：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵的逆矩阵 100111010211001120,EA 10011100112001021121rrA 021021112112111111-49-11010000112001021113rr23132110012020111001011rrrr 212110012111010222001011r 121 0 01/23/25/20 1 0 1/21/21/20 0 1011r r 110212121252321

21、1A-50-求逆时求逆时,若用初等行变换必须坚持始若用初等行变换必须坚持始 终终,不能不能夹杂任何列变换夹杂任何列变换.注：注：-51-.341352,343122321 ,BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若方法方法1：先求出先求出 ，再计算，再计算 。1A 1A B 方法方法2：直接求直接求 。1A B 1()()ABEAB 初等行变换初等行变换例例3-52-132325rrrr 1232r rr r 213123rrrr 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 3110064020

22、2300113223.13XA B 23(2)(1)rr ，311003201023001-53-矩阵方程矩阵方程 AX=B (假设假设 A 可逆可逆)，如何求解？，如何求解？：先求：先求 ，再计算，再计算1 ABAX1 ：,XEBArBAX1 则则,130231,3512,343122321 CBA设设.CAXBX 使其满足使其满足求矩阵求矩阵且且都存在都存在,11 BA例例4解解用初等行变换可以判断用初等行变换可以判断,25131 B,222563462211 ACAXB 由由 1111CBAAXBBA11 CBAX 251313023122256346221 2513202011 410

23、41012-56-2131 2123 402rrA E EA 1301210011021 1021200113011221 00 1rr 1103 1A 110102 1120 1 例例5 将矩阵将矩阵A表示成初等矩阵的乘积表示成初等矩阵的乘积1234A 解解2121 20 1r 推论推论2.1 (1)方阵可逆的充要条件是可以分解为有限个初等方阵可逆的充要条件是可以分解为有限个初等矩阵的乘积矩阵的乘积 (2)方阵方阵A可逆的充要条件齐次线性方程组可逆的充要条件齐次线性方程组 OAX 只有零解；只有零解；(3)方阵方阵A可逆的充要条件非齐次线性方程组可逆的充要条件非齐次线性方程组 BAX 有惟一

24、解。有惟一解。设设BA,nm 均为均为阶矩阵，则阶矩阵，则（1）BA,行等价的充分必要条件是存在行等价的充分必要条件是存在,Pm阶可逆矩阵阶可逆矩阵.BPA 使得使得（2）BA,等价的充分必要条件是存在等价的充分必要条件是存在,Pm阶可逆矩阵阶可逆矩阵.BPAQ 使得使得n,Q阶可逆矩阵阶可逆矩阵-59-2.2 可可逆矩阵逆矩阵2.3 分块分块矩阵矩阵-60-把大矩阵分成小矩阵处理。把大矩阵分成小矩阵处理。简化矩阵计算；简化矩阵计算；通过小矩阵的性质推断大矩阵的性质；通过小矩阵的性质推断大矩阵的性质；突出矩阵结构突出矩阵结构,方便理论推导方便理论推导.-61-4321,121110987654

25、321 A TTTA321121110987654321 称为称为按列分块按列分块称为称为按行分块按行分块 22211211121110987654321AAAAA 76532111A 8412A 11,10,921 A1222 A称为称为22的的分块矩阵分块矩阵,小矩阵小矩阵A11等称为等称为A的的子块子块.-62-那么那么的行数、列数相同的行数、列数相同与与其中其中,ijijBA srsrssrrBABABABABA11111111 srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,(1)设设A,B的行数、列数相同的行数、列数相同,且有相同的分法且有相同的分法1msm1nrn1msm1

26、nrn-63-srssrrAAAAAAAAAA212222111211(2)设设则则 srssrrAAAAAAAAAA 212222111211-64-(3)设设A与与B可乘可乘,且且A的列分法与的列分法与B的行分法相同的行分法相同 tjsiBACkjrkikij,1;,11 其中其中 rtrrttsrssrrBBBBBBBBBBAAAAAAAAAA212222111211212222111211,1msm2m1nrn2n1n2nrn1ltl2l则则 stssttCCCCCCCCCAB212222111211-65-,1011012100100001 A例例1求求 AB 10110121001

27、00001A EAOE1 0211140110210101B 0211140110210101B 222111BBEB 1311334210210101AB直接计算直接计算分块计算分块计算-66-2221111BBEBEAOEAB 2212111111BABBAEB21111BBA 110121011121 1142 02141121221BA 1333 1311334210210101AB-67-(4)设设 srssrrAAAAAAAAAA212222111211则则 TT2T1T2T22T12T1T21T11TsrrrssAAAAAAAAAA 22211211987654321AAAAA

28、T22T12T21T11TAAAAA 963852741 T22T21T12T11AAAA 22122111AAAA524163879542187639-68-(5)设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵 其中其中 都是方阵都是方阵,则称则称A为为分块对角矩阵分块对角矩阵.)21(siAi，A1A2AsA 1A11 A12 A1 sA设设),.,(21sAAAdiagA ),.,(21sBBBdiagB ).,.,(2211ssBABABAdiagAB 其中其中iiBA,为同阶方阵，则为同阶方阵，则?1 A若若),.,2,1(siAi 都可逆，则都可逆，则-69-,100100000001 bbaa

29、A设设 bbaaB100000001000.ABA求求例例2解解分块分块将将BA,bbaaA100100000001,0021 AA其中其中,011 aaA;112 bbA-70-bbaaB100000001000,0021 BB,101 aaB;102 bbB其中其中 212121000000AABBAAABA,00222111 ABAABA-71-,123223111 aaaaaaABA,231223223222 bbbbbbABA32233223210000.002210032aaaaaaABAbbbbbb -72-例例3 120130005A，求，求1 A 21120130005AAA

30、 32115/112111AAA-73-例例4 111)1(ABBAnm11111mn mnAOAOCBB CAB 11111(2)0BDBB DCCOC -74-例例5设设 A 为为3阶矩阵阶矩阵,P 是是3阶可逆矩阵阶可逆矩阵,321,是是 P 的三个列向量且满足的三个列向量且满足3211 A求矩阵求矩阵 B,使得使得.1BAPP ,321321 AAAA 311221001,321 BAPPPBAP 1B3222 A32332 A-75-(),()i jm ni jn lAaBb 1 11ABn 将将 分分成成块块，分分成成块块，121,nnABABABAB 0AB 如如果果0,1,2,kABkl 0kBBAX 的的每每一一列列都都是是齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解,证明证明AB=0的充分必要条件的充分必要条件是是B的每一列都是齐次线性方程组的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解的解.证证例例6-76-.OAOAAT ，证证明明设设则则设设,),(21nA TnTTTAA 21),(21n OnTnTT 2211),2,1(00niiiTi 例例7