自动控制理论：5第五章 频率特性法-1

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1、1电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论第五章 2023-2-152电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15第五章 线性系统的频域分析 频率分析法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实频率分析法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法，是一种利用频率特性进行控制系统分析的用方法，是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法图解方法，其其特点特点是利用系统的开环频率特性去判断系统的闭环性能，是利用系统的开环频率特性去判断系统的闭环性能，可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点：频率法

2、用于分析和设计系统有如下优点：（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。研究系统的稳定性。（2）系统的频率特性可用实验方法测出。）系统的频率特性可用实验方法测出。（3）用频率法设计系统，可以忽略噪声的影响。）用频率法设计系统，可以忽略噪声的影响。3电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15本章内容 基本要求基本要求 第一节 频率特性 第二节 典型环节的频率特性 第三节 系统开环频率特性的绘制 第四节 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 第五节 系统的频率特性及频域性能指标4电气工程学院首页上页下

3、页末页结束自动控制理论2023-2-15第一节 频率特性的基本概念 本节本节从讨论系统在正弦信号作用下的稳态响应出发，把握从讨论系统在正弦信号作用下的稳态响应出发，把握频率特性的基本概念。频率特性的基本概念。频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性（图5-1）。00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345图5-1 正弦信号对线性系统的作用5电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论一、系统对正弦输入信号的稳态输出一、系统对正弦输入信号的稳态输出 设r(t)为正弦信号，作用

4、于线性定常系统G(s)，输出响应为c（t），则输出信号为同频率的正弦信号，但输出的振幅和相角一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，如下页图5-2所示：2023-2-156电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-150123456-8-6-4-20246t/s幅 值u(t)y(t)yss(t)红 输 入，蓝 全 响 应，黑 稳 态 响 应图5-2 输入输出信号的对比()4.8cos()c tt()2cos()r tt7电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论一阶RC网络2023-2-158电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论一阶RC网络2023-2-1

5、59电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15对于一般的系统，对于一般的系统，设设其其传递函数为：传递函数为：已知输入已知输入 ，其拉氏变换，其拉氏变换A A为常量，则系统输出为为常量，则系统输出为)sin()(tAtr22)(sAsR222212()()()()()()()()()nN sAN sAC sG s R sD ssspspsps12()()()()()()()()()nC sN sN sG sR sD sspspsp12,np pp为G(s)的极点(5-1)10电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15若系统无重极点，则（若系统无重极点，则

6、（5-1）式可写为）式可写为121()niiiabbC sspsjsj(5-2)对（对（5-2）式求拉氏反变换，则得系统的输出信号）式求拉氏反变换，则得系统的输出信号121()inp tj tj tiic tbeb eae(5-3)12,(1,2,)ibbain和待定系数待定系数 其中其中11电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15若系统稳定，ip均具有负实部，当t 时，上式中的暂态分量将衰减为零，这时，可得到系统的稳态响应：122()()()()()()()2sjsjAAAbGss jG js jG jss js jj222()()()()()()()2s js jAA

7、AbGss jG js jG jss js jj12lim()j tj ttc tbeb e12电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15jeettjtj2sin将12,b b代入稳态响应，并利用欧拉公式，欧拉公式，可求得稳态响应为:2costjtjeet13电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-1512()|()()22()()()222()sin()j tj tj tj ttjtjtjj tjj tAAc tbeb eGjeG jejjAAeeG jeeG jeeG jAjjjG jAt以上分析表明，在正弦信号的作用下，系统的稳态响应仍然是一个正弦函

8、数，其频率与输入信号的频率相同，振幅为输入信号幅值的 倍，相移为()G j()G j 同频、变幅、相移同频、变幅、相移14电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论 响应响应2023-2-15解：22()100()1()0.1100()100()1()1000.1G ssG SssG jjG jj 考虑到频率特性的作用：同频、变幅、相移考虑到频率特性的作用：同频、变幅、相移频率响应的幅值频率响应的幅值25100()()()11.0241000.1Ajr tj 15电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论所以频率响应为：2023-2-15频率响应的相角频率响应的相角05100()()()0

9、31000.1 255jr tj ()1.024sin(53)c tt16电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-1517电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15二、频率特性的定义二、频率特性的定义1、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应，记为c(t)。2、频率特性 系统频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的复数比称为系统的频率特性，是随输入正弦信号角频率变化而变化的复变函数，记为G(j)，即()()jG jG je 18电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15式中：:是稳态输出信号的幅值与输入信号的

10、幅值之比，称为幅频特性。:是稳态输出信号的相角与输入信号相角之差(相移)，称为相频特性。在系统传递函数G(s)中，令s=j，即可得到系统的频率特性。有开环频率特性与闭环频率特性之分。()()()jsjG sG jG je()G j()()()jG jG je 19电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-153、频率特性与传递函数、微分方程表示的关系、频率特性与传递函数、微分方程表示的关系频率特性与传递函数、微分方程表示的关系如图频率特性与传递函数、微分方程表示的关系如图5-3所示。所示。频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp 图5-3 系统表示法之间的关系20电气工

11、程学院首页上页下页末页结束自动控制理论注意：频率特性是从正弦的稳态响应求出的，但表示的是系统的动态特性。频率特性是指 时的频率响应，在某一个特定 下的频率响应不能表示系统的动态特性。从稳态响应测频率特性，给实验获取频率特性提供了方便，但不稳定的系统频率特性是观察不到的。2023-2-15:0 21电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15三、频率特性表示法三、频率特性表示法频率特性可用频率特性可用解析式或图形解析式或图形来表示。来表示。（一）解析表示（一）解析表示系统开环频率特性可用以下解析式表示：系统开环频率特性可用以下解析式表示：幅频幅频-相频形式：相频形式：指数形式指

12、数形式(极坐标极坐标)：三角函数形式：三角函数形式：实频实频-虚频形式：虚频形式：()()jG jG je()()()G jG jG j()()cos()()sin()G jG jj G j ()()()G jXjY22电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式1.极坐标图极坐标图奈奎斯特图奈奎斯特图（Nyquist）系统频率特性为幅频系统频率特性为幅频-相频形式相频形式 当当 在在0 变化时，相量变化时，相量G(j)的幅值和相角随的幅值和相角随 而而变化，与此对应的相量变化，与此对应的相量G(j)的端点在复平

13、面的端点在复平面 G(j)上的运动轨迹就称为上的运动轨迹就称为幅相频率特性或幅相频率特性或 Nyquist曲线曲线。画有画有 Nyquist曲线的坐标图，称为极坐标图或曲线的坐标图，称为极坐标图或Nyquist图。图。()()()G jG jG j23电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15【例例5-1】绘制绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的幅相频率特性图。系统的幅相频率特性图。解：写出频率特性的表达式解：写出频率特性的表达式对于本题，可以证明，对于本题，可以证明，G(j )H(j )的实部和虚部满足下式：的实部和虚部满足下式：上式表明，系统幅相频率特性曲线是上

14、式表明，系统幅相频率特性曲线是G(j )H(j )平面上以平面上以(1/2，j0)为圆心，为圆心，1/2为半径的下半圆（因相角总小于零）。为半径的下半圆（因相角总小于零）。22222211()()1(1)(1)11()111j TG jH jjTj Tj Tj TTjTTT2222222111()(0)()1212TTT24电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15绘制出的幅相频率特性(nyquist)曲线如图5-4所示。或者：图5-4 惯性环节的幅相频率特性(0)1 0G j 11()452G jT()090G j 25电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023

15、-2-152.对数坐标图对数坐标图伯德图伯德图（Bode diagram）如将系统频率特性如将系统频率特性G(j )的幅值和相角分别绘在的幅值和相角分别绘在半对数坐半对数坐 标图标图上，分别得到：上，分别得到：对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以轴：对频率取以10为底的对数后进行分度）为底的对数后进行分度）对数相频特性曲线对数相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以频率取以10为底的对数后进行分度），为底的对数后进行分度），合称为合称为伯德图伯德图(Bode图图

16、)。()20lg()LG j()()G j 对数幅频特性记为对数幅频特性记为 ，单位为分贝（，单位为分贝（dB)。对数相频特性记为对数相频特性记为 ，单位为弧度（单位为弧度（rad)。26电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-1527电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论（2）2023-2-15()28电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论u纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；u横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。2023-2-15半对数坐标图29电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-1530电气工程学院首页上页下

17、页末页结束自动控制理论 为了说明对数幅频特性的特点，引进为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率斜率的的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量对应的纵坐标分贝数的变化量。2023-2-15在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。31电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15Bode图的特点图的特点 Bode图在控制工程设计和综合中，图在控制工程设计和综合中，具有以下优点。具有以下优点。（1）横坐标按频率取对数分度，低频部分分辨率高

18、，而高频部分分辨粗略。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。（2）幅频特性取分贝数20Lg|G（s）H（s）|后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。32电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。图，使绘图十分简便。（4）在控制系统的设计和调试中，开环放大系数）在控制系统的设计和调试中，开环放大系数K是最常变化的参数。而是最常变化的参数

19、。而K的变化不影响对数幅的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平上下平移移。33电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15【例例5-2】绘制绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的对数幅频和对数相频特系统的对数幅频和对数相频特性曲线性曲线(Bode图图)。解：由传递函数可得系统的频率特性：解：由传递函数可得系统的频率特性：因此，其对数幅频和对数相频特性为：因此，其对数幅频和对数相频特性为：1()()1sjG jG sjT()21()1jarctg TeT 22120lg20lg1LGT1lg2022T()arGjctg

20、T 34电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15得：当从0变化到 时，分别绘制Bode图如下：22120lg20lg1LGT1lg2022T()arGjctgT 35电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15 工程实践中，一般采用工程实践中，一般采用分段直线分段直线（渐近线）来绘制系统对数（渐近线）来绘制系统对数幅频特性曲线幅频特性曲线L()，用取有限个频率点计算相角并描绘曲，用取有限个频率点计算相角并描绘曲线的方法绘制线的方法绘制()曲线曲线。必要时在一些特殊频段进行修正。必要时在一些特殊频段进行修正。36电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论

21、2023-2-15例如本例中，在低频时，即 时，可以近似认为 ，则有：TT1,10T)(01log20)(1 log20)(2dBTL低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线。在高频时，即 时，则有：TT1,1)(log20)(1 log20)(2dBTTL37电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15高频时：高频时：在高频时，即 时，则有：TT1,1)(log20)(1 log20)(2dBTTL高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝分贝/十倍频程十倍频程（20dB/Dec，即即频率每增加频率每增加10倍，幅值就下降倍，幅值就下降

22、20dB）的）的直线。直线。=1/T时，前述两条直线相交，时，前述两条直线相交，=1/T称为称为交接频率交接频率，或，或称为称为转折频率，转角频率转折频率，转角频率。用用matlab绘制的对数频率特性曲线如图绘制的对数频率特性曲线如图5-5所示。所示。38电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15精确曲线 Bode Diagram of G(jw)=1/(jwT+1)T=0.1Frequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-25-20-15-10-50100101102-90-450精确曲线 渐近线 Asymptote Corner frequency Exact curve精确曲线 Exact curve图5-5 惯性环节的对数频率特性（渐近线及精确曲线）用上述近似用上述近似方法产生的方法产生的最大误差发最大误差发生在转折频生在转折频率处率处，为，为1()20log120log 1 120log23LdB 39电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2023-2-15