《高等数学课件：w-6-3定积分在物理上的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：w-6-3定积分在物理上的应用（23页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、高等数学 圣诞快乐！圣诞快乐！高等数学第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功二、水压力二、水压力三、引力三、引力四、小结四、小结重点：求功、压力、引力重点：求功、压力、引力高等数学 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功高等数学点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停一一圆圆柱柱形形蓄蓄水水池池高高为为 5 米米，底底半半径径为为 3 米米，池池内内盛盛满满了了水水.问
2、问要要把把池池内内的的水水全全部部吸吸出出，需需作作多多少少功功？解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为积分变量，为积分变量，5,0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx,例例 1高等数学xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238.9 功元素为功元素为,2.88dxxdw dxxw 2.885050222.88 x3462(千焦千焦)高等数学解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小区间取任一小区间,drrr,功元素功元素,2drrkqdw 例例 2高等数学ro q a b 1 r drr 因为功元素因为功元素,2d
3、rrkqdw 故所求功为故所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq 高等数学解解 建立坐标系建立坐标系,1kxdxdw 该该小小区区间间对对应应的的功功为为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101kxdxw,2k.0 hhkxdxw例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作厘米，若每
4、次锤击所作的功相等，问第的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n1,0,dxxx任取任取为积分变量为积分变量，取取10 xxoxdxx 高等数学 hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh .1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n高等数学 如果平板如果平板垂直垂直放置在水中，由于水深不同放置在水中，由于水深不同的点处压强的点处压强p不相等，平板一侧所受的水
5、压力不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思”思想想二、水压力二、水压力高等数学解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为积分变量，为积分变量，,0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小小矩矩形形片片上上各各处处的的压压强强近近似似相相等等小小矩矩形形片片的的面面积积为为.222dxxR ,xp 例例 4高等数学dxxRxdF222 端面上所受的压力端面上所受的压力dxxRxFR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 高等数学将将直直角角边边各各为为 a 及及 2a 的的
6、直直角角三三角角形形薄薄板板垂垂直直地地浸浸人人水水中中，斜斜边边朝朝下下，直直角角边边的的边边长长与与水水面面平平行行，且且该该边边到到水水面面的的距距离离恰恰等等于于该该边边的的边边长长，求求薄薄板板所所受受的的侧侧压压力力 解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa dxxaaxdF 1)(2)2(dxxaaxFa )(2(20.373a 例例 5xdxxa 高等数学xy解解 建立坐标系如图建立坐标系如图任取任取,bbdyyy ,2)235(xdyygdF xdyygFbb2)235().(10Ngab ytdtabtbg220cos2)sin235
7、(5高等数学 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21,mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化距离是变化的，且各点对该质点的的，且各点对该质点的引力方向也是变化引力方向也是变化的，的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算三、引力三、引力高等数学有有一一长长度度为为 l、线线密密度度为为的的均均匀匀
8、细细棒棒，在在其其中中垂垂线线上上距距棒棒 a 单单位位处处有有一一质质量量为为 m 的的质质点点 M，计计算算该该棒棒对对质质点点 M 的的引引力力 2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为为积积分分变变量量取取任任一一小小区区间间,dyyy,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 例例7高等数学小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laa
9、lkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为.0 yF2l2l xyoMarydyy 高等数学例例8 8 有一半径为的四分之一圆周，有一半径为的四分之一圆周，线密度为线密度为 的均匀细丝，的均匀细丝，在其圆心处在其圆心处有一质量为有一质量为m的质点，的质点，计算该细丝对质点计算该细丝对质点的引力的引力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图 ,0 Rx 质量微元为质量微元为,)(12dxy x x+dx引力微元引力微元,)(122RdxymGdF 水平方向的分力微元水平方向的分力微元,)(1cos32RdxyxmGdFdFx 高等数学x x+dx于是于是320)(1Rdx
10、yxmGFRx 2220 xRRxdxmGR .RGm 引力微元引力微元,)(122RdxymGdF 水平方向的分力微元水平方向的分力微元:,)(1cos32RdxyxmGdFdFx 垂直方向的分力微元垂直方向的分力微元.,)(1sin2232xRyRdxyymGdFdFy ,)(120320RGmRdxGmRdxyymGFRRy .,RGmRGmF 高等数学利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结四、小结高等数学 作作 业业P236:1,3,4,6,8,9.高等数学思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？高等数学思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关
高等数学课件：w-6-3定积分在物理上的应用
